On identification of parameter of scalar autoregressiveprocess with noisy parameter.pdf Задаче оценивания параметров авторегрессионных моделей посвящено большое количество работ. Асимптотические свойства подобных процедур являютсяхорошо изученными [1]. Однако на практике, при конечном объеме исследуемойвыборки возникают трудности при изучении свойств полученных оценок параметров модели. В [2,3] был предложен последовательный метод идентификациипараметров случайных процессов, описываемых стохастическими разностнымиуравнениями. Это метод позволил получать оценки неизвестных параметров с заранее заданной точностью. В [4,5] были предложены оценки для авторегрессионных процессов при любом конечном количестве неизвестных параметров. Подобные процедуры могут быть использованы и для построения оценок параметровавторегрессионных процессов при наличии постоянного слагаемого, являющегосяв данном случае мешающим параметром. Однако, как показала практика, в этомслучае последовательные оценки [5] для достижения необходимой точности требуют слишком большого количества наблюдений, если среднее значение процессаотлично от нуля.В данной работе предлагается модификация оценки параметра авторегрессии, позволяющая уменьшить влияние постоянного слагаемого в модели с целью сокращения требуемого объема наблюдений.1. Постановка задачиРассмотрим скалярный процесс авторегрессии первого порядка, описываемыйуравнениемyn-1 = A- Ґлyn - ҐтҐоn-1, n ЎГ 0, (1)где {Ґоn}nЎГ0 - последовательность независимых одинаково распределенных случайных -----величин с MҐоn = 0, MҐоn2 = 1, n ЎГ 0; Ґт > 0 - известная величина; 1 Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант 09-08-00595а.Оценка параметра процесса авторегрессии первого порядка 27A, Ґл ( Ґл < 1) - неизвестные параметры модели. Необходимо по наблюдениямпроцесса построить последовательную оценку неизвестного параметра авторегрессии ƒ.2. Построение оценкиЕсли величина Ґт ЎБ 1, разделим уравнение (1) на Ґт и перейдем к новым наблюдениям n : n y x Ґт xn-1 = a - Ґлxn - Ґоn-1, n ЎГ 0 , (2)где MҐоn = 0, MҐо2n = 1, n ЎГ 0 ; Ґл ( Ґл < 1) - неизвестный параметр авторегрессии; a - мешающий параметр.Процесс (2) является устойчивым и в стационарном режиме может быть записан в видеxn-1 −M = Ґл( xn −M ) - Ґоn-1, n ЎГ 0, (3)где M − среднее значение наблюдаемого процесса { } xn nЎГ0 , ( ).1M = a − Ґл (4)С целью исключения влияния параметра a на оценку Ґл на каждом шаге будем вычитать из текущего наблюдения оценку среднего. Для этого просуммируемобе части уравнения (2) по i от 1 до n и разделим на количество слагаемых: 1 11 1 11 1 .n n n i i i i i i x a x n n n - = = Ґл ҐТ = - ҐТ - ҐТҐо (5)Введем обозначения11 1 , n n i i m x n = ҐТ 112 1 , n n i i m x n = ҐТ 111 n n i n i Ґз = ҐТҐо (6)и с учетом обозначений (6) вычтем (5) из (2). Получимxn-1 −m2n = Ґл( xn − m1n ) - Ґоn-1 − Ґзn , n ЎГ 0. (7)В отличие от (2), в уравнении (7) не участвует в явном виде мешающий параметр a , однако по сравнению с (2) появился дополнительный «шум» Ґзn . Величины m1n и m2n , определенные в (6), являются оценками среднего M и при малых n могут значительно отличаться от истинного значения. Для того чтобыуменьшить влияние погрешности оценивания среднего, первые Ґм наблюденийбудем использовать только для оценивания M , а оценку МНК параметра Ґл определим следующим образом: ( )( )( )( )11212 1ˆ .1Nn n n n n n Nn n n n c x m x m N c x m =Ґм=Ґм− −Ґл −ҐТҐТ(8)Здесь числовая последовательность { } cn nЎГҐм-1 определяется как 28 С.Э. Воробейчиков, Т.В. Кабанова1 cn , n 1nҐв = ЎГ Ґм - , (9)где Ґв − некоторое положительное фиксированное число, Ґм ЎГ 1 .Введение последовательности (9) необходимо для анализа свойств полученнойоценки, что будет показано ниже.При фиксированном объеме наблюдений N свойства оценки (8) не поддаютсятеоретическому исследованию. Переход к последовательной схеме оценивания [2]позволяет существенно упростить исследование свойств процедуры и полученнойоценки. Для этого определим момент остановки следующим образом. Пусть задано значение H > 0 . Определим момент прекращения наблюдений( ) ( )21inf : 1Nn n n n H N c x m =Ґм⎧⎪ ⎪⎫ Ґу = Ґу = ⎨ > Ґм − ЎГ ⎬⎪⎩ ⎭⎪ҐТ (10)и оценку неизвестного параметра( ) ( 1 )( )1ˆ 1 2 1 . n n n n n n n c x m x m Ґу =ҐмҐл Ґу = ҐТ Ґб − − (11)Все элементы последовательности {Ґбn} при Ґм -1 ЎВ n < Ґу равны 1, а последний- ҐбҐу выбирается из условия( )21n n n 1n .nc x m Ґу =ҐмҐТ Ґб − = (12)Таким образом, имеем последовательную оценку параметра Ґл в виде (11) с учетом (9) и моментом остановки, определенном в (10).3. Свойства построенной оценкиРассмотрим свойства полученной оценки. Для этого сначала с учетом (7) и (10) перепишем (11) в виде( ) ( )( )( )( )1111ˆ 1 2 11 1 .n n n n n n n n n n n n n n c x m x m c x m Ґу =ҐмҐу=ҐмҐл Ґу = Ґб − − = Ґл - Ґб − Ґо − Ґз ҐТ ҐТ (13)Оценим среднеквадратическое уклонение оценки ˆҐл от истинного значенияпараметра Ґл .{( ) } ( )( )2211ˆ 1 1 n n n n n n n M M c x m Ґу =Ґм⎧⎪⎛ ⎞ ⎪⎫ Ґл − Ґл = ⎨⎜⎜ Ґб − Ґо − Ґз ⎟⎟ ⎬ ⎩⎪⎝ ⎠ ⎭⎪ҐТ( ) ( )22 11 11 1 1 n n n n n n n n n n n n M c x m c x m Ґу Ґу =Ґм- =Ґм⎧⎪⎡ ⎤ ⎪⎫ = ⎨⎢ Ґб − Ґо − Ґб − Ґз ⎥ ⎬ ⎩⎪⎢⎣ ⎥⎦ ⎭⎪ҐТ ҐТ ( ) ( )2 22 11 12 1 1 n n n n n n n n n n n n M c x m c x m Ґу Ґу =Ґм- =Ґм⎧⎪⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎪⎫ ЎВ ⎨⎢ Ґб − Ґо ⎥ - ⎢ Ґб − Ґз ⎥ ⎬ ЎВ⎩⎪⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎪⎭ҐТ ҐТ Оценка параметра процесса авторегрессии первого порядка 292 2 ( )2 2 ( )2 22 11 1 12 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n M c x m M c x m M c Ґу Ґу Ґу =Ґм- =Ґм- =Ґм⎡ ⎧⎪ ⎫⎪ ⎧⎪ ⎫⎪ ⎧⎪ ⎫⎪⎤ ЎВ ⎢ ⎨ Ґб − Ґо ⎬- ⎨ Ґб − ⎬⋅ ⎨ Ґб Ґз ⎬⎥⎢⎣ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎭⎪⎦⎥ҐТ ҐТ ҐТ .С учетом (6), (9), (12), а также того факта, что последовательность { } cn nЎГҐм-1невозрастающая и, следовательно, справедливо неравенство 2cn ЎВ cҐм-1cn , получаем2 2 ( )2 2 ( )2 21 1 1 11 1n n n 1n n n n n 1n n n n M c x m M c c x m c Ґу Ґу - Ґм- - Ґм=Ґм- =Ґм⎧⎪ ⎪⎫ ⎧⎪ ⎪⎫ ⎨ Ґб − Ґо ⎬ ЎВ ⎨ Ґб − Ґо ⎬ ⎩⎪ ⎪⎭ ⎩⎪ ⎪⎭ҐТ ҐТ , 2211 1 1 1 11 n 1 1 1n n n n i n n n i n n M c M c c n n n Ґу ЎД ЎД ЎД-Ґв Ґв =Ґм- =Ґм- = =Ґм- =Ґм⎧⎪ ⎪⎫ ⎪⎧ ⎡ ⎤ ⎪⎫ ⎨ Ґб Ґз ⎬ ЎВ ⎨ ⎢ Ґо ⎥ ⎬ = = ЎВ ҐвҐм ⎩⎪ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎣ ⎦ ⎪⎭ҐТ ҐТ ҐТ ҐТ ҐТ .Заметим, что использование числовой последовательности { cn } обеспечиваетсходимость числового ряда в правой части последнего неравенства.Окончательно получаем{( )2}2 1 1M ˆ 2 c H H 2 c 1H H Ґм- Ґв Ґм- Ґв ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ґл − Ґл ЎВ ⎜ - ⎟ = ⎜ - ⎟⎝ ҐвҐм ⎠ ⎝ ҐвҐм ⎠. (14)Таким образом, имеет место следующий результат: Теорема. Пусть { } cn nЎГҐм-1 − последовательность, определенная в (8). Тогда для любого положительного порога H среднеквадратическое уклонение оценкиҐлˆ (Ґу) , определенной в (11) с моментом остановки (10) и условием (12) равномерно ограничено{( )2}1M ˆ 2 c 1H Ґм- Ґв ⎛ ⎞Ґл − Ґл ЎВ ⎜ - ⎟⎝ ҐвҐм ⎠.Из полученного неравенства следует, что за счет соответствующего выборапорога H можно обеспечить заданную точность оценивания неизвестного параметра.4. Результаты численного моделированияБыло проведено численное моделирование процесса (2) при различных значениях параметров a и Ґл .Сравнивались оценки неизвестного параметра, предложенные в [5] и в даннойработе. Шум Ґоn выбирался стандартным нормальным. Пороги процедур выбирались так, чтобы обе сравниваемые процедуры гарантировали одинаковую точность C получаемых оценок. При расчете точности для модифицированной процедуры бралась величина, определенная в (14), а для первоначальной процедуры -величина1/ HЎЗ , где HЎЗ - порог -----первоначальной процедуры.На основании результатов моделирования проведено исследование предложенной модифицированной процедуры и ее сравнение с процедурой [5].Очевидно, что при одном и том же значении порога H увеличение параметраҐв уменьшает значение границы в (14), то есть увеличивает точность оценки, но при этом увеличивается количество наблюдений Ґу , необходимых для достижениятребуемой точности.30 С.Э. Воробейчиков, Т.В. КабановаВ табл. 1 проиллюстрирована зависимость параметров предложенной процедуры ƒ, H от задаваемой точности C и показано их влияние на количество наблюдений Ґу . Моделирование проводилось для параметра авторегрессии ƒ = 0,5 при a = 0, ƒ = 20.Т а б л и ц а 1Объем наблюдений при различных значениях параметров процедурыC ƒ H ƒ ˆҐл0,1 163 220 0,4820,15 98 191 0,5100,2 66 136 0,4960,25 48 98 0,5130,10,3 36 91 0,5270,1 326 450 0,4980,15 196 322 0,4950,2 132 211 0,5270,25 95 206 0,5260,050,3 71 188 0,5440,1 544 689 0,4980,15 326 539 0,5240,2 220 489 0,4950,25 158 379 0,4940,030,3 118 377 0,498В табл. 2 показано влияние модификации на количество наблюдений, необходимых для достижения требуемой точности и проведено сравнение с оценками из [5]. Количество наблюдений Ґм , используемых для оценивания среднего, выбиралось равным 20.Т а б л и ц а 2Сравнение двух процедур оцениванияМодифицированная процедура Первоначальная процедураa Ґл C H Ґв ˆҐл Ґу ' H ˆҐл Ґу 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100,2 0,1 163 0,1 0,171 165 10 0,242 180,7 0,1 163 0,1 0,693 131 10 0,745 270,2 0,05 248 0,125 0,195 488 20 0,215 450,7 0,05 248 0,125 0,696 231 20 0,716 380,2 0,03 220 0,2 0,209 597 33 0,196 800,7 0,03 220 0,2 0,709 285 33 0,677 480,2 0,02 176 0,3 0,216 924 50 0,230 10800,7 0,02 176 0,3 0,724 409 50 0,709 510,2 0,1 163 0,1 0,218 252 10 0,276 1350,7 0,1 163 0,1 0,719 121 10 0,688 600,2 0,05 248 0,125 0,209 472 20 0,192 2160,7 0,05 248 0,125 0,710 240 20 0,719 810,2 0,03 220 0,2 0,205 676 33 0,216 4310,7 0,03 220 0,2 0,724 312 33 0,693 1820,2 0,02 176 0,3 0,196 998 50 0,209 60930,7 0,02 176 0,3 0,697 471 50 0,692 283Оценка параметра процесса авторегрессии первого порядка 31П р о д о л ж е н и е т а б л . 21 2 3 4 5 6 7 8 9 100,2 0,1 163 0,1 0,221 241 10 0,283 12130,7 0,1 163 0,1 0,711 132 10 0,724 2010,2 0,05 248 0,125 0,223 482 20 0,232 80460,7 0,05 248 0,125 0,686 213 20 0,734 10290,2 0,03 220 0,2 0,194 649 33 0,237 158990,7 0,03 220 0,2 0,728 272 33 0,704 28050,2 0,02 176 0,3 0,191 978 50 0,214 23888-70,7 0,02 176 0,3 0,695 419 50 0,719 52550,2 0,1 163 0,1 0,199 232 10 0,542 900,7 0,1 163 0,1 0,686 113 10 0,749 650,2 0,05 248 0,125 0,191 473 20 0,331 294470,7 0,05 248 0,125 0,722 222 20 0,729 43170,2 0,03 220 0,2 0,207 613 33 0,293 161920,7 0,03 220 0,2 0,702 302 33 0,726 146800,2 0,02 176 0,3 0,217 955 50 0,254 113139100,7 0,02 176 0,3 0,696 445 50 0,718 23951ЗаключениеКак видно из результатов моделирования (см. таблицы), предложенная модификация при малых по модулю значениях мешающего параметра a требуетбольшего количества наблюдений для достижения заданной точности оценивания, чем процедура, предложенная ранее в [5]. При отклонении мешающего параметра от нуля для первоначальной процедуры количество необходимых для оценивания наблюдений существенно возрастает, в то время как модифицированнаяпроцедура остается нечувствительной к изменениям данного параметра.

Скачать электронную версию публикации