Guaranteed estimation of parameters and faultdetection in GARCH(1,1)-process.pdf Одной из наиболее часто используемых в настоящее время моделей случайныхпроцессов являются процессы типа GARCH, введенные T. Bollerslev [1]. Описа-ние процессов такого типа предполагает, что на текущую изменчивость диспер-сии влияют как предыдущие изменения показателей, так и предыдущие значениядисперсии. При определенных ограничениях на параметры GARCH-процесс явля-ется стационарным, хотя на отдельных интервалах времени его поведение можетсильно отличаться. При исследовании временных рядов с большим числом дан-ных может оказаться, что на разных временных интервалах параметры процессанельзя считать неизменными. Таким образом, возникает задача обнаружения мо-ментов изменения параметров процесса. Проблема обнаружения момента измене-ния статистических свойств наблюдаемого процесса является одной из классиче-ских задач математической статистики и известна в литературе как задача обна-ружения разладки. Такие задачи возникают при обнаружении моментов измене-ния характеристик динамических систем, описываемых моделями авторегресси-онного типа со случайными (дрейфующими) параметрами, а также при анализеэконометрических временных рядов.Для решения задач обнаружения разладки разработан ряд алгоритмов, приразличных предположениях о модели наблюдаемого процесса [2 - 4]. Наиболь-ший практический интерес представляют алгоритмы, использующие последова-тельный анализ, которые позволяют обнаруживать произошедшие изменения втемпе поступления данных. Основными характеристиками последовательныхпроцедур обнаружения разладки являются среднее время между ложными трево-гами и среднее время запаздывания. Теоретическое исследование свойств проце-дуры обнаружения разладки для выборки фиксированного размера часто являетсяневозможным, поэтому изучаются асимптотические свойства при неограничен-ном возрастании размера выборки.Часто рассматривается задача обнаружения разладки в предположении, чтоизвестна начальная и конечная модели процесса. Однако большой прикладнойинтерес представляют такие ситуации, когда распределение процесса до и послемомента разладки является неизвестным. Оценка параметров GARCH-процессаявляется трудной задачей. Для оценивания параметров таких процессов часто ис-пользуется метод квазимаксимального правдоподобия. Такие оценки рассматри-вались, в частности, в [5 - 7]. С другой стороны, Baillie и Chung [8] предложилиоценку с минимальным расстоянием для модели GARCH(1,1), которая основыва-ется на автокорреляционной функции квадратов наблюдений.В данной работе предлагается последовательная процедура обнаружения мо-мента изменения параметров GARCH-процесса с неизвестными значениями па-раметров до и после момента разладки. Для определения момента разладки про-цесса используются оценки параметров, построенные с помощью модифициро-ванного взвешенного метода наименьших квадратов, предложенного С. Воробейчи-ковым и Н. Медер в [9]. Исследованы основные характеристики процедуры обна-ружения разладки: вероятности ложной тревоги и ложного спокойствия. Результатымоделирования демонстрируют эффективность предложенной процедуры.1. Постановка задачиРассматривается устойчивый случайный процесс GARCH(1,1)1 1 1 ,0,1..xn+ = ƒn+ƒn+n= ., (1)где {ƒn} - последовательность независимых одинаково распределенных случайныхвеличин с нулевым средним, единичной дисперсией и известным распределением.Условная вариация процесса xn+1 представляет собой случайный процесс вида2 2 2ƒn+1 =a+ƒxn+ƒƒn .Параметры {a, ƒ} предполагаются неизвестными, а параметр ƒ известным,причем параметры процесса удовлетворяют условиямa>0,ƒ ≥0,ƒ ≥0,0 0 определим момент остановки ƒ = ƒ(H)ƒ=ƒ(P)=inf{N1>N+1:ƒmin(N1)≥H}, (3)где ƒmin(N1) - минимальное собственное значение матрицы A(N1).Положительные весовые функции v(n,x) на интервале [N+1, N+ƒ-1] задаютсяследующим образом:( , )= 1Tn nv n xB U U,где ƒ - наименьшее значение N1, для которого A(N1) не вырождена. Веса v(n,x) наинтервале [N+ƒ, ƒ-1] находятся из условийmin 22( )( , ) .kTn nn Nkv n xU UB = +ƒƒ= ƒ (4)Последняя весовая функция v(ƒ,x) находится из условияmin 22 min( )( , ) T , ( ) .n nn Nv n xU U HBƒ= +ƒƒ ƒ≥ ƒ ƒ ƒ = (5)Оценка параметров ƒ*(H) в момент времени ƒ имеет следующий вид:* 1111( ) ( , ) ( ),( ) ( , ) .n nn NTn nn NH Y v n x U AA vn x U Uƒ−+= +ƒ= +⎛ ⎞ƒ =⎜ ⎟ ƒ⎝ ⎠ƒ =ƒƒ(6)Свойства предложенной оценки (3) - (6) задаются в теореме 1.Теорема 1. Для любого значения параметра процедуры H>0 момент прекра-щения наблюдений ƒ(H) конечен с вероятностью единица и средний квадрат от-клонения оценки ƒ*(H) от истинного значения вектора параметров ƒ удовлетво-ряет неравенству{ }* 22M (H) H 1.H+ƒ −ƒ ≤Доказательство. Момент прекращения наблюдений ƒ(H) является конечнымтогда и только тогда, когда расходится почти наверное ряд2= 1( , ) T = .n nn Nv n xU U+ƒ Принимая во внимание условие сходимости временных рядов [10] и определе-ние собственного вектора матрицы A(N1) [11], можно показать, что данный рядявляется расходящимся при любом значении параметра H.Используя неравенство Коши - Буняковского (4), (6), можно получить{ }2* 2 11= 12 2 2 22 1= 1( ) ( , ) ( )1 ( , ) .n nn Nn nn NM H M B vnxUAM B v nxUHƒ−++ƒ++ƒ −ƒ ≤ ⎧⎪⎨ ƒ ƒ ⎫⎪⎬≤⎪⎩ ⎪⎭⎧ ⎫≤ ⎨ ƒ ⎬⎩ ⎭ƒƒ (7)Введем усеченный момент остановки ƒ(N1)=min{ƒ, N1}, причем ƒ(N1)ƒ приN1. Тогда (7) преобразуется к виду, отличающемуся от исходного только пре-делом суммирования. Обозначим Fn =ƒ(x0, ƒ1,…, ƒn) - ƒ-алгебру, порожденнуюслучайными величинами {x0, ƒ1,…, ƒn}. Используя свойства условного математи-ческого ожидания, получаем1 ( , ) 1 ( , )1 ( , ) 1 ( , ) 1 .N Nn n n n nn N n NN Nn nn N n NM B v nxU M Bv nxUH HM B v n xU M B v n xU HH H Hƒ+ + ≤ƒ= + = +ƒ= + = +⎧⎪⎨ ƒ ⎫⎪⎬= ⎨⎧⎪ ƒ ƒ ⎬⎫⎪ =⎪⎩ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎪⎭= ⎪⎨⎧ ⎪⎬⎫ ⎧⎪⎨ ⎫⎪⎬≤ +⎪⎩ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎪⎭ƒ ƒƒ ƒТеорема доказана.Теорема 2. Если процесс (1) является устойчивым, M(ƒn)4 } 1 ,1xH P H x FH⎛ ⎞ƒ −ƒ ≤ − ⎜⎝ + ⎟⎠(9)где F(x) является распределением ƒ. с двумя степенями свободы.Доказательство. Учитывая (6), аналогично доказательству теоремы 1 можнополучить следующее неравенство:{ }* 2 22 1= 1( ) 1 n ( , ) n .n NM H M B vnxUHƒ++⎧ ⎫ƒ −ƒ ≤ ⎨ ƒ ⎬⎩ ⎭ƒПусть {Fk}k ≥1 последовательность ƒ-алгебр. Рассмотрим мартингал1= 1= (, ) ,1 k kk NX B vk x DUHƒƒ ++ƒ+ ƒгде D = [d1,d2] - произвольный вектор. Далее найдем предельное распределение Xƒаналогично доказательству центральной предельной мартингальной теоремы [10].Обозначим1 ( )1= ( )= ( , ) , .1nk k k k k n kk NH B vk x DU XH + ≤ƒ= +ƒ ƒ ƒ ƒ = ƒ+ ƒДля того чтобы найти характеристическую функцию Xƒ, нужно найти пределхарактеристической функции Xn, так как Xn Xƒ при n . Обозначим{ }= 1| ( )|= | .nn i kkk NMe F ƒƒ+ƒ ƒ ƒЛемма [10]. Если для заданного ƒ выполняется условие|ƒn(ƒ)|≥c(ƒ)>0,n>1,то сходимости по вероятностиƒn(ƒ)M(eiƒX )достаточно для сходимостиM(eiƒXn)M(eiƒX).Проверим выполнение условий леммы. Расматривая= 1 = 1| ()|= | { | }|= |1 { 1 | }|,n nn ik ikk kkk N k NM e F M e i F ƒƒ ƒƒ+ +ƒ ƒ ƒ ƒ + − − ƒƒприходим к неравенствам( ) 21 12 2( ) 2 ( )11 1min(1( )| ( )| 1 {| 1 || } 1 |2( ( , ) ) ( ( , ) )1 exp ln 12( 1) 2( 1)expn nn i k kk k kk N k Nn nk k k kkk N k Nnk NM e i F M FBv k x DU Bv k x DUMH Hƒƒ= + = +≤ƒ ≤ƒ+= + = += +ƒ ƒ ≥ − − − ƒƒ ≥ ⎛⎜⎜⎝ − ⎪⎨⎪⎧⎩ ƒƒ ⎫⎭⎪⎬⎪⎞⎠⎟⎟=⎛ ƒ ƒ ⎞ ⎛ ⎛ ƒ ƒ ⎞⎞= ⎜⎝⎜− + ƒ ⎟⎠⎟= ⎜⎜⎝ ⎜⎜⎝ − + ⎟⎟⎠⎟⎟⎠≥≥ −ƒ ƒƒ ƒ, ) 2 2 221( ( , ) )exp ( ( , ) ) .1 1kkk NBv k x DU B v k x DUH Hƒ ƒ= +⎛ ƒ ⎞ ⎛ ƒ ⎞⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠≥ ⎜⎝− + ⎟⎠ƒ ƒУчитывая (5), получаем2 222| ( )| exp 1 exp( ).1n B HH B⎛ ƒ + ⎞ƒ ƒ ≥ ⎜⎝− + ⎟⎠= −ƒТаким образом, условия леммы выполняются. Далее, чтобы найти асимптоти-ческое распределение ƒⁿ(ƒ), запишем ƒⁿ(ƒ) в следующем виде:{ }{ } { }11 1| ( )| exp 1 |exp 1 | 1 1 | .n n i kk kk Nn ik n ikk k k kk N k NM e i FM e i F M e i Fƒƒ= +ƒƒ ƒƒ= + = +⎛ ⎞ƒ ƒ = ⎜ − − ƒƒ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎜− − − ƒƒ ⎟ + − − ƒƒ⎝ ⎠ƒƒ ƒ(10)Рассмотрев два последних сомножителя, используя (5), (8), неравенства2| 1| | || |,| 1 | ( ) ,|ln(1 ) | 2| |2,для| | 1/22ex ex x eiƒx ix ƒx x x x x− ≤ − − ƒ ≤ + − ≤ +ƒ −ƒ > ≤ > ≤ − ƒƒ ƒгде 2C H 1x.H+=Так как след матрицы не превосходит единицу, то ковариационная матрица ƒне превосходит единичную матрицу, обозначив t = ƒ−1/ 2 y можно записать{ } { } *( ) 2 1 exp 1 1 2 .(2 ) 2 1Tt tT CxH P H x tt dt FHƒ >⎛ ⎞ƒ −ƒ > ≤ ƒ − ≤ − ⎜⎝ +⎟⎠ Теорема доказана.3. Построение процедуры обнаружения разладкиПостроим процедуру определения момента разладки. На первом шаге опреде-ляются интервалы [ƒi-1+1, ƒi], i ≥ 1. На каждом из этих интервалов строится оценкаƒi*(H) (6) процесса (1). Далее сравниваются оценки параметров, полученные наинтервалах [ƒi−m−1 + 1, ƒi−m] и [ƒi−1 + 1, ƒi], отстоящих друг от друга на m шагов. Ес-ли интервал [ƒi−1 + 1, ƒi] не содержит момент разладки ƒ, то вектор параметров ƒна этом интервале является постоянным и его значение равно или начальному ƒ0,или конечному ƒ1 значению. Если для определенного i разница между значения-ми параметров на интервалах [ƒi−m−1 + 1, ƒi−m] и [ƒi−1 + 1, ƒi] не меньше, чем заданнаявеличина ƒ, то ƒi−m < ƒ < ƒi−1 + 1. Составим статистику Ji, соответствующую интер-валу [ƒi−1 + 1, ƒi] для i > m:( * * )T( * * ).Ji= ƒi− ƒi−m ƒi− ƒi−m (11)Эта статистика характеризует квадратное отклонение оценок с номерами i и i−m.Обозначим отклонение оценки ƒi* от ее истинного значения через ƒi. Если вы-полняется условие ƒ > ƒi , то до момента ƒi значения параметров остаются неиз-менными и статистика (11) имеет видJi= ƒi− ƒi−m2 .Если ƒm < ƒ < ƒi−1, то есть изменение значений параметров произошло на ин-тервале [ƒm, ƒi−1], то статистика Ji примет следующий вид:2Ji= ƒ1− ƒ0+ ƒi− ƒi−m .Алгоритм определения точки изменения параметров процесса заключается вследующем: значение заданной статистики (11) сравнивается с пороговым значе-нием ƒ. Решение о наличии разладки принимается при превышении значения ста-тистики Ji значения ƒ. Важными характеристиками любой процедуры обнаруже-ния разладки являются вероятности ложной тревоги и ложного спокойствия. Бла-годаря использованию взвешенного метода наименьших квадратов для построе-ния оценок, в каждом цикле наблюдений можно обеспечить заданную вероят-ность ложной тревоги и ложного спокойствия, выбирая параметр процедуры Hсоответствующим образом.Теорема 3. Пусть 0 < ƒ < ƒ, тогда вероятность ложной тревоги P0 и вероят-ность ложного спокойствия P1 на любом интервале наблюдений [ƒi−1+1, ƒi] явля-ются ограниченными:( ) 0 2 1 2 2P(H, ) 4(H1),P(H, ) 4(H1) .H H+ +ƒ ≤ ƒ ≤ƒ ƒ − ƒДоказательство. Рассмотрим вероятность ложной тревоги. В этом случаезначение статистики Ji превышает порог ƒ до момента разладки ƒ. Используясвойства нормы вектора и неравенство Чебышева, получаем{ } 2 220 2( , ) { | } 2 { i im} 4( 1).i i i imP H P J P E HH−−ƒ + ƒ +ƒ = > ƒ ƒ < ƒ = ƒ − ƒ > ƒ ≤ ≤ƒ ƒДля нахождения вероятностиP H P J PP− − −−ƒ = < ƒ ƒ < ƒ < ƒ = ƒ − ƒ + ƒ − ƒ < ƒ == ƒ −ƒ +ƒ −ƒ < ƒУчитывая |ƒ1 - ƒ0|. >ƒ >0 и используя свойства нормы и неравенство Чебыше-ва, получим{ } { }{ }( )1 1 02 2( , )4( 1) .i im i imi imP H P PP HH− −−ƒ = ƒ − ƒ + ƒ − ƒ < ƒ ≤ ƒ − ƒ − ƒ < ƒ =+= ƒ −ƒ < ƒ− ƒ ≤ƒ − ƒТеорема доказана.Следующая теорема задает асимптотическую границу для вероятностей лож-ной тревоги и ложного спокойствия.Теорема 4. Пусть 0 < ƒ < ƒ и выполнены условия теоремы 2. Для достаточнобольших H вероятность ложной тревоги P0 и вероятность ложного спокойствия P1удовлетворяют неравенствам2 2 20 1( , ) 2 1 , ( , ) 2 1 ( ) ,4( 1) 4( 1)P H FH P H FHH H⎡ ⎛ ƒ ⎞⎤ ⎡ ⎛ ƒ− ƒ ⎞⎤ƒ ≤ ⎢⎣ − ⎝⎜ + ⎠⎟⎦⎥ ƒ ≤ ⎢⎣ − ⎝⎜ + ⎠⎟⎦⎥где F (x) - ƒ.-распределение с двумя степенями свободы.Доказательство. Рассматривая вероятность ложной тревоги и используя дляее оценки неравенство Минковского и свойство асимптотической нормальности,доказанное в теореме 2{ } { } { }{ } { }2 2 * * 20 0* 2 * 2 2( , ) | ( )| ( ) ( )2 1 .4 4 4( 1)i im k k km kmk k k m k mP H P J H P PP P F HH− − −− −ƒ = > ƒ = ƒ − ƒ > ƒ = ƒ − ƒ + ƒ − ƒ > ƒ ≤ƒ ƒ ⎡ ⎛ ƒ ⎞⎤≤ ƒ −ƒ > + ƒ −ƒ > ≤ ⎢⎣ − ⎝⎜ + ⎠⎟⎦⎥Используя неравенство Минковского и асимптотические свойства построен-ной оценки, вероятность запаздывания в обнаружении определяется следующимобразом:{ } { }( ) ( )2 2 21 1 1 0 1 02 2* 2 * 2 2 21 1 0 0( , ) {| ( )| } | |2 1 ( ) .4 4 4( 1)P H P J H P i im P i imP P F HHƒ = < ƒ = ƒ −ƒ + ƒ −ƒ− < ƒ ≤ ƒ −ƒ− ≥ ƒ −ƒ −ƒ ≤≤ ⎪⎨⎪⎩⎧ƒ −ƒ > ƒ − ƒ ⎪⎬⎪⎭⎫+ ⎪⎨⎪⎩⎧ƒ −ƒ > ƒ − ƒ ⎪⎬⎪⎭⎫≤ ⎡⎢⎣ − ⎜⎛⎝ ƒ −+ ƒ ⎟⎞⎠⎤⎦⎥Теорема доказана.4. Результаты численного моделированияДля проверки работоспособности процедурыПараметр ƒ полагался равным ƒ = 0,3. Рассматривалась реализация процессадлиной 15 000 значений, которая содержала два момента разладки. Вектор пара-метров {a, ƒ} в момент ƒ = 5 000 изменялся с {0,3; 0,6} на {0,5; 0,1}, в моментƒ = 10 000 на {0,1; 0,5}. Исследовалась процедура определения момента разладкидля различных значений H и ƒ, а также результаты оценивания неизвестных пара-метров процесса. Для каждого набора параметров проводилось 100 эксперимен-тов. Результаты моделирования приведены в табл. 1 и 2.Т а б л и ц а 1Оценки параметров процессаН ƒ1* ƒ2* ƒ3* MSEt MSEpH=3500,3180,546⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠0,4740,121⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠0,1050,483⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 0,0029 0,0015H=4000,3070,577⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠0,4880,122⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠0,1060,475⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 0,0025 0,0005H=4500,3030,59⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠0,4680,167⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠0,1270,502⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 0,0022 0,0021В табл. 1 приведены результаты численного моделирования предложенногометода оценки неизвестных параметров процесса GARCH(1,1) и процедуры обна-ружения разладки. Здесь ƒi*(H), i = 1,2,3, - оценки неизвестных параметров про-цесса (12) параметров процесса, MSEt и MSEp - значения среднеквадратическогоотклонения оценок от их истинных значений, полученные с помощью соотноше-ний, доказанных в теореме 1 и в результате моделирования соответственно.Для исследования вероятности ложной тревоги и среднего времени междуложными тревогами рассматривалась реализация процесса длиной 400 000 значе-ний, не содержащая момента разладки. Фиксировались те моменты времени, ко-гда процедура обнаруживает разладку. Для нахождения вероятности запаздыва-ния в обнаружении и среднего времени запаздывания рассматривалось 100 реали-заций процесса (12) длиной 10 000 значений каждая, для которых момент разлад-ки параметров процесса моделировался как равномерно распределенная случай-ная величина на интервале [5 000, 5 500]. Учитывались только те реализации про-цесса, для которых существовала задержка в обнаружении момента разладки. Ре-зультаты моделирования приведены в следующей таблице.Т а б л и ц а 2Оценки моментов изменения параметров и характеристики процедуры обнаруженияH, ƒ ƒ1* ƒ2* T0 T1 P0p P0A P0C P1p P1A P1CH = 350ƒ = 0,1 6215 10988 398341 1196 0.013 0,025 0,115 0,181 0,193 0,214H = 400ƒ = 0,075 6027 10726 33196 900 0.027 0,048 0,134 0 0,048 0,134H = 450ƒ = 0,05 6112 10509 26529 780 0.038 0,121 0,178 0 0,006 0,085ƒ1* и ƒ2* - средние значения оценок моментов изменения параметров, вычис-ленные по 100 реализациям процесса; T0 - среднее время между ложными трево-гами; T1 - среднее время запаздывания в обнаружении; P0A, P0C и P0p обозначаютвероятности ложной тревоги, полученные с использованием свойства асимптоти-ческой нормальности оценки, неравенства Чебышева и в результате моделирова-ния соответственно. Соответствующие вероятности ложного спокойствия обозна-чены P1A, P1C и P1p.Результаты исследований демонстрируют эффективность предложенного ме-тода оценки параметров процесса GARCH(1,1) и предложенной процедуры опре-деления момента разладки. Точность оценки неизвестных параметров процессазависит от выбора значения параметра H. При возрастании параметра H увеличи-вается точность оценивания, однако при этом увеличивается время запаздыванияв обнаружении. С другой стороны, при уменьшении ухудшается точность оценки,что показано на рис. 1 и 2. Выбор величины ƒ влияет на скорость определениямомента разладки. При увеличении значения ƒ увеличивается время запаздыванияв обнаружении, при уменьшении значения параметра повышается вероятностьложной тревоги. Во всех случаях вероятностные характеристики процедуры об-наружения не превышают теоретических, что позволяет сделать вывод о возмож-ности их применения.0 5000 10000 j0,5aaa*0 5000 10000 j0,5ƒ ƒƒ∗0Рис. 1. Оценки неизвестных параметров процесса (пунктирная линия - оценка параметрапо взвешенному методу наименьших квадратов, сплошная - истинное значение параметра).Параметры процедуры H = 250, ƒ = 0,10 5000 10000 j 0 5000 10000 j0,5a0,5ƒ0aa* ƒƒ∗Рис. 2. Оценки неизвестных параметров процесса (пунктирная линия - оценка параметрапо взвешенному методу наименьших квадратов, сплошная - истинное значение параметра)Параметры процедуры H = 400, ƒ = 0,05ЗаключениеВ работе построена и исследована последовательная процедура обнаружениямомента изменения значений параметров процесса GARCH(1,1), параметры кото-рого предполагаются неизвестными до и после момента разладки. Алгоритм оп-ределения точки изменения параметров процесса заключается в сравнении оценокнеизвестных параметров процесса на различных интервалах наблюдений. Исполь-зуются оценки, построенные с помощью модифицированного взвешанного методанаименьших квадратов с гарантированным среднеквадратическим отклонением,точность которых зависит от заданного параметра процедуры. Найдены характе-ристики процедуры обнаружения разладки, исследованы асимптотические свой-ства. Численное моделирование показало работоспособность предложенной про-цедуры.

Скачать электронную версию публикации