Optimal estimation of states of an asynchronous flow of events with finite number of the states under conditions of unprolonging dead time..pdf Системы и сети массового обслуживания (СМО и СеМО) широко применяют-ся в качестве математических моделей различных технических, физических, эко-номических и других систем. Случайные потоки событий, являющиеся основны-ми элементами СМО и СеМО, в свою очередь, применяются в качестве математи-ческих моделей различных реальных процессов, протекающих в таких системах, в частности, случайные потоки событий служат математическими моделями ин-формационных потоков заявок, функционирующих в ЦСИО. Современными ма-тематическими моделями информационных потоков в ЦСИО являются дважды стохастические потоки событий: потоки, интенсивность которых случайным об-разом изменяется со временем, т.е. является случайным процессом. Одними из первых работ, положивших начало систематическому исследованию дважды сто-хастических потоков событий, были работы [1 - 3].Режимы функционирования СМО и СеМО непосредственно зависят от значе-ний (состояний) интенсивностей входящих потоков событий. В силу того, что со-стояние интенсивности дважды стохастического потока является принципиально ненаблюдаемым, возникает важная задача оценки состояния интенсивности (со-стояния потока) в произвольный момент времени по наблюдениям за моментами наступления событий потока. Достаточно обширная литература по оценке состоя-ний дважды стохастических потоков приведена в [4 - 6], поэтому здесь специаль-но не будем останавливаться на классификации дважды стохастических потоков (асинхронных, синхронных и полусинхронных) и решении задач по оценке со-стояний этих потоков. Подчеркнём, что большинство авторов изучает СМО и СеМО в условиях, когда все события функционирующих в СМО и СеМО потоков событий доступны наблюдению. Однако на практике возможны ситуации, при ко-торых часть событий становится недоступной для наблюдения. Одной из причин последнего являются регистрирующие приборы [7]: наблюдаемое (зарегистриро-ванное) событие порождает период мёртвого времени, в течение которого другие42А.М. Горцев, В.Л. Зуевичнаступившие события недоступны наблюдению (не регистрируются, теряются для СМО либо СеМО). Можно считать, что период мёртвого времени продолжается некоторое фиксированное время Т. Все устройства регистрации делятся на две группы. Первую группу составляют устройства с непродлевающимся мёртвым временем, вторую - устройства с продлевающимся мёртвым временем. Одними из первых работ по оценке параметров случайных потоков событий, функционирующих в условиях мёртвого времени (как продлевающегося, так и непродле-вающегося), являются работы [8 - 10].В работах [6, 11] решена задача об оптимальной оценке состояний асинхронного дважды стохастического потока событий с произвольным (конечным) числом состояний в условиях отсутствия мёртвого времени. Впервые постановка этой задачи и попытка её решения предпринята в [12]. В настоящей статье, являющейся непосредственным развитием работы [6], решается задача об оптимальной оценке состояний асинхронного дважды стохастического потока событий с конечным числом состояний в условиях его неполной наблюдаемости (при непродлевающемся мёртвом времени). Предлагается алгоритм оптимальной оценки состояний, когда решение о состоянии потока выносится по критерию максимума апостериорной вероятности, представляющей наиболее полную характеристику состояния потока, которую можно получить, располагая только выборкой наблюдений. Данный критерий обеспечивает минимум полной (безусловной) вероятности ошибки вынесения решения [13].1. Постановка задачиРассматривается асинхронный дважды стохастический поток событий с конечным числом состояний (далее асинхронный поток либо просто поток). Интенсивность потока - кусочно-постоянный случайный процесс X(t) с n состояниями: X1,X2, … ,Хn (k1 > Х2 > … > Хn > 0). Процесс (поток) в момент времени t находится в i-м состоянии, если X(t) = Xi (i = 1,n). В течение времени пребывания в i-м состоянии поток ведет себя как пуассоновский с интенсивностью Xi (i=1,n). Длительность пребывания в i-м состоянии является экспоненциально распределенной случайной величиной с функцией распределения Fi(x) = 1-eaiix, гдеnаii = - j осij (i = 1,n); осij > 0 (ij = 1,n , i ≠ j) - интенсивность перехода про-цесса X(t) из состояния i в состояние j, т.е. величины осij образуют матрицу интен-сивностей (матрицу инфинитезимальных коэффициентов) переходов между состояниями ЦоСij |1 n . Можно показать [6], что X(t) - транзитивный марковский процесс. После каждого зарегистрированного в момент времени tk события наступает время фиксированной длительности Т (мёртвое время), в течение которого другие события исходного асинхронного потока недоступны наблюдению. События, наступившие в течение мёртвого времени, не вызывают продления его периода (не-продлевающееся мёртвое время). По окончании мёртвого времени первое наступившее событие снова создаёт период мёртвого времени длительности Т и т.д. Вариант возникающей ситуации приведён на рис. 1 для n = 3, где 1, 2, 3 - состояния случайного процесса X(t); штриховка - периоды мёртвого времени длительности Т; t1, t2, … - моменты наступления событий в наблюдаемом потоке.Оптимальная оценка состояний асинхронного потока событий43а31а12а23а32а13а23tПроцессλ(t)t-о-о-штшт >Асинхронный поток! событий iчшшшщЬшшшщ ЪшшЬнШ)Схема создания непродлевающегося мёртвого времени-О-t 1Наблюдаемый-о-поток событийt 5tРис. 1. Формирование наблюдаемого потока событийПроцесс X(t) является принципиально ненаблюдаемым, наблюдаемыми являются только временные моменты наступления событий наблюдаемого потока t1, t2, … , поэтому необходимо по наблюдениям t 1, t2, … оценить состояние процесса X(t) (потока) в момент окончания наблюдений.Рассматривается установившийся (стационарный) режим функционирования наблюдаемого потока событий, поэтому переходными процессами на интервале наблюдения (t 0 , t), где t 0 - начало наблюдений, t - окончание наблюдений (момент вынесения решения), пренебрегаем. Тогда без потери общности можно положить t 0 = 0. Для вынесения решения о состоянии ненаблюдаемого процесса X(t) в момент времени t необходимо определить апостериорные вероятности со(Хj | t) = со(Хj | t1, t2, … , tm, t) (j = 1,n) того, что в момент времени t значение процесса X(t) = Xjn(m - количество наблюдённых событий за время t), при этом ^]ю(Я, jt) =1.j=1Решение о состоянии процесса X(t) выносится путём сравнения апостериорных вероятностей: если со(Хj | t) ≥ со(Хi | t), i, j = 1,n , i ≠ j, то оценка состояния процессаесть X(t) = X .2. Алгоритм оптимальной оценки состояний асинхронного потокаРассмотрим интервал (tk , tk+1) (k = 1, 2, …) между двумя соседними событиями в наблюдаемом потоке. Так как моменты времени наступления событий в наблюдаемом потоке случайны, то длительность интервала (tk , tk+1) - случайная величина. Длительность начального интервала (t 0 , t 1) - также случайная величина, так как временной момент наступления первого события наблюдаемого потока случаен. Таким образом, значение длительности интервала (tk , tk+1) есть τ k = tk+1 - tk (k = 0, 1, …). С другой стороны, так как наступившее в момент времени tk событие44А.М. Горцев, В.Л. Зуевичнаблюдаемого потока порождает период мёртвого времени длительности Т, то τ k = Т + η k, где η k - значение длительности интервала между моментом окончания периода мёртвого времени и моментом tk+1. Таким образом, временной интервал ( tk , tk+1) разбивается на два смежных интервала: первый - (tk , tk + Т), второй -( tk + Т, tk+1). Подчеркнём одно важное обстоятельство: так как первое наступившее после окончания периода мёртвого времени событие асинхронного потока снова порождает период мёртвого времени фиксированной длительности Т, в течение которого последующие события асинхронного потока недоступны наблюдению (поток отсутствует), то условия нахождения апостериорных вероятностей (n(kj | t)(j = 1, n) на интервале (tk , tk + Т) длительности Т и на интервале (tk + Т, tk+1), значение длительности которого есть η k, принципиально разные. Кроме того, для нахождения апостериорных вероятностей ro(^j | t) (j = 1,n) необходимо точно знать длительность Т мёртвого времени либо, по крайней мере, предварительно осуществить её оценку T . В противном случае отсутствие информации о длительности Т мёртвого времени делает попытку строгого нахождения апостериорных вероятностей (n(kj | t) (j = 1,n) невозможной. В настоящей работе предполагается, что Т известно точно.В [6] сформулирован алгоритм расчёта апостериорных вероятностей (n(kj | t) (j = 1,n) для случая отсутствия мёртвого времени (Т = 0). При этом поведениею(^ | t ) (j = 1,n) на полуинтервале [tk , tk+1) (k = 1, 2, …) между соседними наблюдёнными событиями асинхронного потока, а также на полуинтервале [t 0, t 1) между началом наблюдений и наблюдением первого события определяется выражениемoa(J^|t )=-, j = 1,n,n n sil zl (tk)e^-tk )i=1 l=1nnгде tk ≤ t < tk+1, ю(Я, j | tk) = ю(Я, j |tk +0) = '^sjlzl(tk), zl(tk) = i 1 sli-1a>(Xi | tk + 0),l=1=k = 0, 1, …; соl (l = 1,n) - собственные числа матрицы D = dil|1n, dil = ali (i ≠ l),dll = аll - Хl (i,l = 1,n ); sil - элементы матрицы S = Цsil 1 n , в которой l-й столбецявляется собственным вектором, соответствующим собственному числу соl ;sl i1 (l,i = 1,n ) - элементы матрицы S-1, обратной матрице S.В момент времени tk (в момент наступления события асинхронного потока) апостериорная вероятность (1) претерпевает разрыв 1-го рода (k = 1, 2, …), поэтому в момент времени tk имеет место формула пересчёта:Хjсо(Хj|tk-0)_ю(кj |tk + 0) =n (j = 1,n, k = 1, 2, … ),(2)i=1где cu(Xj | tk - 0) вычисляется по формуле (1) в момент t = tk, когда t изменяется в полуинтервале [tk -1 , tk), соседнем с полуинтервалом [tk , tk+1). В качестве начально-Оптимальная оценка состояний асинхронного потока событий45го значения a(Xj | t0 + 0) = (n(Xj | t0 = 0) в (1) выбираются априорные финальные вероятности лj (j = 1,n) состояний процесса X(t) в стационарном режиме (t -^ ), являющиеся решением системы линейных алгебраических уравнений [6]:nrt^7гiаij =0 (j = 1,n-1), n^j =1.i=1j=1Таким образом, вычисление апостериорных вероятностей (n(Xj | t) (j = 1,n) поформуле (1) в условиях, когда длительность мёртвого времени Т ≠ 0, справедливо на полуинтервале [tk + Т, tk+1), значение длительности которого есть η k. При этом начальное условие для (n(Xj | t) привязывается к моменту времени tk + Т, т.е. в формуле (1), во-первых, нужно (n(Xj | tk + 0) заменить на ro(^j | tk + T), во-вторых, tk + Т ≤ t < tk+1, k = 1,2,… . Формула пересчёта (2) остаётся при этом без изменения, так как она предназначена для вычисления апостериорных вероятностей в момент tk наступления события, которое порождает мёртвое время.Рассмотрим отрезок [tk, tk + Т], k = 1,2,… . Так как на этом отрезке длительности Т событие наблюдаемого потока имеет место в граничной точке tk, а на самом отрезке события отсутствуют, то необходимо определить поведение апостериорных вероятностей (n(Xj | t) (j = 1,n) на отрезке [tk, tk + Т]. Определим апостериорную вероятность a(Xj | t + Δt) того, что в момент времени t + Δt (tk < t + Δt < tk + T), где Δt - достаточно малая величина, процесс X(t) находится в j-м состоянии (j = 1,n). Пусть в момент времени t процесс X(t) находится в j-м состоянии и наинтервале (t, t + Δt) процесс X(t) не перешёл в i-е состояние (i = 1,n ,i ≠ j), т.е. остался в j-м состоянии. Вероятность этого события есть (n(Xj | t)(1 + α jj Δ t) + о(Δt). Пусть в момент времени t процесс X(t) находится в i-м (i = 1,n) состоянии, и на интервале (t, t + Δt) процесс X(t) перешёл в j-е состояние. Вероятность этого собы-nтия есть Yi аijАtю(Я,i |t) + o(t). Другие возможности имеют вероятность о(Δt). Тогдаn(о(Хj | t + At) = (1 + OLjj At)a(Xj |t) + At ^] (ХijЮ(Я,i |t) +o(At) (j = 1,n). (4)Производя в (4) необходимые преобразования, после чего переходя к пределу при Δt -^ 0, получаем линейную однородную систему дифференциальных уравнений для апостериорных вероятностей (n(Xj | t):= nаijю(Я,i|t ) (tk ≤ t ≤ tk + T, j = 1,n , k = 1, 2, … ),(5)dt i =1с граничными условиями: a(Xj | t = tk) = ю(Хj | t + 0) (k = 1, 2, …). Последнее вытекает из того, что на полуинтервале [tk -1 + Т, 4) (k = 2, 3, …), смежном отрезку [tk, tk + Т ], апостериорные вероятности рассчитываются по формуле (1), где вместо (u(Xj | tk + 0) стоит со(Xj | tk + Т); в точке t = tk происходит пересчёт апостериорных вероятностей по формуле (2), так что их значение в этой точке есть (n(Xj | tk + 0) (j = 1,n). Для граничного полуинтервала [t0 , t 1) расчёт апостериорных вероятно-46А.М. Горцев, В.Л. Зуевичстей (n(kj | t) производится по формуле (1) с их последующим пересчётом по формуле (2) в точке t = t 1.Так как апостериорные вероятности ro(^j | t) для любого t удовлетворяют усло-nn -1вию нормировки ^]ю(Я, j |t) = 1, то выражая, например, со(Хn | t ) = 1- ^]ю(Я, j | t ) иподставляя данное представление в (5), осуществляем понижение порядка системы (5):n-1do)(k |t)исnj ~"~^(аij-аnj)со(Хi|t ) (tk ≤ t ≤ tk + T, j = 1,n-1 , k = 1, 2, …). (6)dti=1Сделаем одно замечание относительно системы (6). Поскольку X(t) - транзитивный марковский процесс, то при t -^ оо апостериорные вероятности стремятся к пределам (a(kj), не зависящим от начальных условий [14]. Тогда система (6) при t ->■ оо приобретает видn-1n-1S(anj"аij)со^)=аnj (j=1, n-1),сй0n)=1-Хсй(Ч). (7)i=1j=1Полученная система линейных неоднородных алгебраических уравнений (7) идентична системе (3), так что ro(^) = тгj (j = 1, n).Система (6) является системой линейных неоднородных дифференциальных уравнений относительно неизвестных апостериорных вероятностей a(kj | t) (j = 1, n -1), с начальными условиями, аналогичными начальным условиям системы (5). Её решение есть сумма решений линейной однородной системы и частного решения неоднородной системы. Найдём решение однородной линейной системы дифференциальных уравнений= n 1 (аij-аnj)ю(Я,i|t ) (tk ≤ t ≤ tk + T, j = 1,n-1, k = 1, 2, …). (8)dti~1Пусть a = \\aji 1 n (aji = α ij - α nj) - матрица коэффициентов системы (8);α 1,…, α n - 1 - собственные числа матрицы а; A = \\Aji |n~ - матрица, составленная из собственных векторов матрицы а так, что i-й столбец матрицы А соответствует собственному числу α i (i = 1, n -1). Тогда общее решение системы (8) запишется в виде [15]n-1G)(Xj|t) = y£JAjizi(tk)eait (tk ≤ t ≤ tk + T, j =1,n-1 , k = 1, 2, …),i=1где zi (tk) (i = 1,n-1) - константы, которые определяются из начальных условий для неоднородной системы (6).Частное решение неоднородной системы (6) будем искать в виде cu(Xj | t) = В j (j =1,n-1). Тогда для определения неизвестных констант В j (j = 1,n-1) имеем неоднородную систему линейных алгебраических уравнений относительно В j :n-1X(aji ~ani)Bj =~ani ( i = 1,n - 1), решение которой есть В j = det aj / det a, гдеj=1Оптимальная оценка состояний асинхронного потока событий47det aj - определитель, полученный из det a заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда решение системы (6) записывается в видею(Я,j|t ) =aj + n 1jAjizi(tk)ea'it (tk ≤ t ≤ tk + T, j =1,n-1 , k = 1, 2, …)det a i=1с начальными условиями ю(Х j | tk) = ю(Хj | tk +0) (j = 1,n -1). С учетом этих начальных условий значения констант zi (tk) (i = 1, n -1) находятся как решение системы линейных неоднородных алгебраических уравненийn 1 Aji zi ( tk )e"itk =ю(Я, j |tk+0) (j =1,n-1, k = 1, 2, …).(9)i=1det aТаким образом, получен следующий результат: на отрезке [tk , tk + Т ] (k = 1, 2, …) поведение апостериорных вероятностей ro(^j | t) определяется выра-жениямиdet a n -1со(Хj |t )=-j + XAji zi(tk)e°it (j = 1,n-1), det a i=1ю(Я.n|t ) = 1- n -1со(Я.j |t ),где tk ≤ t ≤ tk + T, k = 1, 2, … ; zi (tk) (i = 1, n -1) удовлетворяют системе (9); все остальные величины, входящие в (10), определены выше.Подчеркнём одно важное обстоятельство. Так как lim a(Xj | t) = тгj при t --> (j = 1,n), что отмечено при выводе системы (7), то из (10), во-первых, следует, что все собственные числа α i (i=1,n-1) отрицательны и, во-вторых, тсj = det aj / det a (j = 1, n -1). Наконец, из (10) следует, чтосо(Хj |tk +T) = det a + n -1 Aji zi(tk)e"i ( tk + T) (j =1, n -1), det a i=1n-1со(Хn |tk +T) = 1-^]сй(Хj |tk +T), k = 1, 2, … .(11)j=1Полученные формулы позволяют сформулировать алгоритм расчёта апостериорной вероятности со(Хj | t) (j = 1,n) и алгоритм принятия решения о состоянии процесса X(t) в любой момент времени t:1)в момент времени t 0 = 0 задаётся со(Хj | t 0 + 0) = со(Хj | t 0 = 0) = тгj (j = 1, n) какрешение системы (3);2)по формуле (1) для k = 0 рассчитываются апостериорные вероятностию(^ | t ) (j = 1,n) в любой момент времени t (0 ≤ t < t 1), где t 1 - момент наблюдения первого события наблюдаемого потока;3)по формуле (1) для k = 0 рассчитываются вероятности со(Хj | t) (j = 1,n) вмомент времени t 1: ro(^j | t 1) = со(Хj | t 1 - 0);48А.М. Горцев, В.Л. Зуевич4)k увеличивается на единицу и по формуле (2) для k = 1 производится пересчёт апостериорных вероятностей ro(^j | t) в момент времени t = t1, при этом(u(kj | t 1 + 0) (j = 1,n) являются начальными значениями для расчета cu(Xj | t) поформуле (10);5))по формуле (10) для k = 1 рассчитываются апостериорные вероятности ю(^ | t ) (j = 1, n) в любой момент времени t (t1 < t < t1 + T);6))по формуле (11) для k = 1 рассчитываются вероятности со(Хj | t) ( j = 1,n) в момент времени t = t 1 + T, т.е. вероятности со(Хj | t1 + T); при этом со(Хj | t 1 + T) (j = 1,n) являются начальными условиями для вычисления вероятностей со(Хj | t)на следующем шаге алгоритма;7))для k = 1 по формуле (1), в которой со(Хj | tk + 0) заменены на cu(Xj | tk + T), рассчитываются вероятности ro(^j | t) (j = 1,n) в любой момент времени t (t1 + T < t < t 2), где t 2 - момент наблюдения второго события наблюдаемого потока;8))по формуле (1) для k = 1 рассчитываются вероятности со(Хj | t) (j = 1,n) вмомент времени t = t2: ю(^ | t 2) = ю(^ | t 2 - 0);9)алгоритм переходит на шаг 4, после чего шаги 4 - 8 повторяются для k = 2и т.д.Параллельно по ходу вычисления апостериорных вероятностей ro(^j | t) (j = 1,n) в любой момент времени t выносится решение о состоянии процессаX(t): если ro(^j | t) ≥ со(Хi | t), i, j = 1,n , i ≠ j, то оценка i(t) = Xj.3. Результаты численных экспериментовПоскольку значение апостериорной вероятности в момент времени t зависит от всех моментов наблюдения событий потока до момента t, а также от начальных условий, задаваемых в момент времени t 0, найти явный вид полной (безусловной) вероятности ошибочной оценки состояния, по-видимому, невозможно. Поэтому для оценки полной вероятности ошибки был проведен ряд статистических экспериментов с использованием имитационной модели потока. Программа расчёта реализована на языке программирования C++ в виде пользовательского приложения. Первый этап расчёта предполагает имитационное моделирование асинхронного потока событий, схемы создания непродлевающегося мёртвого времени и наблюдаемого потока событий. Алгоритмы имитационного моделирования и данных схем в настоящей статье не рассматриваются, так как не содержат принципиальных трудностей. Второй этап расчёта состоит в расчёте апостериорных вероятностей, оценивании состояния потока и вычислении оценки полной вероятности ошибки P 0.Каждый эксперимент состоит из следующих шагов: 1) для заданного набора параметров асинхронного потока и заданного значения мертвого времени Т осуществляется имитационное моделирование потока на отрезке времени [0, Tm], где Tm - длительность времени моделирования (i-й эксперимент, i = 1,N); 2) с заданным интервалом дискретизации времени dt (т.е. в моменты 0, dt, 2dt, …) произво-Оптимальная оценка состояний асинхронного потока событий49дится расчёт вероятностей a(Xj | t) состояний процесса X(t) на отрезке [0, Tm] по формулам (1) - (3), (10); 3) на основе полученных значений вероятностей строится оценка X(t) процесса X(t); 4) траектория оценки X(t) сравнивается с истинной траекторией процесса X(t) и осуществляется определение ti - - суммарной длительности интервалов времени, на которых значение процесса X(t) не совпадает с его оценкой X(t); 5) для i-го эксперимента вычисляется доля ошибочных решений pi =ti - /Tm; 6) осуществляется повторение N раз (i = 1,N) шагов 1 - 5 длярасчета оценки безусловной вероятности ошибки оценивания состояний процесса X(t) на отрезке [0, Tm].Результатом выполнения описанного алгоритма является выборка pi(i = 1,N) долей ошибочных решений в N экспериментах. После этого вычисляются выборочное среднее безусловной вероятности ошибочного решенияN ^^N ЛP 0 = (1/N ) i =1 pi и выборочная дисперсия D = (1/(N -1)) i =1 (pi -P 0 )2 .В качестве иллюстрации на рис. 2 приведена траектория (верхняя часть рис. 2) случайного процесса X(t), полученная путём имитационного моделирования. Моделирование производилось для следующих значений параметров потока: n = 3; X1 = 10; Х2 = 1; Х3 = 0,1; первая строка матрицы интенсивностей переходов процесса X(t) из состояния в состояние |аij |1 3 есть а(1) = (- 1,8; 1; 0,8), вторая строка -а(2) = (0,55; - 1,2; 0,65), третья строка - а(3) = (0,2; 0,4; - 0,6), мёртвое время Т = 0,1. Время t изменяется в пределах от 0 до Tm, где Tm - время моделирования асинхронного потока (Tm = 5 ед. времени). На рис. 2 (верхняя часть рис. 2) цифрами 1, 2, 3 обозначены первое, второе и третье состояния случайного процесса X(t).В нижней части рис. 2 приведена траектория оценки X(t), где цифрами 1, 2, 3 по-прежнему обозначены состояния оценки X(t). Вынесение решения о состояниипроцесса X(t) производится с интервалом дискретизации времени dt = 0,01. На рис. 2 (нижняя часть рис. 2) штриховкой на оси времени обозначены промежутки времени, на которых оценка состояния не совпадает с истинным значением процесса X(t). На рис. 3, 4 и 5 приведены траектории поведения апостериорных вероятностей ю(Я,1 | t), co(X2 | t) и со(Х3 | t), соответствующие полученной при имитационном моделировании последовательности временных моментов наступления событий t1,t2,… (ю(Я,1 | t) + со(Х2 | t ) + со(Х3 | t ) = 1).В табл. 1 - 5 приведены численные результаты проведенных экспериментов. В первой строке каждой таблицы указаны значения мёртвого времени T, при которых проводилось моделирование асинхронного потока событий (T = 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1 ед. времени). Во второй и третьей строках таблиц для каждого значениямёртвого времени T приведены численные значения P0 и D соответственно.Результаты получены при следующих значениях параметров, общих для всех таблиц: число состояний потока n = 3; время моделирования Tm = 500 ед. времени; интервал дискретизации времени dt = 0,01; размер выборки (число имитаций по-50А.М. Горцев, В.Л. Зуевичтока) N = 100; первая строка матрицы интенсивностей переходов случайного про-цесса λ(t) из состояния в состояние αij 3 есть α(1) = (- 0,03; 0,02; 0,01), вторая1строка - α(2) = (0,025; - 0,04; 0,015), третья строка матрицы - α(3) = (0,02; 0,04; -0,06). Первый эксперимент (табл. 1) проводился для параметров λ1 = 4; λ2 = 2,5; λ3 = 1 (при этом λ2 = (λ1 + λ3)/2). В каждом из последующих экспериментов (табл. 2 - 5) интервал между интенсивностями (λ1 , λ3) увеличивался на 30 % по сравнению с предыдущим экспериментом, значение λ2 выбиралось как середина интервала (λ1 , λ3), т.е. λ2 = (λ1 + λ3)/2.λ(t)1 2inщ1 2 301234Рис. 2. Истинная траектория процесса X(t) (верху) и траектория оценки X(t) (внизу)5t0,9 0,6 0,301234Рис. 3. Траектория апостериорной вероятности co(X1 | t)5t0,9 0,6 0,301234Рис. 4. Траектория апостериорной вероятности ω(λ2 | t)5tиилии0,9 0,6 0,30Рис. 5. Траектория апостериорной вероятности ω(λ3 | t)Оптимальная оценка состояний асинхронного потока событий51Таблица 1Результаты статистического эксперимента (λ1 = 4; λ2 = 2,5; λ3 = 1)T00,20,40,60,81^ 00,2020,2350,2780,2990,3210,325D0,0025840,0023290,0027970,0037650,0037770,003971Таблица 2Результаты статистического эксперимента (λ1 = 5,2; λ2 = 2,95; λ3 = 0,7)T00,20,40,60,81P 00,1390,1820,2110,2350,2620,276D0,0010890,0015920,0020430,0026960,0032650,003392Таблица 3Результаты статистического эксперимента (λ1 = 6,76; λ2 = 3,625; λ3 = 0,49)T00,20,40,60,81P 00,1020,1510,1790,1990,2190,232D0,0004670,0012070,0016140,002240,0022670,002199Таблица 4Результаты статистического эксперимента (λ1 = 8,788; λ2 = 4,566; λ3 = 0,343)T00,20,40,60,81P 00,080,130,1530,1840,1990,226D0,0003030,0009560,0017390,0014130,0025210,002037Таблица 5Результаты статистического эксперимента (λ1 = 11,424; λ2 = 5,832; λ3 = 0,24)T00,20,40,60,81P 00,0630,110,1430,1660,1840,202D0,0002770,000910,0015850,001380,0018460,002059Анализ результатов численных экспериментов, представленных в табл. 1 - 5, показывает следующее.1) Для фиксированных параметров потока при росте значения мёртвого времени Т качество оценки состояния ухудшается (P0 и D растут), так как чем большеТ, тем больше информации о потоке теряется. С ростом Т темп ухудшения оценки падает, поскольку увеличение потерь информации становится относительно малым по сравнению с уже имеющимися потерями. Многочисленные эксперименты, проведённые для тех же параметров, что и эксперименты, данные по которым приведены в табл. 1 - 5, показывают, что при изменении Т приблизительно в диапазоне от 15 до 20 ед. времени значения P0 и D стабилизируются, т.е. потери52А.М. Горцев, В.Л. Зуевичинформации о потоке становятся столь велики, что дальнейшее увеличение мёртвого времени не оказывает существенного влияния на качество оценок. Отметим здесь, что при Т -^ оо апостериорные вероятности вычисляются по формуле (10) в любой момент времени t после момента наблюдения первого события t 1, так как если Т неограниченно велико, то на отрезке времени [t1, Tm] периоды наблюдаемости, в течение которых применяется формула (1), отсутствуют. А посколькуlim (n(kj | t) = %j при t ->■ оо (j = 1,n), то вероятность принятия ошибочного решения при Т -^ оо, Tm -^ оо стремится к вероятности ошибки, получаемой при оценке состояния потока по критерию максимума финальной вероятности тгj (j = 1,n).2))При фиксированном значении Т с увеличением величины интервала (X1 , Х3) качество оценки состояния улучшается, так как чем сильнее интенсивности отличаются друг от друга, тем сильнее различается поведение потока при разных значениях интенсивностей, т.е. отследить изменение состояния становится проще. При этом чем больше значение мёртвого времени Т, тем меньше темп улучшения качества оценки состояний при увеличении интервала (Х1, Х3), поскольку чем больше значение мёртвого времени, тем менее увеличение интенсивностей X1 и Х2 отражается на поведении потока (мёртвое время поглощает события, наступающие с большой частотой, делая различия между состояниями потока менее значимыми).3))В целом анализ результатов экспериментов показывает, что предложенный в статье алгоритм обеспечивает приемлемую величину оценки полной вероятности принятия ошибочного решения, выборочная дисперсия оценки при этом достаточно мала.ЗаключениеПредложенный в статье метод позволяет получать оптимальные оценки состояний асинхронного дважды стохастического потока с произвольным (конечным) числом состояний при непродлевающемся мёртвом времени фиксированной произвольной длительности в режиме текущего времени. Оценивание производится по критерию максимума апостериорной вероятности, который обеспечивает минимальную полную (безусловную) вероятность принятия ошибочного решения. Апостериорные вероятности получены в явном виде для любого момента времени (для периодов наблюдаемости явный вид получен в [6], для периодов мёртвого времени - в настоящей статье), что позволяет проводить их вычисление с привлечением минимально возможного количества численных методов. Полученные результаты проведённых экспериментов показывают возможность оценивания состояний асинхронного дважды стохастического потока предложенным методом.

Скачать электронную версию публикации