Investigation of dynamic Markov RQ-system with conflicts of service requests..pdf Исследованию математических моделей компьютерных сетей связи в виде систем массового обслуживания с источником повторных вызовов посвящено большое количество работ. Анализу таких моделей посвящены работы А.А. Наза-рова [1 - 5], А.Н. Дудина [6 - 8], И.И. Хомичкова [9] и др. Однако задачи, посвя-щенные исследованию RQ-систем с динамическим протоколом, остаются нере-шенными.В сетях связи наблюдаются наложения сигналов, приводящие к искажению сообщений (конфликтам заявок), поэтому конфликты заявок требуют рассмотре-ния моделей, выходящих за рамки классических. Для исследования таких систем применяется метод асимптотического анализа [10]. Для решения проблем повтор-ного обращения и потери информации предлагаются различные модификации протоколов случайного множественного доступа: статические [11], динамические [12] и адаптивные [13].В данной статье рассмотрим систему с повторными обращениями и конфлик-тами заявок, управляемую динамическим протоколом доступа.1. Постановка задачиЛюбая абонентская станция, сформировав свое сообщение, отправляет его на общий ресурс. Если ресурс свободен, то начинает осуществляться немедленная передача сообщения, которая заканчивается успешно, если другие сообщения не поступали. Если во время передачи некоторого сообщения поступает другое, про-исходит наложение сигналов, сообщения считаются искаженными и переходят в источник повторных вызовов (ИПВ), откуда вновь обращаются к ресурсу после случайного времени задержки [14]. Для исследования таких систем в качестве ма-тематической модели рассмотрим однолинейную систему массового обслужива-ния (СМО) с ИПВ и конфликтами заявок, управляемую динамическим протоко-1 Работа выполнена в рамках аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009 - 2010 годы)», проект № 4761.74Т.В. Любина, А.А. Назаровлом доступа. Такую СМО будем называть динамической RQ-системой (retrial queue) с конфликтами заявок. Задачей данной работы является исследование динамических RQ-систем с конфликтами заявок, то есть нахождение её основных вероятностно-временных характеристик.2. Математическая модельНа вход системы поступает простейший поток с параметром λ. Заявка, заставшая прибор свободным, занимает его для обслуживания в течение случайного времени, распределенного по экспоненциальному закону с параметром μ. По завершении успешного обслуживания заявка покидает прибор. Если во время обслуживания некоторой заявки поступает другая, то в приборе возникает конфликт и обе заявки переходят в ИПВ. Из ИПВ обращение заявки к прибору определяется динамическим протоколом доступа, то есть после случайной задержки в ИПВ заявка с динамической (зависящей от состояния ИПВ) интенсивностью σ / i вновь обращается к прибору с повторной попыткой его захвата, i - число заявок в ИПВ. Если прибор свободен, то заявка становится на обслуживание, если же он занят, то вновь возникает конфликт заявок (рис. 1) [15].σ/i σ/i ^σ/iλμРис. 1. Динамическая RQ-система с конфликтами заявок= {0, если прибор свободен, 1Состояние системы в момент времени t определяется двумерной цепью Маркова {k(t),i(t)} , где i(t) - число заявок в ИПВ, а k(t) определяет состояние прибора следующим образом:1, если прибор занят обслуживанием.3. Метод производящих функцийОбозначим P{k(t)=k,i(t)=i} = P(k,i,t) - вероятность того, что в момент времени t прибор находится в состоянии k и в источнике повторных вызовов i заявок.Распределение вероятностей P(k,i,t) удовлетворяет следующим равенствам:⎧P(0,i,t + Δt) = (1 - λΔ t)(1 - σΔ t ) P (0 , i,t) + μΔ tP(1, i, t ) + +σΔ tP(1, i -1,t ) + λΔtP(1, i-2,t ) + o(Δ t ), P(1, i, t + Δ t ) = (1 - λΔ t )(1 - μΔ t )(1 - σΔ t)P(1, i, t ) + +σΔ tP(0, i +1,t ) + λΔ tP (0, i, t ) + o( Δ t ).Исследование марковской динамической RQ-системы с конфликтами заявок75(X + ст)P(0, i, t) + цP(1, i,t) + стP(1, i -1,t ) + ХP (1, i ~ 2, t),лP1(1)( ,i,t ) (Я, + (х + ст)P(1,i,t )+стP(0,i+1,t ) + P (0,i,t ).Составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова для i > 2 : dP(0,i,t)9tБудем полагать, что система функционирует в стационарном режиме, то естьP(k,i,t)=P(k,i). Запишем систему (1) для стационарного распределения:-ХP(0,0) + цP(1,0) = 0, i=0,-(X + ц)P(1,0) + ХP(0,0) + сгP(0,1) = 0 , i = 0,-(X + сг)P(0,1) + цP(1,1) = 0, i = 1,-(X + а + ц)P(1,1) + ХP(0,1) + аP(0,2) = 0 , i = 1,(2)-(X + а)P(0,i) + цP(1, i) + аP(1,i -1) + P (1,i - 2) = 0 , i > 2 ,-(X + а + ц)P(1, i) + ХP(0, i) + аP(0, i +1) = 0 , i > 2 . Чтобы решить систему (2), определим производящие функцииСОG(k,x) = iJxiP(k,i).=0Из системы (2), с учетом равенства (3), получаем следующую систему для функций G(k, x):(4)-(X + a)G(0, x) + (ц + ax + Хx2 )G(1, x) = -aP(0,0) + аxP(1,0),[(Хx + a)G(0, x) - (ц + a + X)xG(1, x) = aP(0,0) - axP(1, 0) Из полученной системы (4), обозначивG(x) = G(0,x)+G(1,x)(5)и принимая во внимание первое уравнение системы (2), можно записатьaP(0,0)(|a + X-Xx)f1-xG(x).^ ^Х2x2 -(2Xa + X2)x + |aaУчитывая условиеG(1) = 1, получаемP(0,0) =,а(ц-Х)в силу свойств вероятности должно выполняться следующее неравенство:-

Скачать электронную версию публикации