Characteristics of the Markovianqueueing systems with asymptotical Poisson arrival processes..pdf В работах по теории массового обслуживания в качестве модели входящегопотока часто используется простейший поток [1]. Это касается как фундамен-тальных работ, которые послужили базой построения теории, так и современных.В 1955 году А.Я. Хинчин [2] сформулировал три условия, при выполнении кото-рых случайный поток однородных событий является простейшим, именно: ста-ционарность, ординарность и отсутствие последействия.Популярность этого потока долгое время объяснялась тем, что он вполнеудовлетворительно описывал многие реальные потоки, а также простотой его ис-следования. В то же время было замечено, что простейший поток появляется и вкачестве предельного для некоторых последовательностей потоков. В связи сэтим, в середине ХХ века появился ряд работ, посвященных анализу сходимостисуммы большого числа независимых потоков малой интенсивности к простейше-му потоку. Среди них следует отметить работы Пальма [3], Реньи [4], Г.А. Осо-скова [5], Б.И. Григелиониса [6] и А.Я. Хинчина. Вопрос о скорости сходимоститаких предельных сумм к потокам Пуассона рассматривался в работах [7,8].В то же самое время, Реньи (в упомянутой выше работе) показал, что про-стейший поток может получаться не только в результате суммирования беско-нечно малых независимых потоков. Он рассматривал произвольный поток вос-становления и применял к нему операцию прореживания (с некоторой вероятно-стью каждое событие убиралось из рассматриваемого потока). Реньи доказал, чтопри многократном повторении этой операции и соответствующей нормировкевремени рассматриваемый поток сходится к простейшему.В качестве существенного обобщения простейших потоков для более адекват-ного описания реальных потоков была предложена модель MAP (Markovian Arri-val Process). Его понятие впервые было введено М. Ньютсом [9], а затем уточненоД. Лукантони в работе [10], которая также содержит первые исследования основ-ных характеристик MAP-потоков. В русскоязычной литературе определениятаких потоков даны в книгах Б.В. Гнеденко, И.Н. Коваленко [1], А.Н. Дудина,В.И. Клименок [11], А.А. Назарова, С.П. Моисеевой [12].Широко используемым частным случаем MAP-потоков является класс MMP-потоков (Markov Modulated Poisson Process). В работе [13] формулируется пре-дельное условие, при выполнении которого последовательность MMP-потоковсходится к простейшему. Аналогичное условие формулируется и для случая об-щего MAP-потока.Таким образом, в этих условиях система MAP|M| (MMP|M|) становитсяблизкой к M|M|, для которой П. Берком еще в 1956 году было показано [14], чтовыходящий поток является простейшим, а стационарное распределение вероятно-стей числа занятых приборов является пуассоновским. Поэтому естественнымбыло бы предположить, что характеристики системы MAP|M| (MMP|M|) в рас-сматриваемых асимптотических условиях на входящие потоки совпадают с харак-теристиками системы M|M|. В данной работе предлагается доказательство этогопредположения.1. Исследование системы MAP|M|∞Рассмотрим систему массового обслуживания с неограниченным числом приОбозначив функции( , , , ) ( , jxi jum , , )i mH k x u t =ƒe ƒe P k i m t ,где j = −1 - мнимая единица, и принимая во внимание, что( , , , ) jxi jum ( , , , )i mH k x u t j ie e Pk imtx= ƒ ƒ ,для функций H(k,x,u,t) получим систему дифференциальных уравнений в част-ных производных первого порядка( , , , ) ( 1) ( , , , ) (1 ) ( , , , ){( 1) } ( , , , ).jx ju jxkjxk k kH k x u t e Hkxut j e e H k x u tt xe d q q H xut−ƒ ƒ ƒƒ = ƒ ⋅ − + ƒ − + +ƒ − + ƒПолученную систему запишем в матричном виде:H(x,u,t) j(ejue jx1)H(x,u,t) H(x,u,t){Q(ejx1)B},t x − + ƒ − = + − (1)где H(x,u,t)={H(0,x,u,t),H(1,x,u,t),...}, Q - матрица инфинитезимальных характери-стик qƒk, B - матрица с элементами ƒk на главной диагонали и элементами dƒk·qƒkвне главной диагонали.Систему дифференциальных уравнений (1), записанную в матричном виде,будем называть дифференциально-матричным уравнением. Отметим, что полу-чить аналитическое решение этого уравнения не удается. В данной работе предла-гается решать это уравнение методом асимптотического анализа.2. Условие предельно частых изменений состояний MMP-потокаСначала рассмотрим характеристики системы MMP|M|. Напомним, чтоMMP-поток - это MAP-поток, у которого все вероятности dkν равны нулю, то естьматрица B становится диагональной матрицей ƒ с условными интенсивностями ƒkна главной диагонали. Поэтому уравнение, определяющее характеристики систе-мы MMP|M|, имеет следующий вид:H(x,u,t) j(ejue jx1)H(x,u,t) H(x,u,t){Q(ejx1)}t x − + ƒ − = + − ƒ . (2)Будем рассматривать систему MMP|M| в условии предельно частых измене-ний состояний входящего потока. Зафиксируем некоторую матрицу инфинитези-мальных характеристик Q(1), которая определяет управляющую цепь Маркова k(t)и матрицу ƒ. Затем, полагая, что S некоторая положительная величина, в уравне-нии (2) сделаем следующие замены:Q= S⋅Q(1), H(x,u,t) = F(x,u,t,S).Тогда для вектор-функций F(x,u,t,S) можно записатьF(x,u,t,S) j(ejue jx1)F(x,u,t,S) F(x,u,t,S){S Q(1) (ejx1)}.t x − + ƒ − = ⋅ + − ƒ (3)Сначала найдем асимптотическое приближение характеристической функциичисла занятых приборов системы MMP|M| в условии предельно частых измене-ний состояний входящего потока. Для этого в уравнении (2) положим u=0 и пе-рейдем к стационарному режимуj(e jx 1)F(x,S) F(x,S){S Q(1) (ejx 1)}.x− ƒ − = ⋅ + − ƒ(4)Здесь ( , ) lim ( ,0, , )tF x S F x t S= .Теорема 1. Сумма компонентов предельного, при S   , значения вектор-строки F(x) решения F(x,S) уравнения (4) имеет видF(x)E exp (ejx 1)= ⎧⎨ − ƒ⎫⎬⎩ ƒ⎭, (5)где E - единичный вектор-столбец, величина ƒ определяется равенством ƒ = RƒEи имеет смысл интенсивности входящего потока, а R - вектор стационарногораспределения вероятностей состояний входящего потока.Доказательство. Поделив левую и правую части уравнения (4) на S и устре-мив S к бесконечности, получим системуF(x)Q(1) =0,которая совпадает по виду с системой для стационарного распределения вероят-ностей состояний управляющей цепи Маркова. Поэтому ее решение имеет видF(x) =R⋅ƒ(x), (6)где R - вектор стационарного распределения состояний управляющей цепи Мар-кова k(t), а ƒ(x) - некоторая скалярная функция. Для определения вида этойфункции в уравнение (4) подставим выражение (6). Умножим справа полученноеуравнение на вектор-стобец E соответствующей размерности, устремим S к бес-конечности и получим равенствоj(e jx 1) (x) (x)(ejx 1)R Ex− ƒƒ − =ƒ − ƒ.Учитывая, что RƒE=ƒ, найдем решение полученного обыкновенного диффе-ренциального уравнения первого порядка(x) exp (ejx 1) ,ƒ = ⎧⎨ − ƒ⎫⎬⎩ ƒ⎭откуда, в силу равенства (6), получимF(x) R exp (ejx 1)= ⋅Доказательство. Поделив левую и правую части уравнения (3) на S и устре-мив S к бесконечности, получим системуF(x,u,t)Q(1) =0,которая совпадает по виду с системой для стационарного распределения вероят-ностей состояний управляющей цепи Маркова. Поэтому ее решение представля-ется в видеF(x,u,t) = R⋅ƒ(x,u,t), (8)где R - вектор стационарного распределения состояний управляющей цепи Мар-кова k(t), а ƒ(x,u,t) - некоторая скалярная функция. Для определения вида этойфункции в уравнение (3) подставим выражение (8). Умножая справа полученноеуравнение на вектор-стобец E соответствующей размерности и устремив S к бес-конечности, получим равенство(x,u,t) j(ejue jx1) (x,u,t) (x,u,t)(ejx1).t xƒ − ƒ+ ƒ − = ƒ − ƒ (9)С учетом условия нормировки RE=1 и (8) получаемF(x,u,t)E = ƒ(x,u,t).Нетрудно показать, что выражение (7) является решением уравнения (9). Теоремадоказана.Доказанная теорема говорит о том, что при предельно частых изменениях со-стояний входящего потока (то есть когда средние времена пребывания управ-ляющей цепи Маркова в каждом состоянии стремятся к нулю) число заявок, за-кончивших обслуживания в системе MMP|M|, имеет распределение Пуассона спараметром ƒt, причем число заявок в системе в момент времени t и число собы-тий в выходящем потоке к моменту времени t стохастически независимы.3. Условие предельно частых изменений состояний MAP-потокаи согласованного интенсивного прореживанияТеперь рассмотрим аналогичную задачу для системы с входящим MAP-пото-ком. Зафиксируем некоторую матрицу инфинитезимальных характеристик Q(1),которая определяет управляющую цепь Маркова k(t), матрицу D(1) вероятностейнаступления событий в потоке при переходе управляющей цепи из одного со-стояния в другое и матрицу ƒ. Затем, полагая, что S некоторая положительная ве-личина, в уравнении (1) сделаем следующие замены:Q S Q(1),D 1D(1),H(x,u,t) F(x,u,t,S)S= ⋅ = = .Тогда для вектор-функций F(x,u,t,S) можно записатьF(x,u,t,S) j(ejue jx1)F(x,u,t,S) F(x,u,t,S){S Q(1) (ejx1)B}t x − + ƒ − = ⋅ + − . (10)Теорема 3. Сумма компонентов предельного, при S   , значения вектор-строки F(x,u,t) решения F(x,u,t,S) уравнения (10) имеет видF(x,u,t)E exp (ejx 1) (eju 1) t= ⎧⎨ − ƒ + − ƒ⎫⎬⎩ ƒ ⎭, (11)где E - единичный вектор-столбец, величина ƒ определяется равенством ƒ = RBEи имеет смысл интенсивности входящего MAP-потока.Доказательство теоремы 3 повторяет рассуждения доказательства теоремы 2.Теорема 3 говорит о том, что при предельно частых изменениях состоянийвходящего потока и согласованного интенсивного прореживания число заявок,закончивших обслуживания в системе MAP|M|, имеет распределение Пуассона спараметром ƒt, а число заявок в системе в произвольный момент времени такжеимеет распределение Пуассона с параметром ƒ/ƒ. При этом число заявок в систе-ме в момент времени t и число событий в выходящем потоке к моменту времени tстохастически независимы. Под согласованным интенсивным прореживанием по-нимается такой факт, что рост значений инфинитезимальных характеристик иуменьшение вероятностей наступления событий при переходе управляющей цепииз одного состояния в другое происходит пропорционально одному и тому же па-раметру S.ЗаключениеВ данной работе были рассмотрены марковские системы массового обслужи-вания с неограниченным числом приборов. Сформулированы и доказаны три тео-ремы, которые говорят о том, что при выполнении предельных условий на пара-метры входящего потока число заявок, закончивших обслуживания в системеMAP|M| (MMP|M|), имеет распределение Пуассона с параметром ƒt, а числозаявок в системе в произвольный момент времени также имеет распределение Пу-ассона с параметром ƒ/ƒ. Для MMP-потока это условие предельно частых измене-ний состояний входящего потока, а для MAP-потока - условие предельно частыхизменений состояний потока и согласованного интенсивного прореживания.

Скачать электронную версию публикации