Investigation of investment strategies of portfolio management.pdf Современная теория инвестиций началась с появления статьи Г. Марковица [1]в 1952 г. Подход Марковица используется на первом этапе формирования портфеля - нахождение рисковой структуры портфеля. Д. Тобин в начале 60-х гг. ХХ в.предложил включить в портфель безрисковые активы. Распределение капиталамежду рисковыми и безрисковыми активами составляет второй этап формирования портфеля. В настоящее время существует большое количество подходов к управлению инвестиционным портфелем. Так, в [2] для улучшения процессауправления инвестициями предлагают использовать отношение Шарпа. В [3] построение портфеля происходит с применением регрессионного подхода. В [4]управление инвестиционным портфелем происходит с учетом реального поведения финансового рынка - учитываются транзакционные издержки, ограниченияна объемы вложения в активы, ограничения на объемы заемных средств.В статье рассматриваются алгоритмы построения инвестиционного портфеляна основе теоремы разделения. На первом этапе рисковая структура находится с использованием оценок ожидаемой доходности и матрицы ковариаций доходности рисковых активов. Оценки находятся методом скользящего окна. Длину окнабудем называть историческим горизонтом. На втором этапе производится разделение капитала между рисковой и безрисковой структурами портфеля с использованием принципа максимума Понтрягина. В статье исследуются несколько инвестиционных стратегий, отличающихся рисковыми структурами и формой управления. Одна стратегия имеет рисковую структуру, соответствующую минимальному риску. В другой - рисковая структура была получена максимизацией отношения Шарпа. При распределении капитала между рисковой и безрисковой частью портфеля были использованы управления в программной форме и в формеобратной связи.18 Ю.И.Параев, С.А.Цветницкая1. Рисковая структура портфеляИсходными данными для выбора оптимального портфеля являются следующие данные: n рисковых активов, вектор ожидаемых доходностейҐм = (Ґм1,...,Ґмn ) , матрица ковариаций доходностей C. Как правило, величины Ґм,C являются оценками рынка инвестором. Рисковая структура портфеля представляется в видеn-мерного вектораx = (x1,..., xn )ҐУ , где xi - доля начального капитала, инвестируемого в i-й актив. При этом должновыполняться ограничение11niixҐТ = . (1)Характеристиками рисковой структуры портфеля являются доходность и риск: i 1np i i E x = ҐТ Ґм , 1 1n n p i j ij i j V xxC = = ҐТ ҐТ . (2)Класс допустимых портфелей определяется дополнительными ограничениями.Например, может существовать запрет коротких позиций ( xi ЎВ 0 ). В моделиБлейка [5] короткие позиции разрешены. В модели Марковица [5] рассматриваются портфели только с неотрицательными компонентами ( xi ЎГ 0 ). Структурарисковой части, как правило, является решением оптимизационной задачи, в которой участвуют две характеристики Ep ,Vp . Очень часто одна характеристикаиспользуется в качестве оптимизационного критерия, а вторая - в качестве критериального ограничения. Иногда критерий представляет линейную комбинациюдвух характеристик портфеля. Например, вводится функция полезности( ) 1p 2 p U x = ҐуE − V . (3)Здесь Ґу − толерантность инвестора к риску или параметр предпочтения междуриском и доходностью. Рассмотрим построение рискового портфеля, максимизирующего функцию полезности (3) при ограничении (1). Запишем функцию Лагранжа11 ( 1) max 2np p i x i L E V x = Ґу − − Ґл ҐТ − Ўж .Введем вектор eҐУ = [11…1] и перепишем функцию Лагранжа в векторнойформе: 1 ( 1)2L = ҐуҐмҐУ x − xҐУCx - Ґл eҐУ x − .Необходимое условие максимума имеет вид L Cx e 0xЎУ= ҐуҐм − - Ґл ЎУ. (4)Отсюда получаемx = D(ҐуҐм - Ґлe) , (5)Исследование инвестиционных стратегий управления портфелем ценных бумаг 19где D = C−1 . Чтобы найти Ґл , подставим x в ограничение (1): eҐУ x = eҐУD(ҐуҐм - Ґлe) = 1.Из последнего соотношения найдем Ґл 1 e D w − Ґу ҐУ Ґм Ґл = , где w = eҐУDe - сумма всех элементов матрицы D. В результате получаем окончательное решениеx 1 De D e D e w w ⎡ ҐУ Ґм ⎤= - Ґу ⎢ Ґм − ⎥⎣ ⎦. (6)Структура портфеля состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое в (6) соответствует решению системы (4) при Ґу = 0 (нулевая толерантность), что соответствует критерию ( ) 12 p U x = − V . Портфель со структуройx 1 De w = (7)является оптимальным портфелем с минимальной дисперсией (в дальнейшем будем его называть минимальным портфелем). Выражение в квадратных скобках в (6) представляет отклонение от минимального портфеля на единицу толерантности. Оптимальный портфель инвестора состоит из суммы двух портфелей: минимального и портфеля, соответствующего толерантности ƒ . Если одна из характеристик портфеля задана, то рисковая структура может быть найдена по формуле(6) при соответствующем значении толерантности ƒ [9].В [2] рисковая структура находится при максимизации отношения Шарпаmax p max x p x E r x r x Cx ҐУ ҐУ− Ґм −Ґт. (8)Выражение в числителе Ep − r называется премией за риск, r - доходностьбезрискового актива, Ґтp - среднеквадратическое отклонение. В [7] дается алгоритм нахождения структуры портфеля, соответствующей максимуму отношенияШарпа. В алгоритме используется датчик случайных чисел, равномерно распределенных на интервале [0,1]. Процедура состоит из следующих пунктов: 1. Генерируются n случайных чисел.2. Чтобы выполнялось ограничение (1), каждое случайное число делится на сумму n случайных чисел.3. Для каждой структуры, полученной в пункте 2, вычисляется отношениеШарпа.Структура, соответствующая максимальному отношению Шарпа, используется в качестве рисковой структуры портфеля.В [3] для построения рисковой части используется регрессионный подход.Введем понятие вектора эксцессов (остатков). В момент t вектор эксцессов равенbt = (R1t − r,…Rnt − r) , где Rit − доходность i-го актива в момент t. В регрессионном подходе структура x находится из условия 21( 1) min .Tt x t b x ҐТ − Ўж Записанное20 Ю.И.Параев, С.А.Цветницкаяусловие означает, что в каждый момент времени остаточная доходность рискового портфеля должна минимально отклоняться от 1. Введем матрицу[ ] 1 2 T B b b bҐУ =

Скачать электронную версию публикации