Nonparametric estimation of net premium for r-year deferredlife insurance.pdf На практике расчет нетто-премии зависит от вида страхования жизни [1 - 3], атакже от того, к какой категории или возрастной группе относится индивид.Ранее в работах [4,5] в условиях непараметрической неопределенности изуча-лись оценки нетто-премий для различных видов индивидуального страхования, ав [6,7] - в случае коллективного страхования. В данной работе рассматриваетсязадача оценивания нетто-премий для отсроченного на r лет страхования жизни.Суть такого вида страхования заключается в следующем. Человек заключает до-говор страхования, выплата по договору производится в момент смерти застрахо-ванного бенефициарию, если она произошла после r-летнего срока с момента за-ключения договора, либо не выплачивается, если застрахованный умрет в эти rлет. В этом случае при расчетах премий за риск учитывается динамика ценностиденег, основанная на процентной ставке ƒ с непрерывно начисляемым процентомпо вкладу.При расчете нетто-премии используется остаточное время жизни Т(х)=Т-х, ко-торое характеризуется функцией распределения [2, с. 25 - 27]( ) ( ( ) ) ( ) ( )x ( )F t T x t S x S x tS x− += ƒ < =и плотностью распределения( ) ( ) ( ) ( ),0 ,x x x ( )f t dF t dS t f x t tdt dt S x+= = − = ≤ < где S(x) =1 - F(x) и F(x) - функции выживания и распределения продолжительно-сти жизни Т, а f (x) =F(x) = −S(x) - eё плотность распределения.Определим для отсроченного на r лет страхования жизни современную вели-чину страховой выплаты z:( )0, ( ) ,T x , ( ) ,T x rze−ƒ Tx r⎧ ≤= ⎨⎩ >(1)где ƒ обозначает банковскую процентную ставку. Величина z показывает настоя-щую долю будущей страховой выплаты, принимаемой за условную единицу. Чем1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований(проект № 09-08-00595-а).60 Г.М. Кошкин, Н.В. Ланкинабольше срок страхования, тем меньше выплаты застрахованного за счет исполь-зования банковской процентной ставки.В качестве нетто-премии для отсроченного на r лет страхования возьмем ма-тематическое ожидание величины (1):( ) ( ) 1 ( ) ( , )( ) ( )t rr xrA z e fxtdt xS x S x−ƒ ƒ ƒƒ = ƒ =  + = , (2)где ( , ) t( ) x t ( )rr xrx e f x tdt e e dFt −ƒ −ƒ −ƒ+ƒ ƒ = + =  .1. Оценка подстановки нетто-премииПусть имеется случайная выборка продолжительности жизни X1,..., XN , покоторой необходимо оценить нетто-премию. Оценим отдельно числитель и зна-менатель в (2).Воспользуемся вместо неизвестных F(x) и S(x) их непараметрическими оцен-ками: эмпирическими функцией распределения1( ) 1 ( )NN iiF x X xN == ƒƒ 0 , S(t) - непрерывна в точке x, то:1. N( ) ( ) ( 1)ƒ rAx ƒ −rAx ƒ =ƒN− ;2. СКО2 2 3/ 2 ( ())( ()) ( () ()) ( ) N N r xr x r x r xAu A A A NN− ƒ ƒƒ = ƒ ƒ − ƒ = +ƒ , (5)где ƒ(r Ax(ƒ)) определяется по формуле (6).Доказательство. Для оценки N( )r x A ƒ , задаваемой формулой (5), в обозначе-ниях приведенной выше леммы имеемtN ( r,N(x,),SN(x));= ƒ ƒ ƒ dN =N; t=(ƒr(x,ƒ),S(x))ƒ;( , )( ) ( );( ) r xH t r x AS xƒ ƒ= = ƒ , ( , )( ) ( );( )r N NN rxNxH t AS xƒ ƒ= = ƒ( 1 2 ) 2( ) ( ), ( ) 1 , ( , ) 0.( ) ( )TH t H t H t T r xS x S x⎛ ƒ ƒ ⎞ = =⎜ − ⎟ ⎝ ⎠В [2] показано, что SN(x) является несмещенной и состоятельной оценкойS(x). Покажем, что ƒr,N (x,ƒ) является несмещенной оценкой функционалаƒr(x,ƒ) :,1( , ) exp( ) ( ) ( , ).x Nr N i i rix e X r x X xNƒ=⎧ ⎫ƒƒ ƒ = ƒ⎨ −ƒ ƒ + ≤ < ⎬= ƒ ƒ⎩ ⎭ƒТеперь для оценки ƒr,N(x,ƒ) вычислим дисперсию:{ }( )2, 21 12( , ) ( ) ( )1 ( ,2 ) ( , ) .i ixN xNX Xr N i ii ir rD x De r x X e e D r x X eN Nx xNƒ ƒ−ƒ −ƒ= =⎧ ⎫ƒ ƒ = ⎨ ƒ + ≤ <  ⎬= ƒ + ≤ <  =⎩ ⎭= ƒ ƒ −ƒ ƒƒ ƒИзвестно, что отношение двух несмещенных оценок может иметь смещение.Нахождение смещения отношения, как правило, является сложной задачей и тре-бует использования результатов работы [5]. Найдем порядок смещения оценки.62 Г.М. Кошкин, Н.В. ЛанкинаТак какƒ(tN −t)=0, то( () ()) [ ()( )] ( () ()) ( 1) rN Nƒ rAx ƒ −rAx ƒ −ƒHttN−t =ƒ rAx ƒ −Ax ƒ =ƒN− .Найдем компоненты ковариационной матрицы статистики tN :{ }{ }{ } { } { }211 ,2212 21 ,, ,( , ) ( ,2 ) ( , );( ) ( )(1 ( ));cov( ( ), ( , ))( ( ) ( , ) ) ( ) ( , ) (1 ( )) ( , ).r N r rNN rNN rN N rN rND x x xND S x S X S xN S x xN S x x S x x Sx xƒ = ƒ ƒ = ƒ ƒ −ƒ ƒƒ = = −ƒ = ƒ = ƒ ƒ == ƒ ƒ ƒ −ƒ ƒ ƒ ƒ = − ƒ ƒИспользуя предыдущий результат о смещении и найденную ковариационнуюматрицу, получаем СКО оценки:2 [ ]2 3/ 2 : 3/ 2:( )( ) ()( ) ( ) ( ) N r x nr xn NAu A Ht t t N NN− − ƒ= ƒ  − + ƒ = + ƒ ,где32 22 2: 1 11 2 22 1 2 121 12 22 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )(2 ) 3 ( , ) 2 ( , ).( ) ( ) ( )r xn j jp pp jr r rA H t H t H t H t H t H tx xS x S x S x= =ƒ = ƒ = ƒ + ƒ + ƒ =ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ= − +ƒ ƒ(6)Теорема доказана.3. Асимптотическая нормальность оценкиДля нахождения предельного распределения оценки (3) нам понадобятся сле-дующие две теоремы.Teорема 2 (центральная предельная теорема в многомерном случае) [3, с. 178 -202]. Если t1,t2,...,tN ,... - последовательность независимых одинаково распреде-ленных s-мерных векторов,{ } 0, ( ) { T },ƒts = ƒx=ƒtsts1,NN ssS t== ƒто при N   N (0, ( )).sSxN ƒ ƒТеорема 3 (об асимптотической нормальности H(tN)) [5]. Пусть:1. N ⋅tN ƒs{ƒ,ƒ(x)};2. Функция H(z) дифференцируема в точке ƒ, H(ƒ) 0.Тогда 11 1 1( ( ) ( )) ( ) , ( ) ( )s s sN j j j jp pj p jN H t H H H H= = =− ƒ  ƒ ⎧⎨⎪ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ⎪⎫⎬⎪⎩ ⎭⎪ƒ ƒƒ .Hепараметрическое оценивание нетто-премий для отсроченного страхования жизни 63Теорема 4 (о предельном распределении оценки (3)). В условиях теоремы 1( N ( ) ( )) 1(0, ( ( ))).N rAx ƒ −rAx ƒ ƒ ƒ rAx ƒДоказательство. В обозначениях теоремы 2 имеем: s= 2,ƒ(x)=ƒ(rAx(ƒ)) .Таким образом,{ } ( ( )) N(ƒr,N(x,ƒ),SN(x))−tN20,ƒ rAx(ƒ) ,где 11 1221 22(r Ax()) .ƒ ƒ ⎡ ⎤ ƒ ƒ =⎢⎣ƒ ƒ ⎥⎦Функция H(z) дифференцируема в точке t и H(t)  0 . Следовательно,выполнены все условия теоремы 3 и для оценки нетто-премии получаем( N ( ) ( )) 1(0, ( ( ))).N rAx ƒ − rAx ƒ  ƒ ƒ rAx ƒ Теорема доказана.4. Статистическое моделированиеРассмотрим модель де Муавра для отсроченного на r лет страхования жизни.Для этой модели продолжительность жизни T индивида распределена равномернов пределах от 0 до ƒ - r, где ƒ - r - предельный возраст, при котором можно за-страховаться на r лет.Для закона де Муавра плотность и функция выживания вычисляются соответ-ственно по формуламf(x) = 1 ,ƒS(x) =1− xƒ.Нетто-премия, согласно (3), принимает вид( ) 1 ( ) ( )( ) ( )r xtr xrA e f x t dt e eS x xƒ −ƒ −ƒ ƒ−−ƒ −ƒ = + =ƒ ƒ −  . (7)Оценку нетто-премии построим по выборке объема N независимых случайныхвеличин X = (X1,...,XN ) , равномерно распределенных на интервале (0, ƒ - r) спредельным возрастом ƒ = 120. Изучим динамику изменения оценок нетто-премии для различных значений N. Качество оценки будем характеризовать вели-чиной21( () ())( , , )rNr x r xxA AU N rNƒ−=ƒ − ƒƒ =ƒ. (8)На рис. 1 представлены случаи отсроченного страхования жизни на 5 лет, ко-гда банковская процентная ставка составляет 10 % годовых (r = 5, ƒ = 0,1).Для случаев, представленных на рис. 1, характеристики качества оценок:U(50,5,0,1) = 0,0119 ,U(100,5,0,1) = 0,0036 ,U(300,5,0,1) = 0,0008 .т.е. во втором случае качество оценки, согласно критерию, улучшилось примернов 3 раза.64 Г.М. Кошкин, Н.В. Ланкина0 20 40 60 80 1000,20,4ха0 20 40 60 80 1000,20,4хб0 20 40 60 80 1000,20,4хвРис. 1. Зависимость нетто-премии (сплошная кри-вая) и ее оценки (ступенчатая кривая) от возрастазастрахованного x при объеме выборки N: а - 50;б - 100; в - 300Hепараметрическое оценивание нетто-премий для отсроченного страхования жизни 65Результаты статистического моделирования (рис. 1) подтверждают состоя-тельность оценок нетто-премий. В случае б качество оценки, согласно критерию,улучшилось примерно в 3 раза, по сравнению со случаем а. В случае в качествооценки улучшилось примерно в 4,5 раза по сравнению со случаем б и примерно в14 раз по сравнению со случаем а.ЗаключениеВ данной работе рассмотрена задача непараметрического оценивания нетто-премий для отсроченного на r лет страхования жизни. Заметим, что рассмотрен-ный подход к оцениванию нетто-премий можно распространить на другие видыстрахования, такие, как смешанное в рамках коллективного страхования жизни,отсроченное коллективное страхование жизни, пенсионное страхование, страхо-вание вкладов трудоспособного населения для получения негосударственныхпенсий.

Скачать электронную версию публикации