Research of the amount of demands for insurance paymentin a company with arbitrary distribution of duration of the insurance contract.pdf Математическим моделям экономических систем и их исследованию в по-следнее время уделяется достаточно большое внимание. В стороне не остаются имодели актуарной математики, изучающей различные аспекты страхового дела.В основном, во всех работах, посвященных исследованию математических моде-лей страховых компаний, все результаты получены для случая, когда величинапродолжительности договора страхования распределена по экспоненциальномузакону. Так, в работе [1] исследуется классическая модель страховой компании, в[2] рассматривается модель с учетом расходов на рекламу, в [3] - модель с неяв-ной рекламой, когда интенсивность потока входящих рисков зависит от уже за-страховавшихся в компании рисков, и компания не тратит на рекламу никакихденежных средств, а инвестирует часть своего капитала в безрисковые активы.В [4] рассматривается модель с возможностью перестраховки некоторых рисков.В этих работах находятся статистические характеристики капитала, числа застра-хованных в компании рисков, также вероятность разорения или выживания ком-пании. В данной же работе исследуется такая характеристика, как суммарное чис-ло требований на выплату страховых сумм всеми застрахованными в компаниирисками при произвольном распределении величины продолжительности догово-ра страхования, что, несомненно, приближает исследуемую математическую мо-дель к адекватной.1. Постановка задачиРассмотрим модель страховой компании с неограниченным страховым полем[5] в виде системы массового обслуживания с неограниченным числом обслужи-вающих приборов (рис. 1). Пусть в компанию поступают риски, образуя простей-ший поток событий интенсивности ƒ. Каждый риск, находящийся в компании, напротяжении длительности действия договора страхования независимо от другихрисков генерирует с интенсивностью ƒ требование на выплату страховых сумм.И эти требования также образуют простейший поток событий. Естественно считать,что требование риска на выплату определяется наступлением страхового случая.Величину продолжительности договора страхова-ния для каждого риска, находящегося в компании,будем считать случайной величиной с функциейраспределения В(x). Задача состоит в нахождениираспределения числа требований на выплату стра-ховых сумм, сгенерированных всеми рисками ком-пании, а также среднего значения и дисперсии об-щей суммы всех страховых выплат.Для решения данной задачи будем использоватьметод предельной декомпозиции [6], согласно ко-торому входящий поток по полиномиальной схемеделится на N независимых простейших потоков,каждый из которых имеет интенсивность ƒ/N. Заявка каждого такого потока попа-дает на соответствующий прибор. В момент времени, когда прибор занят, заявка,поступающая на этот прибор, теряется.Таким образом, наша система массового обслуживания разделена на N незави-симых однолинейных СМО с потерями. При N→∞ вероятностью потерь заявокможно пренебречь, и тогда суммарные характеристики совокупности N одноли-нейных СМО сходятся к характеристикам исходной системы [6].2. Распределение числа требований на страховые выплаты для модели,представленной в виде однолинейной СМОВведем следующие обозначения:n(t) - суммарное число требований на страховые выплаты за время t;P(n, t) = P{n(t)=n} - распределение вероятностей числа требований на страхо-вые выплаты за время t,l(t) - состояние прибора: ( ) {0 прибор свободен,1 прибор занят;l t −=−z(t) - длина интервала от текущего момента времени t до момента окончаниясрока действия договора (текущего обслуживания), если l(t)=1;P(0,n,t,N) = P{l(t)=0, n(t,N)=n} - вероятность того, что в момент времени t при-бор свободен, число требований на выплату равно n;P(1,n,z,t,N) = P{l(t)=1, z(t)0 - величина, равная обратному значению средней величины продолжи-тельности договора. И второе распределение вырожденное:( ) {1, ,0, ,B x x mx m>=≤где m - средняя продолжительность договора страхования. Тогда характеристикивеличины S(t) для экспоненциального распределения будут иметь видM{S(t)} a1t,ƒ= ƒƒ{ ( )} ( ) 2 22 22 1 1 3 D S t = ƒa ƒƒt +2ƒa ⎛⎜⎝ƒƒ⎞⎟⎠ t −2ƒa ƒƒ 1−e−ƒt,и для вырожденного распределенияM{S(t)}= ƒƒma1t ,{ ( )}2 22 2 232 1 12 2 2 2 2 32 1 1, ,3, .3ma t ma t a t t mD S tma t m a t a m t m⎧⎪ƒƒ + ƒƒ − ƒ ƒ ≤= ⎨⎪ƒƒ + ƒƒ − ƒ ƒ >⎩Рассмотрим еще одну характеристику величины S(t) - коэффициент вариацииV{S(t)}, который определяет разброс значений случайной величины S(t) относи-тельно M{S(t)} и рассчитывается по формуле{ ( )} { ( )}{ ( )}D S tV S tM S t= .Поведение коэффициентов вариации V1(t) и V2(t) для экспоненциального ивырожденного распределений соответственно изображено на рис. 2 при следую-щих значениях параметров: ƒ = 20, ƒ = 0.002, ƒ = 0.01, a1 = 10, a2 = 110, m = 500.tV1(t)0,030,020,010 500 1000 1500V2(t)V t ( )Рис. 2. Динамика изменения коэффициента вариациив зависимости от времениЧисленные расчеты показывают: величина V{S(t)} с течением времени суще-ственно убывает, достигая значение равное 0,01 при t = 406,2 для вырожденногораспределения и при t = 451,4 - для экспоненциального, что позволяет найти дос-таточно точное прогнозное значение величины капитала страховой компании.ЗаключениеТаким образом, в данной работе построена математическая модель страховойкомпании в виде СМО с неограниченным числом обслуживающих приборов.С использованием метода предельной декомпозиции найдено выражение для про-изводящей функции числа требований на страховые выплаты. Показано, что по-лученные результаты являются обобщением частных случаев. Также найдены ма-тематическое ожидание и дисперсия величины, определяющей общую суммустраховых выплат. Эти результаты могут быть использованы для анализа показа-телей экономической деятельности страховых компаний.

Скачать электронную версию публикации