Filtering for linear not stationary discrete system with unknown disturbances.pdf В работах многих авторов большое внимание уделяется разработке алгорит-мов калмановской фильтрации для класса систем с неизвестными аддитивнымивозмущениями и параметрами, которые могут использоваться в качестве моделейреальных физических систем, моделей объектов с неизвестными сбоями.Известные методы вычисления оценок вектора состояния базируются на алго-ритмах, использующих оценки неизвестного возмущения [1 - 11]. В работах [1, 2]рассматриваются алгоритмы расширения пространства состояний (к основноймодели объекта добавляется модель ненаблюдаемого возмущения) и алгоритмдвухэтапной фильтрации, уменьшающий вычислительные затраты за счет деком-позиции задачи. В работах [3 - 11] изучены алгоритмы рекуррентной оптималь-ной фильтрации, использующие оценки неизвестного возмущения, имеющие дос-таточно жесткие условия их разрешимости.В настоящей работе для дискретного нестационарного объекта с неизвестнойпостоянной составляющей возмущений предлагается метод оптимальной фильт-рации, не использующий оценки неизвестного возмущения. Метод базируется напреобразовании модели и сведении к задаче линейной калмановской фильтрации[12 - 14]. В настоящей статье обобщаются результаты [15] на случай решения за-дачи для нестационарного дискретного объекта.1. Постановка задачиРассматривается дискретная система, которая описывается следующими раз-ностными уравнениями:x(k+1)=A(k)x(k)+f+q(k),x(0)=x0, (1)где x(k)Rn - вектор состояния; A(k) - nn-матрица; f - неизвестный постоян-ный вектор; q(k) - белая гауссовская случайная последовательность с характери-стикамиM{q(k)}=0, M{q(k)qƒ ( j)}=Q(k)ƒk, j. (2)Канал наблюдений имеет видy(k)=S(k)x(k)+v(k), (3)y(k)Rl - вектор измерений; S(k) - матрица размерности ln; v(k) - белая гаус-совская случайная последовательность ошибок измерений, с характеристиками:M{ ( v k)} = 0 , M{q(k)vƒ ( j)} = 0 , M{v(k)vƒ ( j)}=V(k)ƒi, j; (4)для матриц (S(k), A(k)) выполняются условия наблюдаемости. Вектор x0 являетсяслучайным и не зависит от от процессов q(k) и v(k), при этомM{x(0)} = x0 , M {(x(0)−x0)(x(0)−x0)ƒ}=P0 .Для системы (1) и канала наблюдений (3) требуется синтезировать фильтр,вычисляющий оценку вектора состояния, не использующий оценки неизвестнойпостоянной составляющей возмущений.2. Синтез фильтраПреобразуем дискретную систему (1). Исключаем постоянную составляющуювозмущений f из описания объекта посредством вычитания из уравнения (1) тако-го же уравнения, но со сдвигом на один такт:x(k)= A(k−1)x(k−1)+ f +q(k−1). (5)В результате получаем следующее уравнение:x(k +1)=(A(k)+En)x(k)− A(k −1)x(k −1)+q(k)−q(k −1). (6)Расширим пространство состояний системы путем добавления к уравнению (6)тождества x(k) =x(k). Обозначим( ) ( )( 1)X k x kx k=⎛⎜⎝ − ⎞⎟⎠, ( ) ( ) ( 1)0q k q k q k =⎛⎜ − − ⎞⎟⎝ ⎠. (7)Систему (1) представим в векторно-матричной формеX(k+1)=A(k)X(k)+q(k),X(0)=X0, (8)где А(k)- 2n2n-матрица имеет следующую блочную структуру:( ) ( ) (0 1)nnA k A kE E A k=⎛⎜ + − − ⎞⎟⎝ ⎠. (9)Случайный вектор X0 (x0ƒ xƒ1)ƒ= − имеет следующие характеристики:M{X (0)} = X0 , M {(X0−X0)(X0−X0)ƒ}=P0, (10)где X0 (x0ƒ xƒ1)ƒ= − . Отметим, что здесь дополнительно вводится n-мерный век-тор x−1 , который является независимым от q(k) и v(k) , а характеристики (10)могут быть получены по априорной информации об объекте (1).Отметим, что в рассмотренной модели (8) процесс q(k) не является белой гаус-совской последовательностью, процессы q(k) и q(k −1) будут коррелированны:( ), если ,M{ ( ) ( )} ( 1), если 1,0, если0 1,Q k j kq k q j Q k j kj kƒ= ⎧⎪= − = − ⎨⎪≤ < −⎩(11)где ( ) ( ) ( 1) 00 0Q k Q k Q k =⎛⎜ + − ⎞⎟⎝ ⎠, ( 1) ( 1) 00 0Q k Q k − =⎛⎜− − ⎞⎟⎝ ⎠. (12)Представим канал наблюдений для расширенной системы (8) в виде( ) ( ) y k =S k X(k)+v(k), (13)где S(k) =(S(k) 0), v(k) − случайная последовательность ошибок измерений с ха-рактеристиками (4).В качестве уравнения для вычисления оценки вектора состояния расширеннойсистемы выберем уравнение, по своей структуре совпадающее с фильтром Кал-мана:Xˆ(k+1)=A(k)Xˆ(k)+K(k)(y(k+1)−S(k+1)A(k)Xˆ(k)), 0 Xˆ (0) = X . (14)Учитывая (8) и (14), получим следующее уравнение для ошибки e(k)=Xˆ(k)−X(k) :e(k+1)=(A(k)−K(k)S(k+1)A(k))e(k)+K(k)v(k+1)+(K(k)S(k+1)−E2n)q(k). (15)В силу (11) и (15), матрица P(k) =M{e(k)eƒ(k)} определится из следующего раз-ностного уравнения:P(k +1) = (A(k)−K(k)S(k +1)A(k))P(k)(A(k)−K(k)S(k +1)A(k))ƒ ++(K(k)S(k+1)−E2n)Q(k)(K(k)S(k +1)−E2n)ƒ+K(k)V(k +1)Kƒ(k)++(A(k)−K(k)S(k+1)A(k))(K(k−1)S(k)−E2n)Q(k−1)(K(k)S(k+1)−E2n)ƒ+(K(k)S(k+1)−E2n)Q(k−1)(K(k−1)S(k)−E2n)ƒ(A(k)−K(k)S(k+1)A(k))ƒ, P(0) =P0. (16)Оптимизируемый критерий зададим в видеJ(k +1)=trP(k +1). (17)Оптимальные коэффициенты передачи фильтра K(k) определяются из условия( 1) 0( )dJ kdK k+=. (18)Учитывая (17) и правую часть уравнения (16), применяя правила матричногодифференцирования следа от матрицы [16], получим из условия (18) уравнениедля определения матрицы K(k):−A(k)P(k)A(k)ƒS(k+1)ƒ +K(k)S(k +1)A(k)P(k)A(k)ƒS(k +1)ƒ ++K(k)S(k+1)Q(k)S(k)ƒ−Q(k)S(k +1)ƒ−K(k)S(k +1)Q(k −1)S(k)ƒK(k−1)ƒA(k)ƒS(k+1)ƒ +K(k)S(k+1)Q(k−1)A(k)ƒS(k+1)ƒ −−K(k)S(k+1)A(k)K(k −1)S(k)Q(k −1)S(k+1)ƒ ++K(k)S(k+1)A(k)Q(k −1)S(k +1)ƒ+Q(k −1)S(k)ƒK(k −1)ƒ A(k)ƒS(k+1)ƒ −Q(k −1)A(k)ƒS(k +1)ƒ − A(k)Q(k −1)S(k +1)ƒ ++A(k)K(k−1)S(k)Q(k −1)S(k+1)ƒ +K(k)V(k+1)=0. (19)Решение последнего уравнения относительно K(k) дает следующий результат:K(k)=P

Скачать электронную версию публикации