Extrapolation in linear discrete system with unknown perturbations.pdf Известные методы фильтрации и экстраполяции базируются на алгоритмах,использующих оценки неизвестного возмущения [1 - 7]. В настоящей работе длядискретного объекта с неизвестной постоянной составляющей возмущений пред-лагается метод оптимальной экстраполяции, не использующий оценки неизвест-ного возмущения. Метод базируется на преобразовании модели и сведении к за-даче линейной калмановской экстраполяции [8]. Результаты настоящей статьиобобщают [9] на случай решения задач экстраполяции.1. Постановка задачиРассматривается дискретная система, которая описывается следующими раз-ностными уравнениями:x(k+1)=A(k)x(k)+f+q(k),x(0)=x0, (1)где x(k)Rn - вектор состояния; A(k) - nn-матрица; f - неизвестный постоян-ный вектор; q(k) - белая гауссовская случайная последовательность с характери-стикамиM{q(k)} =0, M{q(k)qƒ ( j)} =Q(k)ƒk,j .Канал наблюдений имеет видy(k) = S(k)x(k)+v(k), (2)где y(k)Rl - вектор измерений; S(k) - матрица размерности ln; v(k) - гаус-совская случайная последовательность ошибок измерений с характеристикамиM{v(k)} = 0 , M{q(k)vƒ ( j)} = 0 , M{v(k)vƒ ( j)} =V(k)ƒi, j .Случайный вектор x0 и процесс (q(k), v(k)) независимы:M{x(0)} = x0 , M {(x(0) x0)(x(0) x0) } P0 − − ƒ = .Для системы (1) и канала наблюдений (2) требуется построить экстраполятор,вычисляющий оценку вектора состояния на один такт вперед, не использующийоценки неизвестной постоянной составляющей возмущений.Экстраполяция в линейных дискретных системах с неизвестным возмущением 912. Экстраполяция в дискретных системахДля решения задачи проводится преобразование дискретной системы (1). Дляэтого исключается постоянная составляющая возмущений f из описания объектапосредством вычитания из уравнения (1) такого же уравнения, но со сдвигом наодин такт:x(k +1)=(A(k)+En)x(k)− A(k −1)x(k −1)+q(k)−q(k −1). (3)Расширение пространства состояния системы осуществляется посредством до-бавления к уравнению (3) тождества x(k) =x(k). Тогда система представляется ввекторно-матричной формеX(k+1)=A(k)X(k)+q(k),X(0)=X0, (4)где А(k)- (2n2n)-матрица и вектор q(k) имеют следующую блочную структуру:( ) ( ) ( 1) 0nnA k A k E A k E⎛ + − − ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠, ( ) ( ) ( 1)0q k q k q k⎛ − − ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠. (5)Вектор X0 (x0ƒ xƒ1)ƒ= − в (4) имеет характеристикиM{X (0)} = X0 , M {(X0 X0)(X0 X0) } P0 − − ƒ = .Отметим, что в рассмотренной модели (4) процесс q(k) не является белой га-уссовской последовательностью, процессы q(k) и q(k −1) будут коррелированы:( ), если ,M{ ( ) ( )} ( 1), если 1,0, если0 1,Q k j kq k q j Q k j kj kƒ= ⎧⎪= − = − ⎨⎪≤ < −⎩где ( ) ( ) ( 1) 00 0Q k Q k Q k⎛ + − ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠, ( 1) ( 1) 00 0Q k Q k⎛− − ⎞ − =⎜ ⎟⎝ ⎠.Представим канал наблюдений для расширенной системы (4) в видеy(k)=S(k)X(k)+v(k), (6)где S(k) =(S(k) 0).В качестве уравнения для вычисления оценки прогноза вектора состояния длярасширенной системы выберем уравнение, по своей структуре совпадающее сэкстраполятором Калмана:Xˆ(k +1) = A(k)Xˆ(k)+K(k)(y(k)−S(k)Xˆ(k)), 0 Xˆ (0) = X . (7)Учитывая (4) - (7), получим следующее уравнение для ошибкиe(k)=Xˆ(k)−X(k) :e(k +1) = (A(k)−K(k)S(k))e(k)+K(k)v(k)−q(k). (8)Матрица P(k) =M{e(k)eƒ(k)} определится из следующего разностного урав-нения:P(k +1)=M{e(k +1)eƒ(k +1)}=(A(k)−K(k)S(k))P(k)(A(k)−K(k)S(k))ƒ++K(k)V(k)Kƒ(k)+Q(k)− (A(k)−K(k)S(k))Qe(k)−Qeƒ(k)(A(k)−K(k)S(k))ƒ ,92 С.В.СмагинP(0) =P0, (9)где Qe(k) =M{e(k)qƒ(k)}. Для вычисления Qe(k) необходимо уравнение (8)представить в видеe(k)=(A(k−1)−K(k−1)S(k−1))e(k−1)+K(k−1)v(k−1)−q(k−1) .Тогда( ) M{ ( ) ( )} ( ( 1) ( 1) ( 1))M{ ( 1) ( )} e Q k = e k qƒk = A k − −K k − S k − e k − qƒk ++K(k−1)M{v(k−1)qƒ(k)}−M{q(k−1)qƒ(k)}. (10)В силу того, что в (10) два первых слагаемых равны нулю, получимQe(k) = −Q(k) .Окончательно, учитывая (9), получим уравнениеP(k +1)=M{e(k +1)eƒ(k +1)}=(A(k)−K(k)S(k))P(k)(A(k)−K(k)S(k))ƒ++K(k)V(k)Kƒ(k)+Q(k)+ (A(k)−K(k)S(k))Q(k)+Q(k)(A(k)−K(k)S(k))ƒ ,P(0) =P0, (11)Оптимизируемый критерий, характеризующий точностные характеристикиэкстраполятора, зададим в видеJ(k +1)=trP(k+1). (12)Оптимальные коэффициенты передачи фильтра K(k) определяются из условия( 1) 0( )dJ kdK k+=. (13)Учитывая (12) и правую часть уравнения (11), применяя правила матричногодифференцирования следа от матрицы [10], получим из условия (13) уравнениедля определения матрицы K(k):(S(k)P(k)Sƒ(k)+V(k))K(k)−(A(k)P(k)Sƒ(k)+Q(k)Sƒ(k))=0. (14)Решение уравнения (14) относительно K(k) дает следующую формулу:K(k)=(A(k)P(k)+Q(k))S(k)ƒ(S(k)P(k)S(k)ƒ +V(k))−1. (15)Конечный результат сформулируем в виде теоремы, учитывая блочную структуруматрицы P(k):1 22 3( ) ( ) ( )( ) ( )P k p k p kp k p k⎛ ƒ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠, (16)а также блочные структуры матриц A(k),S(k),Q(k),Q(k).Теорема. Пусть процесс с неизвестным постоянным возмущением определя-ется уравнениями (1), модель канала наблюдений задается соотношением (2) припеременных матрицах A,Q,V,S . Тогда оптимальный алгоритм экстраполяцииопределится разностными уравнениямиxˆ(k +1)=(A(k)+En)xˆ(k)− A(k −1)xˆ(k −1)+K1(k)(y(k)− S(k)xˆ(k)) (17)Экстраполяция в линейных дискретных системах с неизвестным возмущением 93с начальными условиями для экстраполятораxˆ(0) = x0 , xˆ(1) = M{x(1)} =x1 .Матрица K1(k) в (17) выражается по формуле1 1 211( ) [( ( ) ) ( ) ( 1) ( ) ( 1)]( )( ( ) ( ) ( ) ( )) ,K k A k En p k A k p k Q kSƒk S k p k S kƒ V k −= − − − − −  + (18)где матрица p1(k) определяется из следующей системы уравнений:p1(k 1) (A(k) EnK1(k)S(k))p1(k)(A(k) EnK1(k)S(k))+ = − − − − ƒ −A(k 1)p2(k)(A(k) EnK1(k)S(k)) (A(k) EnK1(k)S(k)) − − − − ƒ− − − p2(k)A (k 1) A(k 1)p3(k)A (k 1) K1(k)V(k)K1 (k)  ƒ ƒ − + − ƒ − + ƒ +(A(k) EnK1(k)S(k))Q(k 1) Q(k 1)(A(k) EnK1(k)S(k))− − − − − − − − ƒ++Q(k)+Q(k−1) , p1(0) =p1,0, (19)p2(k 1) (EnK2(k)S(k))p1(k)(A(k) EnK1(k)S(k))+ = − − − ƒ−(EnK2(k)S(k))p2(k)A(k 1) (EnK2(k)S(k))Q(k 1) − − ƒ − − − − +K2(k)V(k)K1(k) + ƒ , p2(0) =p2,0, (20)p3(k 1) (EnK2(k)S(k))p1(k)(EnK2(k)S(k))+ = − − ƒ+K2(k)V(k)K2(k) + ƒ , p3(0) =p3,0, (21)1K2(k) p1(k)S (k)(S(k)p1(k)S(k) V(k)) = ƒ ƒ+ −. (22)В (19) - (22) начальные условия p1,0 , p2,0 , p3,0 являются соответствующимиблоками матрицы P0 .Доказательство строится на использовании формул (7), (11), (15), (16) и наблочном представлении матрицы K(k) в виде12( ) ( ) ( )K k K k K k=⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎝ ⎠.Замечание. Задачу экстраполяции можно также рассмотреть для следующегоканала наблюдений:y(k)=S(k)X(k)+v(k) ,где ( ) ( ) 00 ( 1)S k S kS k=⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠, ( ) ( )( 1)v k v kv k=⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠.v(k) − случайная последовательность ошибок измерений с характеристиками:M{v(k)} = 0 , M{q(k)vƒ ( j)} = 0 ,M{v(k)v ( j)} V(k) i, j ƒ = ƒ , ( ) ( ) 00 ( 1)V k V kV k=⎛ ⎞ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠.94 С.В.Смагин3. Результаты вычислительного экспериментаРассмотрим применение алгоритма экстраполяции для модели второго поряд-ка вида (1), канала наблюдений (2) со следующими значениями параметров:0 10,05 0,9A =⎛⎜ ⎞⎟⎝ ⎠; 0,01 00 0,02Q =⎛⎜ ⎞⎟⎝ ⎠; V = 0,8 ;S = (1 1) ; 01, 01,5x =⎛⎜ ⎞⎟⎝ ⎠; 01, 0 00 1,0P =⎛⎜ ⎞⎟⎝ ⎠.Результаты моделирования предложенного экстраполятора (17) и экстраполя-тора Калмана [8], не учитывающего наличие неизвестных возмущений, приведе-ны на рис. 1.0 20 40 k-5051015200 20 40 k-50510152011( ),( )x kx k22( ),( )x kx k213123

Скачать электронную версию публикации