Distribution of the conditional time before ruin of an insurancecompany under double stochastic payment current.pdf В [1] было получено выражение для вероятности разорения страховой компании на бесконечном временном интервале при дважды стохастическом потоке страховых выплат и малой нагрузке страховой премии. Однако более исчерпывающей характеристикой деятельности компании является распределение условного времени до ее разорения при условии, что разорение происходит [2]. Через распределение условного времени до разорения может быть выражена, в частности, вероятность разорения на конечном временном интервале. В настоящей работе находится распределение условного времени до разорения страховой компании при дважды стохастическом потоке страховых выплат и малой нагрузке страховой премии.1. Математическая модель страховой компанииКак и в [1], будем считать, что интенсивность потока страховых выплат X(t) является однородной цепью Маркова с непрерывным временем и n состояниями X(t) = Xi [3]. Переход из состояния в состояние задаётся матрицей инфинитези-мальных характеристик Q = \q ij] ранга n-1. Таким образом, переход из состояния i в состояние j за малое время At имеет вероятностьPij(At) = qijAt + o(At), i*j,Pii (At) = 1 + qiiAt + о(Аt), i = 1,n , где qij > 0 при iф j иn qij=0.1 Работа выполнена в рамках аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (2009 - 2010 годы), проект № 4761.16К.И. Лившиц, Я.С. БубликОбозначим Pi (t) = P{X(t) = Xi},i = 1,n . Если управляющая цепь является неразложимой, то существуют финальные вероятностиt->COкоторые являются решением системы уравненийnj=1 7Г1+7Г2+... + 7Гn =1.Обозначим через Х0 среднюю интенсивность потока страховых выплат в стационарном режимеnK = Y,xi%i.i=1Будем считать далее, что страховые выплаты являются независимыми случайными величинами с плотностью распределения ц/(x), средним значениемM {x} = a и вторым моментом M{x2} = a2.Наконец, в соответствии с классической моделью страховой компании [4] будем считать, что страховые премии поступают непрерывно во времени с постоянной скоростью c, так что за время At приращение капитала за счет страховых премий равно c At. Пусть S(t) - средний капитал компании в момент времени t. Как показано в [1], при t»1S(t) = S(0) + (c-X0a)t.Из выражения (6) следует, что при t»1 капитал компании в среднем монотонно возрастает, еслиc = (1 + 6)Х0a,где 8 > 0 . При 8 < 0 компания разоряется. Параметр 8 , как и в классической модели, - нагрузка страховой премии.2. Производящие функции условного времениПусть (Q,F,F = (Ft)t>0 P) - вероятностное пространство, на котором определены траектории процесса S(t) изменения капитала компании. Пусть в начальный момент времени капитал компании равен s и значение интенсивности X(t) = Xi. Разобьем все возможные траектории процесса S(t), выходящие из этой точки на два класса: {Sm (t),ю е Ц (s)} - траектории, приводящие к разорению, и {Sa (t),ю е Qi (s)} - траектории, приводящие к выживанию. Пусть ti (s,со) - время до разорения на траектории, приводящей к разорению. ОбозначимФi(s,u)= ( e-uti(s,a)P(da)(8)Распределение условного времени до разорения страховой компании17и пустьPi(s)= f P(d(u)(9)- вероятность разорения на бесконечном интервале при условии, что в начальный момент времени капитал равен s и интенсивность потока равна Xi. Тогдасрi (s,u) 0.Пусть Fi (t,s) - функция распределения условного времени до разорения при условии, что в начальный момент времени капитал равен s и интенсивность потока равна Xi. Если Pi (s,t) - вероятность разорения страховой компании за время t, тоPi(s, t) = Fi(s, t)Pi(s),так как для разорения за время, не превосходящее t, компания должна разориться и время до разорения должно быть не больше чем t. Поэтому определение любой из вероятностей Pi(s,t) или Fi(t,s) определяет и вторую вероятность.Для вывода уравнений, которым должны удовлетворять функции Фi(s,u), рассмотрим два соседних момента времени tи t + At. За время At капитал компании изменится на величину As иti(s,(u) = At + tj(s,G>),где номер j соответствует значению интенсивности X(t) в момент времени t + At. Усредняя соотношение (12), будем иметьФi (s,u) = e-uAtMAsj {Фj (s + As,u)}.(13)При принятой модели за время At могут произойти следующие события:1..С вероятностью (1-Х^)(1 + qiiАt) + o(Аt) интенсивность потока не меняется, страховые выплаты не производятся.2..С вероятностью XiAt\[i(x)dx(1 + qiiAt) + o(At) интенсивность потока не меняется и производится случайная страховая выплата размера x.3..С вероятностью (1-'kiAt)qijAt + o(At) происходит изменение интенсивности потока с Xi на Хj, страховая выплата не производится.Остальные события имеют вероятность o (At).18К.И. Лившиц, Я.С. БубликИспользуя формулу полной вероятности, получим из (13)sФi (s,u) = e~uM (1-(Xi -qii)М)Фi (s + cAt,u) + XiAt\Фi (s + cAt-x)\\i(x)dx +0+kiAt\\V( x ) dx+Y,qijWbj ( s + cAt,u ) + o (At ) ,si*jгде учтено, что при s < 0 ti (s,co) = 0. Считая функции Фi (s,u) дифференцируемыми и переходя к пределу при At ->■ 0 , получим

Скачать электронную версию публикации