Efficient and robust MD-estimators of Cramer - von Mises..pdf Рассмотрим вариант, когда статистическая модель (Х,Зе) задана в параметрической форме. Здесь X обозначает выборочное пространство и Зе = {F : F(x,Q), 8 е ©} - заданное параметрическое множество допустимых распределений вероятностей. Имеется выборка X1,...,Xn в виде последовательности н.о.р. случайных величин с функцией распределения F(x,Q) и с плотностью f(x,Q), xeR1 , 8 е ©. Функциональный вид распределения задан с точностью донеизвестного параметра θ (скалярного либо векторного), который принадлежит заданному параметрическому множеству Θ. Требуется построить по выборке X 1,...,Xn из распределения F(x,Q) оценку неизвестного параметра 8е©.Метод минимума расстояний состоит в том, что на множестве непрерывных функций распределений 3, для пары распределений F,Ge3, задается метрика(или расстояние) p(F,G). Оценка параметра θ, полученная методом выбранного расстояния p(F,G), определяется из условия минимума этого расстояния между эмпирической функцией распределения Fn (x), построенной по выборке X1,...,Xn, и функцией распределения Fe(x)=FX(x,Q), принятой в модели (Х,Зе). Таким образом, для выбранного расстояния p(F,G), MD-оценки определяются в виде выражения ˆ = argmin{p(Fn,Fe)} . Для построения MD-оценок0могут быть использованы различные расстояния (см. [2]). Отметим, что метод максимального правдоподобия основан на использовании расстояния видаp(Fn,Fe) = -{lnf(x,Q)dFn(x). В данной работе мы рассмотрим MD-оценки, которые основаны на использовании взвешенного расстояния Крамера - Мизеса, определяемого при G = Fn, в видеpW(Fn,Fe) = \[Fn(x)-Fe(x)]2 We(x,Fe)dFe(x),(1)где We =W(x,Fq) - заданная весовая функция, которая в общем случае может за-108В.П. Шуленинвисеть от ф.р. Fe или плотности f е. Предполагая, что pW(Fn,Fe) дифференцируемая по параметру θ функция, обозначим её производную через iFn (8) = dpW(Fn,Fe)/66 . С учетом этого обозначения, MD-оценка 8n параметра θ, основанная на использовании взвешенного расстояния Крамера - Мизеса вида (1), является решением уравнения iFn (8) = 0 , гдеf)F (x ) iF (8) = -2 f [Fn (x) - Fe (x)]^ We (x)dFe (x) ++J [Fn (x) - Fe (x)]2 -W%f% (x)]dx.(2)96В данной работе рассмотрим MD-оценки параметра сдвига θ в одновыбороч-ном варианте, то есть в этом случае Fe(x) =F(x-Q). Введем опорное семействораспределений в виде 30 = {F: Fe (x) = F0 (x - 8), QeR1}, где F0 - заданное опорное распределение с плотностью f0. Перепишем (1) в видеpFnF0(Q,W) = j[Fn(x)-F0(x-Q)]2W(x-Q)dx.Отметим, что выбор весовой функции W в виде плотности опорного распределения, то есть в виде W(x) = f0(x), соответствует расстоянию Крамера - Мизеса,выбор весовой функции W(x) = f0(x)/F0(x)(1-F0(x)) соответствует расстояниюАндерсона - Дарлинга (см., например, [4, 9]). Предполагая, что pF F (Q,W) из (3)дифференцируемая по параметру θ функция, обозначим её производную черезXFn (8) = dpFn F0 (Q,W)/dQ . Уравнение XFn (8) = 0 для нахождения MD-оценки записывается в виде2n F 0(X ( i)-е)2.n2iW(X(i)-Q) = 0,i=1где X(1),...,X(n) - упорядоченная статистика выборки X1,...,Xn.1. Асимптотическая нормальность MD-оценокАсимптотические свойства MD-оценок изучались различными авторами (см., например, [1, 4, 6, 9]). В данной работе обсуждаются асимптотические свойства MD-оценок 8n параметра сдвига θ, которые при заданной опорной ф.р. F0, принятой в качестве исходной модели, и заданной весовой функции W являются решением уравнения (4). При этом различаются следующие два варианта оценивания параметра θ.Вариант 1. Функция распределения F наблюдений X1,...,Xn известна, и онасовпадает с опорной функцией распределения F0, то есть F = F0 (или Fe30).Вариант 2. Функция распределения F наблюдений X1,...,Xn неизвестна, и она не обязательно совпадает с опорной функцией распределения F0, то есть F Ф F0 (или F

Скачать электронную версию публикации