Dynamic investment portfolio control model in thefinancial market with regime switching under asset allocation constraints.pdf Проблема оптимального управления инвестиционным портфелем (ИП) являет-ся одной из наиболее актуальных в финансовой инженерии. Особый интерес представляет задача управления ИП на финансовом рынке с переключающимися режимами [1 - 6]. При этом предполагается, что параметры уравнений, описы-вающих доходности рисковых активов, меняются скачкообразно в соответствии со случайной сменой режимов функционирования, характерных для реальных финансовых рынков.В [1, 2] рассматривается задача управления ИП на скачкообразном финансо-вом рынке без учета явных ограничений на объемы торговых операций. На реаль-ных рынках существуют жесткие ограничения на объемы вложений (купли-продажи) и займов финансовых инструментов.Задача динамического управления ИП с учетом явных ограничений рассмат-ривалась в работах [7, 8]. В [7] эволюция цен рисковых активов описывается дис-кретизованной версией модели типа геометрического броуновского движения со случайными независимыми параметрами, в [8] доходности описываются моделью авторегрессии. В этих работах предлагается использовать стратегии управления с прогнозирующей моделью (со скользящим горизонтом инвестирования) [9]. Та-кой подход позволяет достаточно просто учитывать явные ограничения на управ-ляющие переменные - объемы вложений и займов. Синтез стратегий управления с прогнозированием сводится к последовательности задач квадратичного про-граммирования.В настоящей работе рассматривается задача управления ИП при ограничениях на финансовом рынке с переключающимися режимами. Параметры рисковых ак-тивов меняются в соответствии с эволюцией однородной марковской цепи с ко-нечным пространством ненаблюдаемых состояний и известной матрицей пере-6В.В. Домбровский, Т.Ю. Объедкоходных вероятностей. Получены уравнения синтеза стратегий управления ИП с прогнозирующей моделью с учетом явных ограничений на объемы вложений и займов. Приведены результаты численного моделирования с использованием реальных данных.1. Постановка задачи и описание модели ИПРассмотрим ИП, состоящий из n видов рисковых финансовых активов (обыкновенных акций) и одного безрискового финансового актива (банковский счет или надежные облигации). Капитал, помещенный в i-й рисковый актив в момент времени k, равен ui(k) (i = 1, 2,..., n); в безрисковый u0(k). Тогда общий объем вложений (капитал портфеля) в момент времени k будетV(k) = ∑ ui(k)+u0(k).Отметим, что если ui ( k) < 0 (i = 1, 2, ..., n), то это означает участие в операции «продажа без покрытия» на сумму | ui(k)|; если u 0(k)0, ρ(k,i)>0 - весовые коэффициенты. Весовые коэффициенты ρ(k,i) можно выбирать различными способами. Если ρ(k,i)=1, то минимизируется сумма квадратов абсолютных отклонений от намеченной траектории; если ρ(k,i)=[V 0(k+i)]-2, то минимизируется сумма квадратов относительных отклонений от намеченной траектории; можно также использовать дисконтирующие множители: ρ(k,i)=[1+β ]-2i, где β - ставка дисконтирования.Таким образом, на каждом шаге k имеем задачу минимизации критерия (8) со скользящим горизонтом управления по последовательности прогнозирующих8В.В. Домбровский, Т.Ю. Объедкоуправлений u(k/k), …, u(k+m-1/k), зависящих от состояния системы в момент времени k, при ограничениях (4), (5). В качестве управления в момент времени k берем u ( k)=u( k / k). Тем самым получаем управление u(k) как функцию состояний управляемого и эталонного портфелей, т.е. управление с обратной связью. Чтобы получить управление u(k+1) на следующем шаге, процедура повторяется для следующего момента k + 1 и т.д.Теорема. Пусть динамика ИП описывается уравнением (3) с моделью доход-ностей (7) и ограничениями (4),(5). Тогда оптимальная стратегия прогнозирующего управления, минимизирующая критерий (8) со скользящим горизонтом m определяется уравнениемu(k) = [ In 0n '" 0n]U(k),(9)где In - единичная матрица размерности n, 0n - квадратная нулевая матрицаразмерности n, U ( k)=[uT(k/k), …,uT(k+m-1/k)]T - вектор прогнозирующих управлений, который определяется из решения задачи квадратичного программирования с критериемY(k + m/k) = 2xT (k)G(k)U(k) + UT (k)H(k)U(k)(10)при ограниченияхUmin (k) < S(k)U(k) < Umax (k),(11)Umin(k)=[uTmin(k),0maxn+1x1n+1x1гдеx (k) = [V(k) V0(k)] T0 n+M] T,Umax (k)=[uTmax ( k ),0minn+1x1n+1x1maxu1min(k)u2min(k), umax( k) =unmin ( k)[u 0min(k)-V(k)\u1max (k) u2max (k)un max (k) umax(k)-V(k)S(k), H ( k), G(k) - блочные матрицы вида"H 11(k) H 12(k) - H1m(k)H (k)H21(k) H22(k) ... H2m( k)_Hm1(k) Hm2(k) ... Hmm(k) G(k) = [G1(k) G2(k) ... Gm(k)];S(k) = diag(S(k),0,0 n+1хn ),блоки которых определяются следующими соотношениями:Htt(k)=R2(k, t-1) + n\ν (Bs ( q ) (k + t))TQ(m-t)Bs ( q ) (k + t)pq(k+t); (14)s=0 [q=1ννHtf(k) = X Z(B0q)(k + t )) T(A(f-t ) ) TQ(m-f)B0r)(k + t )Prqf - t )pq(k + t ), tf;Gt(k) = (At )TQ(m-t)Ј B0(q) (k + t)pq (k + t);q=19(16) (S(k);μ 1(q)-r μ2(q)-r μn(q)-r000,( j=1,n),(q = 1,ν),где' 10 0"01 000 1L-1-1 -1.Q(t) = ATQ(t-1)A+R1(k,m-t), t = 1,m Q(0) = R1(k,m),A = diag(1 + r,1 + μ0), B0(q) (k) Bj (q) (k)00(19)R1(k,t)=ρ(k,t)1 -1 -1 1R2(k, t) = ρ(k, t)R(k,t)Prqf t - элемент матрицы Pf t.Доказательство. С учетом (7) представим уравнения динамики реального и эталонного портфелей (3), (6) в матричном виде:u (к), (20)x(k + 1) = Ax(k) +гдеx(k)B0[α(k),k] Bj[α(k),k]B0 [α(k +1), k +1] + j Bj [α(k + 1),k + 1]ωj (k +1)V(k)V0(k)u 1 (k)A = diag(1 + r,1 + μ0),u(k)un (k)μ 1 [α(k),k]-r μ2[α(k),k]-r μn[α(k),k]-r000j 1,n.σ1j [α(k), k] σ2j [α(k), k] σnj [α(k), k]000Критерий (9) перепишем следующим образом:J(k+m/k)=M\SxT (k+i) R 1(k,i)x(k+i )+uT(k+i-1/k)R2(k, i-1)u(k+i-1/k) / x(k). (21)Цепь Маркова с дискретным временем допускает следующее представление в пространстве состояний [10]:θ(k + 1) = Pθ(k) + υ(k + 1),(22)где θ(k)=[δ(α(k),1), …,δ(α(k),ν)]T, δ(α(k), j) - функция Кронекера, j=1, … ν; υ - мар-10В.В. Домбровский, Т.Ю. Объедкотингал разность с характеристикамиM{υ(k + 1)} = 0;C (k +1) = M{ υ(k +1) υ T (k +1)} = diag(PM{θ(k)}) - Pdiag(M{θ(k)})P . При этомL 1(k)=M{θ(k)} = Pkp(0) = p(k);L2 (k) = M{θ(k)θT (k)} = diag(p(k)),(25)где p(0)=[p p p2,…,pv]T - начальное распределение состояний цепи Маркова, p(k) = [p1 (k),2(k),… ,pν(k)]T - распределение состояний цепи в момент времени k. С учетом (22) систему (20) можно представить в следующем виде:x(k + 1) = Ax(k) +B0 [θ(k + 1),k +1] + £ Bj [θ(k + 1),k + 1]ωj (k +1)j=1u (к), (26)νгдеBj[θ(k),k] = ^θi(k)Bj ( i)(k),(j = 0,n).Здесь θi(k), i=1,2,…,ν, - компоненты вектора θ(k), {Bj ( i )}, j=0,…,n, i=1,…,ν, - множество значений матрицы Bj[θ(k), k].Выражая последовательно все x(k+i), i=1,2,… ,m, через x ( k) с использованием уравнения системы (26) и подставляя результат в критерий (21), получимJ(k + m/k) = xT (k)AT Q(m-1)Ax(k) +(28)m+2xT (k)AT 1 (Ai-1)T Q(m-i)M {B0[θ(k+i),k + i]}u(k + i-1/k) +i=m( n1+ i uT (k+i-1/k)< YjM{bsT [θ(k+i), k +i]Q(m-i)Bs [θ(k+i),k+i]}+R2 ( k , i-1) \u(k+i-1/k)+m-\ m+2 1 X uT (k+i-1/k)M { B 0T[θ(k+i),k+i](Aj - i ) T Q(m-j)B0[θ(k+j),k+j]}u(k+j-llk).i=1 j=i+1С учетом (23) - (25), (27) определим математические ожидания, входящие в(28):ννM{B0[ θ (k + i ),k + i]} = Yj[EqL 1(k + i)]B0(q)(k + i) = ^B0(q)(k + i)pq(k + i); (29)q=1q=1M {BsT [ θ (k + i), k + i]Q(m - i)Bs [ θ (k + i), k + i]} = = νν (Bs(q) (k + i )) T [Er L 2 ( k + i)EqT ]Q(m - i)Bs (r) (k + i) =q=1 r=1= q =1 (Bs(q) (k + i))T Q(m - i)Bs(r) (k + i)pq (k + i);(3M {B0T [ θ (k + i ), k + i](A(j - i) ) T Q(m - j)B0 [ θ (k + j), k + j]} = 1 1 (B 0(q) ( k + i )) T [ErM {θ(k + j)θT (k + i)} EqT ] Q(m - j)B(r) (k + j), (31)q= r=Динамическая модель управления инвестиционным портфелем11где Eq=[0 ■■■ 0 1 0 0], q = 1,ν, j = i + 1,m Определим M{θ(k+j)θT(k+i)} для j=i+1,…,m:M { θ(k + j)θT (k +i )} = M {θ ( k+i + (j - i)) θ T (k + i)} =θ T (k+i)M\\ Pj-iθ(k + j)+ £ Plυ(k + j-l) Tl=0= Pj - iM { θ(k + i)θT (k + i)} = Pj - iL2 (k + i). Тогда (31) примет видM{B0 T[θ(k + i),k+i](A( j-i) )TQ(m-j)B0[θ(k + j),k + j] == νν ( B 0( q ) ( k + i )) T [Er P j - i L2 ( k + i)EqT ](Aj -i ) T Q( m - j)B 0(r) (k + j)q=1 r=1= Z Z (B0(q) (k + i )) T (Aj-i ) T Q(m - j )B0(r) ( k + j)Prqj-i pq ( k + i ),( j=i + 1,m). (32)q=1 r=1С учетом (29), (30), (32) критерий (28) перепишем в видеJ(k + m/k) = xT (k)AT Q(m-1)Ax(k) +(33)mI ν+2xT (k)AT £ (Ai-1 ) T Q(m - i ) j Z B 0( q) (k + i)pq (k + i)\u(k + i-1/k) +i=1U=1JJmI n ν+YuT (k+i-1/k)\ ZZ( Bs(q) ( k+i )) T Q(m-i)Bs(r) (k+i)pq (k+i)+R2 (k,i-1) \u(k+i-1lk)+i=1[s=0 q=1Jm-\ mI ν ν+2 1XuT(k + i-1/k) XZ(B 0(q)( k+i )) T (Aj - i)TQ(m-j ) B 0(r)(k + j)Prq j - i pq ( k+i )М^-№),i=1 j=i+1(q=1 r=1Jгде pq(k) - q-й элемент вектора p(k), Pr jqi - элемент (r,q) матрицы Pj - i. Выражение (33) можно записать в матричном виде:J(k + m/k) = xT (k)ATQ(m - 1)Ax(k) + 2xT (k)G(k)U(k) + UT (k)H(k)U(k), (34)где матрицы H(k),G(k) имеют вид (12) - (19).Таким образом, имеем задачу минимизации критерия (34) при ограничениях (4), которая эквивалентна задаче квадратичного программирования с критерием (10) при ограничениях (11).3. Численное моделированиеОпределим стратегию управления портфелем ценных бумаг, состоящим из пяти рисковых активов, торгующихся на российском фондовом рынке, а именно: ОАО «Сбербанк России», ОАО «Газпром», ОАО «ГМК Норильский никель», ОАО «Банк ВТБ», ОАО «Нефтяная компания Лукойл», банковского счета с доходностью r = 0, 00004. Период инвестирования: с 28.10.2007 г. по 15.05.2008 г. продолжительностью T = 200 торговых сессий.12В.В. Домбровский, Т.Ю. ОбъедкоИзвестно, что финансовый рынок может находиться в состояниях с низкой и высокой волатильностью. Основываясь на анализе доходностей рисковых активов, будем предполагать, что первое состояние характеризуется следующими параметрами активов: σ 11(1)=0,01; σ 22(1)=0,02; σ 33(1)=0,01; σ44(1)=0,01; σ55(1)=0,02; второе состояние: σ 11(2)=0,04; σ22(2)=0,03; σ33(2)=0,04; σ44(2)=0,04; σ55(2)=0,03. Предполагается также, что σ ij(1)= o,/2)=0 при i ≠j, i, j=1,…,5. Индикаторами смены режимов рынка могут служить финансовые индексы. Оценка матрицы переходных вероятностей, характеризующей смену режимов финансового рынка, получена методом максимального правдоподобия [11] по выборке объемом N = 100 значений индекса ММВБ за период, предшествующий периоду инвестирования.Матрица переходных вероятностей имеет видP = ,, .Оценки средней доходности на каждом k-м шаге (k = 1,2,…, T) производятся методом простой скользящей средней с периодом, равным 13.Операции «продажи без покрытия» не запрещены, γ i'= -0,6, γ i''=3, i=1,…,5, γ 0'=3. Доходность эталонного портфеля μ 0=0,003. Весовые коэффициенты R=diag( 10 4,…,104), ρ(k,i)=1. В начальный момент времени капитал ИП V(0)=V0(0)=1, горизонт прогноза m = 20.Рис. 1 иллюстрирует динамику доходностей рисковых финансовых активов (по оси абсцисс указаны номера временных интервалов, а по оси ординат - величины доходностей).На рис. 2 показаны: изменение капитала V0(k) эталонного портфеля (линия 1), изменение капитала управляемого портфеля V(k) (линия 2), (по оси абсцисс указаны номера временных интервалов, а по оси ординат - капиталы портфелей). На рис. 3 показана динамика капитала, вложенного в каждый рисковый финансовый актив: линия 1 - капитал u 1(k), вложенный в акции ОАО «Сбербанк России», линия 2 - капитал u2(k), вложенный в акции ОАО «Газпром» (по оси абсцисс указаны номера временных интервалов, а по оси ординат - суммы вложений).Л0,30,20,10-0,1-0,2-0,3050100150kРис. 1. Динамика доходностей рисковых активов (линия 1 - доходность акции ОАО «Сбербанк России», линия 2 - доходность акции ОАО «Газпром»)Динамическая модель управления инвестиционным портфелем13, V0 1,8J '1,62 jp*%1,4 1,21 s^f*^ц|тУ104080120160kРис. 2. Динамика портфеля (линия 1 - капитал эталонного портфеля, линия 2 - капитал управляемого портфеля)u 0,40,30,20,10-0,1-0,2-0,3-0,404080120160kРис. 3. Динамика управляющих воздействий (линия 1 - u1(k), линия 2 - u2(k))Из рис. 2 видно, что капитал управляемого инвестиционного портфеля доста-точно хорошо отслеживает рост капитала эталонного портфеля за счет перерас-пределения средств между рисковыми и безрисковыми вложениями с привлече-нием заемных средств.ЗаключениеВ работе предложен подход к управлению инвестиционным портфелем в дис-кретном времени на финансовом рынке с переключающимися режимами. Задача управления ИП формулируется как динамическая задача слежения за эталонным портфелем с заданной желаемой доходностью. Структура ИП описывается разно-стным стохастическим уравнением со случайными параметрами, скачкообразно меняющимися в соответствии с эволюцией марковской цепи с конечным фазовым пространством состояний.14В.В. Домбровский, Т.Ю. ОбъедкоСинтезированы стратегии управления с прогнозирующей моделью при усло-вии, что состояние марковской цепи не наблюдается, и с учетом явных ограниче-ний на объемы торговых операций.Численное моделирование подтверждает работоспособность и эффективность данного подхода к управлению ИП на реальном финансовом рынке.

Скачать электронную версию публикации