Exotic put option with limited payments of the option andthe presence of dividend payments on the risk asset..pdf Опцион является производной (вторичной) ценной бумагой и представляет со-бой контракт, по которому покупатель опциона приобретает право покупки или продажи некоторого оговоренного в контракте базисного актива по оговоренной цене, а продавец за премию, которая является ценой опциона, обязан исполнить требование покупателя при предъявлении опциона к исполнению [1 - 4]. В пер-вом случае имеем опцион купли (call option), а во втором - опцион продажи (put option). Если платежные обязательства характеризуются только ценой базисного актива в фиксированный момент исполнения опциона (спотовая цена - sport price) и ценой исполнения контракта (страйковая цена - striking price), то такие опционы являются стандартными опционами европейского типа. Развитие рынка опцион-ных контрактов потребовало более сложных платежных обязательств, учитываю-щих как желание эмитента ограничить выплаты по опционам, так и желание по-купателя опциона иметь гарантированный доход. Платежные функции с дополни-тельными условиями породили класс экзотических опционов (exotic options) [5-7]. В обзорной работе [5], написанной по материалам иностранной научной печати, отмечается, что хотя на западных финансовых рынках, особенно на внебиржевых, в настоящее время имеют хождение несколько десятков экзотических опционов, теория этих опционов является малоразработанной и контракты по ним заключа-ются на основе эвристических соображений и опыта работы дилеров с корректи-ровкой классических формул Блэка - Шоулса [8] и Кокса - Росса - Рубинштейна [9], определяющих цены стандартных опционов соответственно в диффузионной и биномиальной моделях. В данной работе рассматривается опцион продажи на диффузионном (B,S)-рынке с ограничением выплат, который дает преимущество продавцу опциона.32У.В. Андреева, Н.С. ДeминИспользуемые обозначенияP{.} - вероятность события; E{.} - математическое ожидание; N{a;b} - нормальная (гауссовская) плотность с параметрами a и b; a+=max{a;0};x1f2]Ф(x)= f (p(y)dy, (р(y) = =exp\- y-\.-о,"*2π [ 2 J1. Постановка задачиРассмотрение задачи проводится на стохастическом базисе (D.,F,F = (Ft)t>0,P) [1 - 3]. На финансовом рынке обращаются рисковые (акции) и безрисковые (банковский счет, государственные облигации) активы, текущие цены которых St и Bt в течение фиксированного интервала времени t e [0,T] определяются уравнениями [1 - 3]dSt = St (μdt + σdWt), dBt = rBtdt,где первое уравнение есть стохастическое дифференциальное уравнение Ито, Wt -стандартный винеровский процесс, σ > 0, r > 0, μeR = (-oo, +oo), S0>0, B0 > 0 , решения которых имеют видSt (μ) = S0 exp{(μ-(σ2/2))t+ σ Wt} , Bt=B0 exp{rt}.(3)Считаем, что текущее значение капитала инвестора Xt определяется в видеXt=βtBt+γtSt, где π t = (βt,γt) есть пара Ft-измеримых процессов, составляющая портфель ценных бумаг инвестора (стратегию инвестирования). Аналогично [10] предполагается, что за обладание акцией происходят выплаты дивидендов в соответствии с процессом Dt со скоростью δγ tSt, пропорциональной рисковой части капитала скоэффициентом δ , таким, что 0 < δ < r, т.е. dDt = δγtStdt. Тогда изменение капитала в задаче с дивидендами происходит в видеdXt = βtdBt + γtdSt + dDt. Так какdXt = $tdBt +ytdSt +Btdfit +Stdyt, то Btdfit+Stdyt = dDt, что является балансовым соотношением, заменяющим условие самофинансируемости Btdβt +Stdγt = 0 в стандартной задаче [1 - 3]. Тогда из (2) и (4) следует, что капитал определяется уравнениемdXt = rXtdt + σγtStdWt μ -r+δ,где согласно теореме Гирсанова [1 - 3] процесс Wt μ -r+δ =Wt +((μ-r + δ)/σ)t является винеровским относительно меры P μ -r+δ, такой, чтоdP t μ-r+δ = Zt μ-r+δdPt;Zt r+δ = exp|- μ-r+ Wt - 1iμ - r + δ) t} .Экзотический опцион продажи с ограничением выплаты по опциону33Так как Law(Wμ -r+δ |P μ -r+δ) = Law(W|P), то [1, 2]σ-r+δ Iμ-r+δ(ifσ2}Law S 0 exp r-δ- - t + σW μ -r+δ ktЈT\P = Law S 0 expj r-δ--\t + σW ti;t K2 > 0 , а также найти стоимость опциона PTmin = X 0min и рассмотреть еесвойства.Согласно платежному обязательству (9), еслито продавец опционаполучает выплату в размере k. = K1-ST, еслии в размере Д = K2,еслиЗамечание 1. Дополнительные условия, вносимые в платежные обязательства экзотических опционов, могут быть как в пользу покупателя, так и в пользу продавца опциона, что в первом случае должно приводить к увеличению, а во втором - к уменьшению цены опциона относительно стандартного опциона с платежной функцией fT (ST ) = (K1- ST)+ . Очевидно, что опционы с платежной функциейfTmin (st ) соответствуют платежным обязательствам в пользу продавца опциона, так как ограничивают выплату величиной K2.2. Основные результатыДалее всюдуln 1 -(r-δ)(T -t)ln 1 -(r-δ)(T -t)z 0 (t) = , z 1 (t )σ-JT -tσ-T~-St 2 St, z 1 (34У.В. Андреева, Н.С. Дeмин K 1σ2ln --(r-δ +-)(T -t)St2K 1 - K 2σ 2ln - (r - δ + -)(T -t)z2 (t)z3(t), (10)St2σл/T-tσ-jT-tа z0, z1, z2, z3 определяются формулами (10) при t=0.опциона PTmin, капитал Xt min и портфель π t min = (γ t min,βmin) определяются форму-Теорема 1. Для опциона продажи с платежной функцией вида (9) стоимость цио ламиPT101210Xt min = K 1 e-r( T-t) [Ф(z0 (t )) - /2π2Зsdsdsто дифференцирование (12) по s с учетом (20) дает, чтоX min = -e - δ ( T-) [Ф( z 2 ( t )) -Ф( z 3(t)) ] + ψ;3s- t ) 5Ф(z2(t ))3sψ 1 = K 1 e-r(T-t )0 - se- δ(T- t ) ( 2dsr(T-t )3P(z1(t ))Эs3P(z3(t ))3s-δ(T-t )ψ2=(K1-K2)e-r( T-t ) ЭФ(z0( t ))36У.В. Андреева, Н.С. ДeминИспользование (20) с учетом (10) дает, что.∂Φ(zi(t )) exp{-zi2(t )/2}i = 0;3∂ssσyl2π(T-t)Так как, согласно (10), z2 (t) = z0 (t) - σ-JT-t, z3 (t) = z1 (t) - σ-Jt -t, то из (25) следует, что^=- 2 K 1 exp ⎨- ⎬ exp {-(r-δ )( T-t)},∂ ss σyj2π(T-t) ⎪⎩ 2 ⎪⎭∂Φ ( z 3( t )) =- ( K 1 - K2) ep ⎪⎩ -f^⎪⎭ { -δ )(T-t).(26)∂ ss σyl2π(T-t) [ 2 JИспользование (25) и (26) в (23) и (24) дает, что ψ 1 = 0 и ψ2 = 0, т.е. согласно (22) ψ = 0. Тогда (13) следует из (15) и (21), а (14) - из (15), (12) и (13). Теорема 1 доказана.3. СвойстваПусть по определению ( PT min ) = ∂PTmin ∂ α есть коэффициент чувствительности, определяющий зависимость стоимости опциона от параметра α.Теорема 2. Коэффициенты чувствительности, определяющие зависимость стоимости опциона от начальной цены S0 базисного актива, от цены исполнения опциона K1 и от величины K2, ограничивающей выплаты по опциону, определяются формулами(PT min) S°=-e-δ T [ Φ(z2)-Φ(z 3) ] ,(PT) K 1 = e-rT [ Φ(z0)-Φ(z1) ] , (PT min) K 2 = e-rTΦ(z 1),(27)и при этом( PTmin ) 0 < 0 , ( PTmin ) 1 > 0, ( PTmin ) 2 > 0,т.е. по K1 и K2 стоимость опциона является возрастающей, а по S0 - убывающей функцией.Формулы (27) следуют из (11) в результате дифференцирования по S0, K1 и K2 с использованием (10), (20), (25) и (26), а свойства (28) следуют очевидным образом из (27) с учетом того, что Φ(x) > 0, ϕ(y) > 0 (см. (1)), функция Φ(x) является монотонно возрастающей от Φ(-∞) = 0 до Φ(+∞) = 1 со свойством Φ(x) + Φ(-x) = 1, а z0 > z 1 и z2 > z3.Экономическая интерпретация свойств (28) заключается в следующем. Убывание стоимости опциона с возрастанием начальной цены базисного актива S0 объясняется тем, что при этом в среднем возрастает ST, что приводит к увеличению вероятности не предъявления опциона к исполнению, а за увеличение риска следует меньше платить. Поскольку при увеличении K 1 увеличивается вероятность предъявления опциона к исполнению и величина выплаты, то этим объяс-Экзотический опцион продажи с ограничением выплаты по опциону37няется увеличение цены опциона, так как за увеличение дохода и уменьшение риска следует больше платить. Увеличением дохода объясняется и рост цены опциона с ростом K2.Замечание 2. Из (9) следует, чтоlim fT min (ST) = fT(ST) = (K1-ST)+ ,где fT(ST) есть платежная функция стандартного опциона продажи [1 - 4].Следствие 1. Пусть PT,Xt,γt,βt есть пределы PTmin,Xmin,γ t min,βmin при K2→ K 1. ТогдаPT = K1e-rTΦ(z0)-S0e-δTΦ (z2);Xt = K1e-r(T-t) Φ(z0(t))-Ste-δ(T-t) Φ(z2(t));(γ t = -e-δ(T-t ) Φ(z2(t)), β t = (K1lBt)e-r( T-t )Φ(z0(t)).(32)Так как z1 = z3 = -∞ при K2=K 1, а Φ(-∞) = 0 , то формулы (30) - (32) следуют из (11) - (14). Данный результат представляет собой полное решение задачи хеджирования для стандартного опциона продажи при наличии выплат дивидендов. В случае δ = 0, когда выплаты дивидендов отсутствуют, формула (30) переходит в формулу Блэка - Шоулса для опциона продажи [8].Следствие 2. Величинаравная разности между стоимостьюстандартного опциона продажи PT и стоимостью экзотического опциона продажи PTmin, определяется формулой∆ PT = (K 1 -K2)e-rT Φ(z1)-S0e-δ T Φ(z3)(33)и при этом∆ PT > 0, PT > PTmin , т.е. стоимость стандартного опциона больше стоимости экзотического опциона.Формула (33) следует из (11), (30). Свойство PT > PT min следует из того, что согласно (28), PTmin является возрастающей функцией K2 и при этом, согласно cледствию 1, lim PT min = PT при K2 ↑ K 1.Экономическая интерпретация свойства (34) заключается в следующем. Поскольку в случае стандартных опционов с платежной функцией вида (29) отсутствуют ограничения на величину выплаты по опциону, то PTmin < PT , так как за наличие ограничений, уменьшающих величину возможного дохода, следует меньше платить.На рис. 1 представлены зависимости PTmin и PT от коэффициента волатильно-сти σ, вычисленные при K 1=S0=1, r = 0,05, T = 5, δ = 0,01, K2=K 21 =0,1, K2 = K2 = 0,4, K2 = K 23 = 0,7 . Взаимное расположение кривых отражает свойство (34) относительно K2, а также свойство PTmin → PT при K2 ↑ K 1. Проведенные вычисления также подтвердили свойства возрастания стоимости опциона по K 1 и убывания по S0, т.е. свойства (28) относительно S0 и K 1.38У.В. Андреева, Н.С. Дeмин0,511,522,5J-=»-Рис. 1. Зависимость PTmin при различных значениях K2 и РТ от σСогласно [1, 2], отрицательные значения составляющих минимального портфеля (минимального хеджа) π t*=(γ t*,β*), капитал которого (см. (4))X* =β*Bt+γ t*St обеспечивает выполнение платежного обязательства Х* T = fT, означают взятие соответствующего актива в долг, причем в соответствии с принципом безарбитражности в долг оба актива одновременно не могут браться. Анализ формул (13), (14) и (32) даетγ t min < 0, γt < 0, β min > 0 , βt > 0 .Таким образом, для опционов продажи акции берутся в долг и являются пассивом, а банковский счет в долг браться не может и является активом капиталаmin tX. Тогда из (4) следуетβTmin BT =Xmin T+γTmin ST = fTmin +γTmin STСледовательно, в момент T предъявления экзотического опциона продажи с платежной функцией (9) к исполнению капитал βTmin BT , содержащийся на банков-ском счете, расходуется на выплату по опциону, равную fTmin , и на возврат акци-онного долга, равного γTmin ST . Согласно (35), подобным свойством обладает и стандартный опцион продажи.ЗаключениеПроведено исследование одного вида экзотических опционов продажи с огра-ничением выплат для продавца опциона в диффузионной модели (B,S) - финансо-вого рынка при наличии выплаты дивидендов по рисковым активам. Получены формулы, определяющие стоимость опциона, а также эволюцию во времени ка-питала и портфеля (теорема 1). Исследованы зависимости цены опциона от на-Экзотический опцион продажи с ограничением выплаты по опциону39чальной цены базисного актива, от цены исполнения и от величины, ограничи-вающей выплаты (теорема 2). Исследована связь между решениями задач для эк-зотического и стандартного опционов (следствия 1, 2). Дана содержательная ин-терпретация свойств решения.

Скачать электронную версию публикации