Mathematical model of the income change process of the trading companyexpanding the presence in the market.pdf Теория массового обслуживания как аппарат математического моделированияхорошо зарекомендовала себя во многих сферах человеческой деятельности. Ши-роко используется этот аппарат в сетях связи, при решении некоторых экономи-ческих задач, задач управления промышленного сектора. Благодаря непрерывно-му развитию этих и многих других отраслей нашей деятельности и постоянномуусложнению возникающих задач, не снижается потребность в создании новых ма-тематических моделей и развитии методов их исследования.Маркетинг - одна из областей экономической науки, в которой теория массо-вого обслуживания до сих пор не применялась в качестве аппарата математиче-ского моделирования. Между тем средства ТМО позволяют моделировать потокиклиентов торговой компании с учетом их категорий и оптимизировать на этихмоделях условия проведения различных маркетинговых акций, отслеживая ихвлияние на величину дохода компании.В настоящей работе проводится исследование потоков клиентов некоторойторговой компании, расширяющей свое присутствие на рынке, то есть желающейпривлечь как можно больше клиентов, проводя, в частности, маркетинговую ак-цию «Подарок за покупку». Определяется процесс изменения дохода этой компа-нии, его среднее значение и дисперсия, рассматривается влияние на доход прово-димой акции.1. Математическая модельПусть поток клиентов, впервые совершивших покупку в некоторой торговойкомпании, моделируется простейшим с параметром ƒ . Совершив покупку, кли-ент некоторое время обдумывает, обращаться ли ему в эту компанию повторноили выбрать другую. Будем считать, что продолжительности интервалов времениобдумывания клиентов являются независимыми одинаково распределеннымислучайными величинами с произвольной функцией распределения B1 (x) . Послеобдумывания с вероятностью 1 - r1 клиент больше не обратится в данную торго-вую компанию, предпочитая ей другую, а с вероятностью r1 клиент вернется. Намомент возвращения клиента в компанию, с вероятностью 1 - q уже совершен-ные клиентом покупки в сумме не превышают некоторую заданную величину.В этом случае клиент является клиентом первой категории и вероятность возвра-щения в компанию у него остается та же, r1. Если же сумма покупок клиента вданной компании превышает эту заданную пороговую величину, а произойдетэто с вероятностью q, то такой клиент становится клиентом второй категории,причем вероятность возвращения в компанию и функция распределения времениобдумывания для него меняются на r2 и B2(x) соответственно. Время обдумываниядля клиентов каждой категории стохастически независимы и одинаково распреде-лены. Таким образом, формируются потоки повторных обращений клиентов, опи-сываемые случайными процессами n1(t) , n2(t) , где nk (t) - число обращенийклиентов k-й категории, поступивших в торговую компанию за время наблюде-ния t. Обозначим ƒ (t ) - число обращений новых клиентов в компанию. Такимобразом, модель изменения числа клиентов некоторой торговой компании можнопредставить в виде двухфазной системы массового обслуживания (СМО) с неог-раниченным числом линий, произвольным временем обслуживания на фазах, сповторными обращениями (рис. 1).Рис. 1. Потоки клиентов торговой компаниив виде двухфазной бесконечнолинейной СМОСтавится задача исследования суммарного случайного процессаn(t) = ƒ(t) +n1(t) +n2(t)в рассматриваемой системе, где ƒ (t ) - число первичных обращений к системе, инахождение его производящей функции.2. Метод предельной декомпозицииДля решения поставленной задачи предлагается метод предельной декомпози-ции [1]. Суть этого метода заключается в следующем.Входящий поток по равномерной полиномиальной схеме делится на N незави-симых простейших потоков с параметром ƒ/N, заявки каждого потока направля-ются для обслуживания на соответствующий прибор. Таким образом, получаемсовокупность N независимых однолинейных СМО. Будем полагать, что эти СМОс отказами. То есть новая заявка, поступившая в систему, занятую обслуживани-ем, теряется. При N→∞ вероятностью потерь заявок можно пренебречь, и тогдасуммарные характеристики совокупности N однолинейных СМО сходятся к ха-рактеристикам исходной модели. Таким образом, задача нахождения распределе-ния вероятностей числа обращений в СМО с неограниченным числом линий сво-дится к решению задачи нахождения распределения вероятностей числа обраще-ний в однолинейной СМО с отказами.3. Нахождение производящей функциисуммарного числа клиентов компанииСогласно алгоритму предложенного метода предельной декомпозиции, от рас-смотренной математической модели перейдем к рассмотрению однолинейнойдвухфазной СМО, на вход которой поступает простейший с параметром ƒ⁄N потокзаявок. Для этой системы рассмотрим соответствующий суммарный случайныйпроцесс ( ) ( ) n t,N = ƒ t,N +n1(t,N)+n2(t,N). Введем следующие обозначения:k(t) - состояние прибора, то есть( )0, линия свободна,1, занята первая фаза,2, занята вторая фаза;k t⎧⎪=⎨⎪⎩z(t) - длина интервала от момента времени t до момента окончания текущего об-служивания, если прибор занят. Полученный трехмерный случайный процесс{k(t),n(t,N),z(t)} является марковским.Тогда P0(n,t,N)=P{k(t)=0,n(t,N)=n} - вероятность того, что в моментвремени t линия свободна и за это время к системе обратилось n заявок.Pk (n,z,t,N)=P{k(t)=k,n(t,N)=n,z(t)==( ) ( ) { 11, ,0, 0, , , 0,0;P n z N R z N nn>== (8)( ) ( ) { 22, ,0, 0, , , 0,0;P n z N R z N nn>==R0(N)+R1(,N)+R2 (,N)=1 .Рассмотрим стационарное распределение вероятностей состояния линии об-служивания. Из (1) следует, что выполняются равенстваH0(1,t,N) = R0(N) ,Hk(1,z,t,N) = Rk(z,N) , k = 1, 2. (9)Стационарные вероятности R0 (N) , R1(z,N) и R2(z,N) можно представить ввиде0( ) 0R N 11R 1N N= − + ƒ⎛⎜ ⎞⎟⎝ ⎠,Rk(z,N) 1Rk(z) 1N N= +ƒ⎛⎜ ⎞⎟⎝ ⎠, k = 1, 2. (10)Тогда, согласно (3), (7) и (8),F1(x,z,0) = ƒ(z) = R1(z) .Вероятности R0 , R1 (z) и R2 (z) с учетом (9) определяются решением систе-мы (4) - (6) при x=1:( ) ( )210 1 k k0kr R== ƒ − ƒ −  ,0=R1(z)+ƒB1(z)+(r1 (1−q)B1 (z)−1)R1(0) ,0=R2(z)+r1qB2 (z)R1(0)+(r2B2 (z)−1)R2 (0) .А именно:( )( )1 ( 1( ))1 011 1zR z B s dsr qƒ= −− −  ; (8)( )( )( ( ))1 ( ( ))2 22 1 011 1 1R z r q z B s dsr r qƒ= −− − −  ; (9)[( ) ]( ( ))( )2 1 1 201 211 1 1r b rqbRr q rƒ − +=− − −, (10)где b1 и b2 это математические ожидания случайных величин, имеющих функциираспределения B1 (x) и B2 (x) соответственно.Таким образом, частное решение дифференциального уравнения (5) принима-ет вид( )[ ( ) ]1 11 01 1 1 10( , , ) (1 ( ))1 1( ) ( 1 ( )1) (,) .z ttF x z t B y dyr qxB z t s r q xB z t s f x s dsƒ += − +− −+ ƒ + − + − + − − (11)Аналогичным образом находим частное решение уравнения (6):( )( ( ))[ ]12 22 1 01 2 1 2 2 20( , , ) (1 ( ))1 1 1( ) (,) ( ( )1) (,) .z ttr qF x z t B y dyr r qr qxB z t s f x s r xB z t s f x s dsƒ += − +− − −+ + − + + − − (12)И, следовательно, подставляя решения (11,12) в уравнение (4), получаем егорешение:( ( ) )( )( ( ))1 2 2 1 ( ) ( )0 1 1 2 22 1 0 01( , ) 1 ( , ) 1 ( , )1 1 1F x t r qb r b t r tf x s ds r tf x s dsr r qƒ + −= +ƒ + − + −− − −   . (13)При этом неизвестные функции f1(x,t) и f2(x,t)являются решениями инте-гральных уравнений( )( ) ( )1 1( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )1 1 0, 1 1 ,1 1 1 1tf x t x B t xr q b t s f x s dsr q r qƒ ⎛ ⎞= − − +ƒ⎜⎝ − − − ⎟⎠ + − −  ; (14)( )( ( ))( )( ( )) ( ) ( )( ) ( )12 2 1 2 11 2 02 2 20, 1 ,1 1 1,ttf x t r q B t xrq b t s f x s dsr q rxr b t s f x s dsƒ= − + − +− − −+ − (15)соответственно.При z→∞ имеемF(x,t) = −F0(x,t)+F1(x,,t)+F2(x,,t) =( ) 1( ) 1( ) 2( ) 2( )0 01 1 , 1 ,t t= ƒt x− +r x− f x s ds+r x− f x u du.Учитывая, что( ) 0( ) 1( ) 2( ), lim 1 1 , 1 , , 1 , , 1NNG x t F x t F x t F x t N N N N= ⎜⎝⎛⎜ − +  +  +ƒ⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠⎞⎟⎠,можно найти производящую функцию G(x,t) исследуемого случайного процес-са n(t):( ) ( ) 1 1( ) 2 2( )0 0, exp 1 , ,t tG x t x t r f x s ds r f x s ds= ⎧⎪⎨ − ⎧⎪⎨ƒ + + ⎫⎪⎬⎫⎪⎬⎪⎩ ⎪⎩ ⎪⎭⎪⎭  . (16)Знание найденной производящей функции суммарного числа клиентов необ-ходимо для определения основных числовых характеристик дохода торговойкомпании.4. Процесс изменения дохода торговой компанииОбозначим S(t) - доход компании, полученный за время работы t. Как мы ужедоговорились, n(t) - суммарное количество клиентов, обратившихся в даннуюторговую компанию за время t. Пусть стоимость отдельной совершаемой покупкиесть случайная величина ƒ с математическим ожиданием a.Тогда очевидно, что( )( )0n tiiS t== ƒƒ. (17)Рассмотрим характеристическую функцию величины дохода компании, полу-ченного за время t:( ) ( )( ) ( )0 10, () ( , )n t n ti iS t i inH t Me Me = M e = nt nPnt−ƒ ƒ  −ƒ ƒ−ƒ=ƒ = = ƒ = ⎧⎪⎨ ƒ = ⎫⎪⎬ =⎪⎩ ⎪⎭ƒ0 1 0i ( ) ( , ) ( ) ( , )nnn i nM e nt nPnt Pnt −ƒƒ= = =⎧ ⎫= ⎨ = ⎬ = ϕ ƒ⎩ ⎭ƒ ƒ ƒ . (18)Здесь ϕ(ƒ)= Me−ƒƒ - характеристическая функция случайной величины ƒ.Производящая функция суммарного числа клиентов, совершивших покупку завремя t, согласно (16), имеет вид( ) ( ) ( ) ( ) 1 1( ) 2 2( )0 0 0, , exp 1 , ,t tn t nnMx xPnt Gxt x tr fxsdsr f xsds== = = ⎧⎪⎨⎪⎩ − ⎛⎝⎜⎜ƒ + + ⎞⎠⎟⎟⎫⎭⎪⎬⎪ƒ   .Из (18) следует, что( ) ( ) ( ( ) )( ( ) ) 1 1( ( ) ) 2 2( ( ) )0 0, ,exp 1 , , .S tt tH t Me G tt r f s ds r f s dsƒ = −ƒ = ϕ ƒ == ⎨⎪⎩⎧⎪ϕ ƒ − ⎝⎛⎜⎜ƒ + ϕ ƒ + ϕ ƒ ⎠⎞⎟⎟⎭⎫⎬⎪⎪ Так как среднее значение суммарного дохода компании, полученного за времяt, есть( ) ( )0MS t H ,tƒ= ƒ= −ƒ,при этом ϕ(0)=1, ϕ(0)=−a ,то ( ) 1 1( ) 2 2( )0 01, 1,t tMS t a t r f s ds r f s ds=⎧⎪⎨ƒ + + ⎫⎪⎬⎪⎩ ⎪⎭  . (19)Величина дисперсии дохода компании( ) ( ) ( )( ) ( )21 1 2 20 01 21 20 01, 1,1, 1,2 .t tt tDS t M t r f s ds r f s dsdf s df sa r ds r dsd d= ƒ⎧⎪⎨ƒ + + ⎫⎪⎬−⎪⎩ ⎪⎭⎛ ⎞− ⎜⎜⎝ ƒ + ƒ ⎟⎟⎠   (20)5. Исследование изменения дохода торговой компаниипри проведении маркетинговой акции «Подарок за покупку»Пусть с целью привлечения клиентов компания проводит акцию «Подарок запокупку». При этом вероятность возвращения клиента k-й категории в даннуюкомпанию возрастает. При стоимости подарка m рублей предположим следую-щую зависимость:( ) ( )2k k,1 k,1 k,0 1r M r r r ma= − − ⎛⎜ − ⎞⎟⎝ ⎠, (21)где m≤a, rk,0 - вероятность повторного обращения клиента k-й категории в дан-ную компанию, работающую в обычном режиме, rk,1 - максимально возможнаявероятность повторного обращения клиента k-й категории за время проведенияакции.Суммарный доход торговой компании Ŝ(t), полученный за время t проведенияакции, определяется выражением( ) ( )( )0ˆn tiiS t m==ƒ ƒ −. (22)Ставится задача нахождения оптимального отношения цены подарка к среднейстоимости покупки ƒ=M/a, обеспечивающего максимальный доход компании завремя t проведения акции.Рассмотрим характеристическую функцию величины суммарного дохода ком-пании, полученного за время t проведения акции «подарок за покупку». Анало-гично (18) получим( ) ( ) ( )( )( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) )0 ˆ1 1 2 20 0ˆ ,exp 1 , , .n tiimS tt tH t Me Met r f s ds r f s ds=−ƒ ƒ −−ƒ ƒƒ = = == ⎧⎪⎨⎪⎩ƒ ƒ − ⎛⎝⎜⎜ƒ + ƒ ƒ + ƒ ƒ ⎞⎠⎟⎟⎫⎭⎪⎬⎪Здесь ƒ(ƒ)= Me−ƒ(ƒi −m) - характеристическая функция разности цены покупки ивеличины m - бонуса выдаваемого покупателю при совершении им покупки вели-чиной ƒ.Аналогично рассуждениям пункта 4, находим математическое ожидание идисперсию величины дохода компании, полученного за время t проведения акции:( ) ( ) 1 1( ) 2 2( )0 0ˆ 1, 1,t tMS t a m t r f s ds r f s ds= − ⎧⎪⎨ƒ + + ⎫⎪⎬⎪⎩ ⎪⎭  ; (23)( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 21 1 2 20 01 21 20 0ˆ 2 1, 1,1, 1,2 .t tt tDS t M m am t r f s ds r f s dsdf s df sa m r ds r dsd d= ƒ + − ⎧⎪⎨ƒ + + ⎫⎪⎬−⎪⎩ ⎪⎭⎛ ⎞− − ⎜⎜⎝ ƒ + ƒ ⎟⎟⎠  (24)6. Оптимальное отношение цены подарка к средней стоимости покупкиТеперь определим оптимальное значение величины ƒ отношения цены подаркаm к среднему значению стоимости покупки a, обеспечивающее максимальнуюприбыль компании.Будем рассматривать среднюю величину дохода компании, полученного завремя проведения акции t, как функцию от величины ƒ:( ) ( ) ( ) 1( ) 1( ) 2( ) 2( )0 0ˆ 1 1, 1,t tMS t f a t r f s ds r f s ds= ƒ = −ƒ⎧⎪⎨ƒ + ƒ + ƒ ⎫⎪⎬⎪⎩ ⎪⎭  , (25)где ( ) ( )( )2rk ƒ =rk,1−rk,1−rk,0 1−ƒ (26)для k-й категории покупателей, k = 1, 2.Согласно виду интегральных уравнений (14-15), функции fk (1, s) будут зави-сеть от вероятностей возвращения клиентов, а следовательно, в условиях акции, иот величины ƒ.Тогда( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 21 0 1 021 01,1 1,1, .t tkk k kk ktk kkdf sf a r f s ds r dsdt r f sds= == ƒ = ⎛⎝⎜⎜ −ƒ ⎛⎝⎜⎜  ƒ + ƒ ƒ ⎞⎠⎟⎟−⎞− ƒ − ƒ ⎟⎟⎠ƒ  ƒ ƒ  (27)Из необходимого условия f (ƒ) = 0 можно найти оптимальное значение ƒ.Приведем численный пример. В случае экспоненциального распределениявремени обдумывания клиентов, при вероятности смены категории клиентаq = 0,3, с начальными вероятностями возвращения r1,0 = 0,225 , r2,0 = 0,4 и мак-симальными r1,1 = 0,8 и r2,1 = 0,7 в случае проведения акции, при средней стои-мости покупки 3000 рублей и около 10 обращений новых клиентов в день, за ме-сяц работы компания, не проводя акции, получит доход 1,2 млн рублей. Количе-ство продаж при этом составит около 400. При проведении акции «Подарок за по-купку» число продаж может превысить 680 в месяц, и при этом компания получитчистую прибыль в 146 тысяч рублей. Стоимость подарка при этом должна состав-лять 1000 рублей. Если же компания не желает получать никакой прибыли, атолько увеличить число своих клиентов, то при стоимости подарков равной 1700рублей, число продаж компании возрастет более чем в два раза, превысив 880 об-ращений в месяц. Дальнейшее же увеличение стоимости подарка будет умень-шать доход компании.ЗаключениеПроведено исследование суммарного потока обращений в двухфазной СМО снеограниченным числом линий и повторными обращениями к фазам как матема-тической модели суммарного потока клиентов торговой компании. Найдена про-изводящая функция суммарного числа клиентов компании, математическое ожи-дание и дисперсия дохода компании в условиях обычного функционирования и вусловиях проведения маркетинговой акции «Подарок за покупку». Приведенпример использования полученных аналитических выражений для расчета жела-тельной стоимости подарка, с целью привлечения максимального числа клиентовили для попутного получения некоторой денежной прибыли от проведения акции.

Скачать электронную версию публикации