Guaranteed estimation of process ARCH(p)parameters.pdf Процессы с условной неоднородностью (ARCH- и GARCH-модели) находят широкое применение при обработке эконометрических данных, например при описании волатильности финансовых индексов. Задача оценивания параметров таких моделей является сложной задачей, поскольку эти процессы являются существенно нелинейными. Особый интерес представляет построение оценок, обладающих гарантированным среднеквадратическим уклонением. Возможность построения таких оценок появляется при переходе к последовательным планам оценивания. В данной работе предлагается метод получения оценок неизвестных параметров процесса ARCH(p) и исследуются их асимптотические свойства.1. Постановка задачиРассматривается случайный процесс ARCH(p)xl = CTl8l>222(1)аl = Х0+Х1 xl-1+... + Хpxl-p.Здесь {еl}и - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевым средним и единичной дисперсией. Параметры А = [Х0,...,Х ] неизвестны. Ставится задача по наблюдениям за процессом {xl}оценить вектор неизвестных параметров Л с гарантированной точностью.2. Последовательная оценка параметровДля процесса (1) при p = 1 в [1] была предложена гарантированная последовательная процедура гарантированного оценивания параметров, основанная на идее, предложенной в [2] для классификации процессов авторегрессии с неизвестной дисперсией. Модифицируем процедуру для процесса произвольного порядка. Представим процесс (1) в видеxl2=а2+а2(е2-1).Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 09-08-00595-а.Гарантированное оценивание параметров процесса ARCH(p)41Введем обозначения B2 = M(е2 -1)2, r\l = (е2 -1)1B и, учитывая (1), получим(2)xl2 = Х0 + Vxl - 1 + ... + Хpxl2-p + (Х0 + X1xl 2- 1 + ... + Хpxl2-p)Bг\l.Здесь {r|l }и - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с Mг\l = 0, Mг\2 = 1. Процесс (2) является процессом авторегрессии первого порядка, дисперсия шумов которого (х0 +Х1 xl 2- 1 + ... + Хpxl2-p B2неизвестна и, более того, не ограничена сверху. Преобразуем далее процесс (2). Введем обозначения1 x 2±2 , 2y -1 y -1l-p21 22(3)l-1y2yl-1 =max|l,xl - 1,...,xl - p }, zlПерейдем теперь к случайному процессу {zl} видаzl = Aal-1 + Аal -1 B-цl.(4)Так как Aal -1 < Х0 +... + Х , данный процесс обладает ограниченной дисперсиейшумов.Поставим задачу оценки вектора параметров Л процесса (4). Используем для построения оценки модифицированный метод наименьших квадратов. Оценка параметров строится в два этапа.На первом этапе на интервале [p + 1,n] вычисляется статистика Гn, затем она используется для компенсации неизвестной дисперсии помех. Для определения вида Гn преобразуем процесс (2). Введем обозначения222x1x2-1 =minJ1, xl 2- 1,...,xl2- p},x 2l = ~2 yl-1~2yla l-12 xl-pyl-1 y l -1 y l 2 -1В этом определении требуется, чтобы наблюдения xl-1,...,xl- на промежутке [1,n] были отличны от нуля, иначе можно выбрать первый промежуток, для которого верно это условие. Случайный процесс |x l2} имеет видx l2 =Аa l-1е2.(5)Очевидно, что Aa l -1 >Х0+... + Хp . Тогда Гn можно выбрать в одной из двух форм:-2a) г =CX x l 2(6), Cn=B2M p в{ n-1b) гn=Cn n x l 4, Cn=B2M X 5.Из соотношений (6) следует, чтоM-< .Гn B2 (l0 +... + \p)На втором этапе строится собственно оценка параметров, которая имеет вид{ т1kЛ*(H)= X vl zl+1alT A-1(т), A(k) = X vlalalT,(8)U=n+1Jl=n+1где т - случайный момент остановки, определяемый следующим образом:т = min{k>n + 1: vmin(k)>H},(9)vmin(k) - минимальное собственное значение матрицы A(k). Определим веса vl. Пусть m - минимальное значение k, при котором матрица A(n+k) не вырождена. На интервале [n +1, n + m -1] веса имеют вид1(10)если al линейно независим с {an+1… al -1}vl =0,иначе.На интервале [n + m,т-1] веса vl определяются из условияm in = k vl 2alTal.(11)Вес в момент т определяется из условийm in > n m vl 2alTal, Уmin(х) = H.(12)Теорема 1. Если существует константа Cn в (6), то момент остановки т(H)конечен почти наверное, среднеквадратическое отклонение оценки Л* (H) от истинного значения параметров оценивается сверху величиной *2 H+pMЛ (H)-Л 0:Pjf2 T al>sj-^^0.Так как alTal > 1, это условие может выполняться только при vl -^ 0 по вероятности. Перепишем уравнение для определения весовых коэффициентов (11) в виде [4]Vmin( k)1TTmin ( 1)2Tx =+ va amin xT ( A (k -1) + vkakaTk )llГГ x:|x|=1Отсюда получаем, что для собственного вектора bk : \\bk\\ = 1 матрицы A (k), соответствующего собственному значению vmin (k), верноvk2rnaTk ak -vk (akT bk) 2 -(bTkA ( k-1 ) bk -vmin(k-1)) = 0 .Решая квадратное уравнение, получаем, что оно имеет два корня, один из которых не положителен, а второй - не отрицателен. Коэффициент vk равен большему корню и имеет вид( aTk bk) 2 +i(aTkbk)+ 4TnaTkak (bkTA ( k-1 ) bk -vmin ( k-1 ) ) (aTkbk 2vk=>--j) T. (15)2ГnakakTnakakИз соотношения (15) видно, что vk -^ 0, если косинус угла между векторами bk и ak стремится к нулю, т.е. когда вектор наблюдений ak ортогонален собственному вектору матрицы A(k). Учитывая, что при vk -^-0 матрица A (k) меняется незначительно и малые изменения матрицы приводят к малым изменениям собственных векторов [4], то ak в этом случае стремится к определенному вектору, что противоречит (1) - (3).Рассмотрим среднеквадратическое отклонение оценки Л* (H) от истинного значения вектора параметров. Используя (4), неравенство Коши - Буняковского, соотношение || A(k)||> vmin(k) и (12), получаемM|л* ( H ) -л|2 =MX (hvl al alT Bг\l+1)A- (%)l=n+12< ■ оо , отсюда с учетом (10) - (12) получаемх(N )M Y vl 2 alTarf+1v2aTaM£l=n+1l=n+1n+m-1x( p HM X v2alTal+M ^ v2alTal почти наверное. Следовательно, для нахождения характеристической функции X% требуется найти предел характеристической функции XN . Для этого введем обозначениеEN(X) = П M (eiKl Fll=n+1Лемма [5]. Если (для данного X) \en (Х)\ > c(Х) > 0 , N > 1, то для сходимостиiVXM \efAXN) -^ M (ei}X \ достаточно сходимости по вероятности EN (X) -^ M ei Проверим условия леммы.NN\enq,)\= П |Mei l Fl]= П |1+Mei l-1-iХсl|F]|.l=n+1k=n+146Ю.Б. Буркатовская, С.Э. Воробейчиков\ef/x -1-iXx < (Xx)2/2, получаемИспользуя неравенствоNN f 1l=n+1N1lnl=n+1\en(X)\> П ( 1-M ei^-1-iхl Fl1)> П 1-M[(^l ) 2|Fll=n+1(\(^alk) Х[l expHmin(N,T) (Xvlalk ) l=n+12 тH*exp_7£ ( ll l=n+1Учитывая (12), окончательно имеем|EN(X)|>expj- H= e/rИсследуем теперь асимптотическое поведение EN (X). Представим эту величину в видеNIk=n+1EN(X) = exp ]Г M\eiКl -1-iX^lFl(21)exp - X M ei^ -1-iЩFl Ц 1+M ei^ -1-iЩFll=n+1l=n+1Рассмотрим произведение последних двух множителей и покажем, что оно стремится к единице. Введем обозначение аl =M\eiХС'l -1-iXQlfA. Воспользовавшись неравенством |ex -11

Скачать электронную версию публикации