Optimal estimation of states of the asynchronous doublystochastic flow of events with arbitrary number of the states.pdf Математические модели теории массового обслуживания широко применяют-ся при описании реальных физических, технических и других процессов и систем.В связи с бурным развитием компьютерной техники и информационных техноло-гий появилась еще одна важная сфера приложений теории массового обслужива-ния - проектирование и создание информационно-вычислительных сетей, компь-ютерных сетей связи, спутниковых сетей связи, телекоммуникационных сетей ит.п. Усложнение структуры информационно-телекоммуникационных систем, ин-теграция различных систем связи, разнообразие программного и аппаратногообеспечения, протоколов передачи данных привели в конце 80-х - начале 90-х го-дов прошлого века к созданию цифровых сетей интегрального обслуживания(Integrated Services Digital Networks - ISDN). Данные сети характеризуются тем,что по единым аппаратным средствам совместно передаются самые разнообраз-ные виды информации - большие массивы данных, речь и видео в цифровой фор-ме, факсимиле и т.д. При этом теория построения математических моделей функ-ционирования информационно-телекоммуникационных систем, существовавшаядо середины 80-х годов прошлого века, во многом становится непригодной дляанализа информационных процессов, протекающих в ISDN. В связи с этим в этоже время была предпринята успешная попытка создания адекватных математиче-ских моделей информационных потоков в телекоммуникационных системах такназываемых дважды стохастических потоков. Отметим, что одними из первых ра-бот в этом направлении были статьи [1 - 3].Дважды стохастические потоки характеризуются тем, что их интенсивностьизменяется со временем по некоторому случайному закону, т.е. является случай-ным процессом. В зависимости от вида случайного процесса дважды стохастиче-ские потоки можно разделить на два класса. К первому классу относятся потоки синтенсивностью, являющейся непрерывным случайным процессом. Ко второму -потоки, у которых интенсивность есть кусочно-постоянный случайный процесс сконечным числом состояний (под состоянием потока обычно понимают состояниеОптимальная оценка состояний асинхронного дважды стохастического потока событий 45интенсивности потока). Последние (потоки с переключениями или МС-потокисобытий [1, 2]) являются наиболее характерными для реальных телекоммуника-ционных сетей. В свою очередь, в зависимости от того, каким образом происхо-дит переход из состояния в состояние, МС-потоки можно разделить на три типа:1) синхронные потоки событий - потоки с интенсивностью, для которой переходиз состояния в состояние происходит в случайные моменты времени, являющиесямоментами наступления событий [4 − 8]; 2) асинхронные потоки событий - пото-ки с интенсивностью, для которой переход из состояния в состояние происходит вслучайные моменты времени и не зависит от моментов наступления событий [9 −23]; 3) полусинхронные потоки событий - потоки, у которых для одного множе-ства состояний справедливо определение первого типа, а для остальных состоя-ний - второго типа [24 − 28].Подчеркнем, что синхронные, асинхронные и полусинхронные потоки воз-можно представить в виде моделей MAP (Markovian Arrival Process)-потоков со-бытий [29 − 31].В реальных ситуациях параметры, определяющие входящий поток событий, нетолько дважды стохастический, как правило, известны либо частично, либо вооб-ще неизвестны. Что касается состояний дважды стохастического потока, то дажетогда, когда параметры, его определяющие, априорно известны, сказать о том, вкаком состоянии находится поток в тот или иной момент времени без наблюденияза потоком, возможно только на основании априорных данных. С другой стороны,очевидно, что функционирование системы обслуживания непосредственно зави-сит от параметров дважды стохастического потока и состояний, в которых он на-ходится. В связи с этим в процессе функционирования системы обслуживаниявозникает необходимость адаптироваться к временным изменениям состоянийдважды стохастического потока. При этом возникают два класса задач: 1) задачафильтрации интенсивности потока (или задача оценивания состояний потока со-бытий) по наблюдениям за потоком (по наблюдениям за моментами наступлениясобытий) [4, 7, 9 − 11, 13, 15, 22 − 25]; 2) задача оценивания параметров потока понаблюдениям за моментами наступления событий [5, 6, 8, 12, 14, 16 − 21, 26 − 28].В настоящей статье рассматривается дважды стохастический поток событийвторого типа - асинхронный поток событий. Подчеркнем, что в [9 − 11, 13, 15, 22,23] решены задачи фильтрации, в [12, 14, 16 − 21] - задачи оценки параметровасинхронных дважды стохастических потоков событий в различных условиях, ко-гда число состояний потока равно двум. Полученные в [9 − 11, 13, 15, 22, 23] ре-зультаты по оценке состояний асинхронных потоков можно разделить на тригруппы: 1) результаты по оценке состояний асинхронных потоков с дополнитель-ными (лишними) событиями без ошибок в измерениях моментов времени наступ-ления событий [22, 23]; 2) результаты по оценке состояний асинхронного потокабез дополнительных (лишних) событий при наличии ошибок в измерениях мо-ментов времени наступления событий [11, 13, 15]; 3) результаты по оценке со-стояний асинхронного потока без дополнительных (лишних) событий и без оши-бок в измерениях моментов времени наступления событий [9, 10].В настоящей статье решается задача об оптимальной оценке состояний асин-хронного дважды стохастического потока с произвольным (конечным) числом со-стояний без дополнительных (лишних) событий и без ошибок в измерениях мо-ментов времени наступления событий (далее асинхронный поток либо просто по-46 А.М. Горцев, В.Л. Зуевичток), т.е. результаты [10] обобщаются на случай произвольного числа состоянийасинхронного потока. Находятся выражения для апостериорных вероятностей со-стояний асинхронного потока. Решение о состоянии потока выносится по крите-рию максимума апостериорной вероятности, представляющей наиболее полнуюхарактеристику состояния потока, которую можно получить, располагая тольковыборкой наблюдений, и которая обеспечивает минимум полной вероятностиошибки вынесения решения [32].1. Постановка задачиРассматривается асинхронный поток событий. Интенсивность потока - кусочно-постоянный случайный процесс ƒ(t) с n состояниями: ƒ1, ƒ2,…,ƒn (ƒ1 >ƒ2 >…> ƒn> 0).Процесс (поток) в момент времени t находится в i-м состоянии, если ƒ(t) = ƒi(i= 1,n). В течение времени пребывания в i-м состоянии поток ведет себя как пу-ассоновский с интенсивностью ƒi (i= 1,n). Длительность пребывания потока в i-мсостоянии является экспоненциально распределенной случайной величиной сфункцией распределения ( ) 1 iiFi eƒ = − ƒ ƒ , где1,nii ijj= jiƒ = − ƒ ƒ (i= 1,n); ƒij > 0(i,j =1,n, i  j) - интенсивность перехода процесса ƒ(t) из состояния i в состояниеj, т.е. величины ƒij образуют матрицу интенсивностей (матрицу инфинитезималь-ных коэффициентов) переходов между состояниями 1nƒij . Процесс ƒ(t) являетсяненаблюдаемым. Наблюдению доступны только временные моменты наступлениясобытий потока. Рассматривается стационарный режим функционирования пото-ка, поэтому переходными процессами на интервале наблюдения (t0,t), где t0 - на-чало наблюдений, t - окончание наблюдений, пренебрегаем. Тогда без потериобщности можно положить t0 = 0.Состояние потока в момент времени t оценивается на основании последова-тельности временных моментов наступления событий, наблюденных от моментаt0 до момента t. Пусть ( ) t ƒ

Скачать электронную версию публикации