Quantile hedging call option ina diffusion (B, S)-market in case of dividends payment on a risk active..pdf Опцион является производной (вторичной) ценной бумагой и представляет со-бой контракт, по которому покупатель опциона приобретает право купли илипродажи некоторого оговоренного в контракте базисного актива по определеннойцене, а продавец опциона за премию, являющуюся ценой опциона, обязан испол-нить требование покупателя при предъявлении опциона к исполнению [1 - 4]. Впервом случае имеем опцион купли, а во втором - продажи. Стандартная платеж-ная функция опциона купли, определяющая величину выплаты при предъявленииопциона к исполнению, имеет вид fT (ST K)= − + , где ST - цена базисного активав момент исполнения T (спотовая цена), K - цена исполнения контракта (страйко-вая цена), a+ = max(a;0) Опцион, соответствующий такой платежной функции вслучае фиксированного T, получил название стандартного опциона купли евро-пейского типа. В случае опционов, которые исполняются с вероятностью единица(совершенное хеджирование, или суперхеджирование), выплата по опциону мо-жет быть достаточно большой, что представляет существенный риск для эмитента(инвестора) и порождает требование ограничения этого риска. В предлагаемойработе реализация выдвинутого требования осуществляется на основе квантиль-ного хеджирования с вероятностью выполнения платежного обязательства, кото-рая, в отличие от стандартного опциона, меньше единицы [5], и при выполнениинекоторого условия, связывающего параметры модели рынка. В случае опционапродажи с платежной функцией вида ( ) T T f K S+ = − задача квантильного хеджи-рования рассмотрена в [6].1. Постановка задачиРассмотрим модель финансового рынка, представленного безрисковым (бан-ковский счет) B и рисковым (акция) S активами с ценами соответственно Bt и St вмомент времени t[0,T] . При этом активы B и S называют основными активамиили основными ценными бумагами, образующими (B, S)-рынок с непрерывнымвременем. Предполагается, что величина банковского счета B задается детерми-нированной функцией ( ) t t 0 B B > = , отвечающей дифференциальному уравнениюdBt= rBtdt, (1)решение которого имеет вид0rt, 0 0, 0Bt=Be B > r>, (2)где r - процентная ставка, или банковский процент. Изменение стоимости акции( ) t t 0 S S ≥ = происходит на стохастическом базисе ( ( ) ) 0 , , t t , F F > ƒ F= P [2 - 4].Для описания эволюции S используется модель «геометрического», или «эконо-мического», броуновского движения [2, 3]. Такой процесс описывается стохасти-ческим диффузионным уравнениемdSt=St(ƒdt+ƒdWt), (3)с решением2( ) 0expSt S 2 t Wt⎛ ⎛ ƒ ⎞ ⎞ƒ = ⎜ ⎜ƒ − ⎟ + ƒ ⎟⎝ ⎝ ⎠ ⎠, (4)где ( ) t t 0 W W ≥ = - винеровский процесс, S0 >0,ƒR=(−,+),ƒ>0 .Рассмотрим некоторого инвестора, значение капитала Xt в момент времени tкоторого определяется какXt=ƒtBt+ƒtSt, (5)где Ft-измеримые процессы ƒt и ƒt - части безрискового и рискового активов со-ответственно составляют портфель ценных бумаг ƒt=(ƒt, ƒt). За обладание ак-цией осуществляются выплаты дивидендов в размере Dt со скоростью ƒƒtSt ,0 ≤ ƒ < r , пропорциональной рисковой составляющей капитала, а именно:dDt= ƒƒtStdt . Тогда изменение капитала в задаче с дивидендами определяется ввиде dXt=ƒtdBt+ƒtdSt+dDt. Из (5) следует, что dXt=ƒtdBt+ƒtdSt+Btdƒt+Stdƒt.Таким образом, получаем балансовое соотношение Btdƒt+Stdƒ=dDt, заменяю-щее условие самофинансируемости Btdƒt+Stdƒt =0 в стандартной задаче [2 - 4].Аналогично задаче без дивидендов [2] в рассматриваемой задаче рискнейтральная(мартингальная) мера P* =Pƒ−r+ƒ , которая связана с исходной мерой преобразо-ванием видаƒrƒ ƒrƒdPt− + =Zt− +dPt ,2ƒ ƒ exp ƒ ƒ 1 ƒ ƒƒ 2 ƒrt tZ − + r W r t = ⎧⎪⎨− − + − ⎛⎜ − + ⎞⎟ ⎫⎪⎬⎪⎩ ⎝ ⎠ ⎪⎭. (6)При этом вероятностные свойства процесса S(ƒ,r,ƒ), определяемого уравне-нием(ƒ, ,ƒ) (ƒ, ,ƒ)(( ƒ) ƒ ƒ r ƒ)dSt r =St r r− dt + dWt − + , (7)относительно меры Pƒ−r+ƒ совпадают со свойствами процесса S(r,ƒ) , опреде-ляемого уравнениемdSt(r,ƒ)=St(r,ƒ)((r−ƒ)dt +ƒdWt) (8)относительно меры P , где процессƒ ƒ * (ƒ ƒ)ƒrt t trW− + W W − + t= = + (9)является винеровским относительно меры Pƒ−r+ƒ =P* .Задача. Требуется определить капитал *Xt , соответствующий ему портфельƒt (ƒt, ƒt)∗ = ∗ ∗ и начальное значение капитала *X0 = CT как стоимости вторичнойценной бумаги - опциона, при которых обеспечивается выполнение платежногообязательства* ( ) XT = fT ST, (10)где ( ) ( ) T T T f S S K+= − - платежная функция для опциона купли, с вероятностьюP(A)=1− ƒ,0 < ƒ ⋅Ρ. (11)С учетом (4), (6) - (9) и вида платежной функции для опциона купли область ус-пешного хеджирования A примет вид( )2*2exp ƒ ƒ 1 ƒ ƒ constƒ 2 ƒ t TA r W r T S K =⎨⎧⎪ ⎨⎧⎪ − + − ⎜⎛ − + ⎟⎞ ⎬⎫⎪> ⋅ − +⎬⎫⎪=⎪⎩ ⎪⎩ ⎝ ⎠ ⎪⎭ ⎪⎭( ) 2ƒ ƒ 2ƒ2 0exp ƒ ƒ ln ƒ ƒ ƒ constƒ 2rT TS r S r T S K− ++=⎧⎪⎨ ⎨⎧− − + ⎛⎜ + + + − ⎞⎟ ⎫⎬ > ⋅ − ⎬⎫⎪⎪⎩ ⎩ ⎝ ⎠ ⎭ ⎪⎭. (12)Далее рассматривается случай⎡⎣(ƒ− r +ƒ) ƒ2⎤⎦>1. (13)На рис. 1 1(ST) const(ST K)ϕ = − + , (ƒ-r ƒ) ƒ2ϕ2(ST)=ST + . Заштрихованная об-ласть является областью решения неравенства (12). Так как, согласно (3), (4) и(7) - (9),{( (2 )) *}ST=S0 exp r+ƒ− ƒ 2 T+ ƒWT, (14)то множество А может быть представлено следующим образом:{ } { } { * } { * }A= STd2 =WT b2 . (15)0 Kϕ(ST)STϕ1(ST)ϕ2(ST)d1 d2Рис. 1. Структура множества хеджированияпри ⎡⎣(ƒ − r + ƒ) ƒ2 ⎤⎦ >1Тогда{ {( ( )) }}{ {( ( )) }}20 120 2( ) exp ƒ ƒ 2 ƒexp ƒ ƒ 2 ƒ ,TTA S S r T bS S r T b= < − − + +> − − +P P+P (16)и с учетом (14) из (16) аналогично (17) в [6] следует{ {( (2)) } {( (2)) }}P(A)=PS0exp ƒ− ƒ 2 T+ ƒWT S0exp r −ƒ− ƒ 2 T + b2ƒ ={ } { } 1 2ƒ ƒ ƒ ƒT ƒ T ƒW b r T W b r T= < −⎛⎜ − + ⎞⎟ + > −⎛⎜ − + ⎞⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠P P . (17)Замечание 1. Далее всюду Ф−1(y) означает функцию, обратную функции Лап-ласа( ) ( )xx y dy−ƒ =  ϕ ,( ) 1 exp 22 2y y⎧ ⎫ϕ = ⎨− ⎬ƒ ⎩ ⎭.Так как винеровский процесс Wt имеет нормальное распределение с нулевымсредним и дисперсией t, то из (17) получаемP , (18)где P(A)=1− ƒ, 0< ƒ 0,то окончательно с учетом определения функции ƒ(x) получаем с учетом доказа-тельства теоремы 1 из [6], что(( ) )( )ƒ1 0 1 0 01 0 0ƒ ( ( , ) ƒ )( ( , )) ,T TrT TС S e b T T y T S TKe b T y T S−−= ⎡⎣ƒ − −ƒ − ⎤⎦−− ⎡⎣ƒ −ƒ ⎤⎦ (23)а для 1 2С2=C2−C21 ƒ ( ( ) )2 0 2C =Se−T⎡⎣ƒ −bT T +ƒ T ⎤⎦ , 2 ( )2 2С =Ke−rTƒ −bT T .Таким образомƒ ( ( ) ) ( )2 0 2 2C =Se−T⎡⎣ƒ −bT T +ƒ T ⎤⎦−Ke−rTƒ−bT T . (24)Использование (23), (24) в (22) приводит к (20). Теорема доказана.3. Капитал и портфельТеорема 2. При выполнении условия (13) портфель ƒt (ƒt, ƒt)∗ = ∗ ∗ и капитал Xt*записываются как* ƒ( ) (( ) ) ( ( ) )1 20ƒ ƒ ƒ( ( , ) ƒ ) ;T t T t T ttte b T t T t b T t T ty T t S T t= − − ⎡⎣ƒ − − − − +ƒ − − − + − −− ƒ − − − ⎤⎦ (25)* ( ) ( ) ( )ƒ r T t 1T t 2T t ( 0( , ))t tte K b T t b T t y T t SB= − − − ⎡⎣ƒ − − + ƒ − − − − ƒ − ⎤⎦ ; (26)(( ) )( ( ) )* ƒ( )12 0ƒƒ ( ( , ) ƒ )T t T tt tT ttX Se b T t T tb T t T t y T tS T t− − −−= ⎡⎣ƒ − − − ++ƒ − − + − − ƒ − − − ⎤⎦ −( ) ( ) ( )r T t 1T t 2T t ( 0( , ))−Ke− − ⎡⎣ƒ b − T −t +ƒ −b − T −t −ƒ y T −t St ⎤⎦, (27)где 1bT−t , 2bT−t и y0(T−t,St) определяются по формулам (18) и (19) с заменамиT(T−t) и S0 St , т.е.1 ( ) 2 ( )( ) ƒ ƒ ƒ ƒƒ ƒA bT rT t T t bT rT t T t = ƒ ⎛⎜ ⎛⎜ − − + − ⎞⎟ − ⎞⎟ + ƒ ⎛⎜ ⎛⎜ − + − + − ⎞⎟ − ⎞⎟⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠P ,( )20ln ƒ ƒ2( , )ƒttK r T tSy T t ST t⎛ ⎞−⎜ − − ⎟ −− = ⎝ ⎠−. (28)Доказательство. Согласно [2 - 4],* { r(T t) }Xt= Ε*e− − fTIASt; (29)** ( )ƒ ttt sSX ss ==,* ** ƒƒ t t tttX SB−= . (30)Из сравнения (21) и (29) видно, что формула (27) следует из формулы (20) сзаменами T(T−t) и S0 St . Согласно (27), (30),(( ) ) ( ( ) )( )* ƒ( )1 2( )0 0ƒ( )0ƒ ƒ ƒ( ( , ) ƒ ) (( , ))( , ) ƒ .T t T t T ttr T tt ttT tt tte b T t T t b T t T ty T t S T t Ke y T t SSS e y T t S T tS− − − −− −− −= ⎡⎣ƒ − − − +ƒ − − + − −− ƒ − − − ⎤⎦ +  ƒ − −− ƒ − − −(31)Учитывая вид функции y0(T−t,St), имеем( ( ))200, 1 exp ( ( , ))ƒ 2 ( ) 2ttt ty T t Sy T t SS S T t ƒ − =− ⎪⎨⎧− − ⎪⎬⎫ ƒ − ⎪⎩ ⎪⎭; (32)( ) ( )200( , ) ƒ 1 exp ( , ) ƒƒ 2 ( ) 2ttt ty T t S T ty T t S T tS S Tt ƒ − − − =− ⎧⎪⎨− − − − ⎫⎪⎬ ƒ − ⎪⎩ ⎪⎭. (33)Так как с учетом (28)2 ()ƒ( )0exp ƒ( ) ( , )ƒ 02r T tT ttte T t yT t S T t KeS− −− − ⎧ − ⎫⎨− + − −⎬− =⎩ ⎭, (34)то, используя (32) - (34) в (31), приходим к (25), а (26) следует из (25), (27), (30).Теорема доказана.Замечание 2. Теоремы 1 и 2 дают полное решение задачи квантильного хед-жирования опциона купли при наличии выплаты дивидендов в случае выполне-ния условия (13). При отсутствии этих выплат формула (20) переходит в соответ-ствующую формулу из [4, с. 146].4. Свойства решенияУтверждение 1. Для стандартного опциона купли в случае выплаты дивиден-дов решение задачи определяется формулами( (2)) ( (2))ƒ 0 00ƒ ƒ 2 ln( ) ƒ ƒ 2 ln( )ƒ ƒT rTTr T K S r T K SC Se KeT T− −⎛ − + − ⎞ ⎛ − − − ⎞= ƒ⎜ ⎟− ƒ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Скачать электронную версию публикации