An algorithm with splitting of the wavelet transforms offirst degree splines.pdf Вейвлетом называется короткая или быстро затухающая волновая функция,множество сжатий и смещений которой порождает пространство измеримыхфункций на всей числовой оси [1 - 3]. К недостаткам ортонормальных и биорто-гональных вейвлетов относится то, что их двойственные не имеют аналитическо-го представления и графически похожи на фрактальные кривые. Недостатком по-луортогональных сплайн-вейвлетов является то, что для них не существует явныхконечных формул разложения. Поэтому при вычислениях используют прибли-женные значения главных коэффициентов разложения [2] либо решают системулинейных алгебраических уравнений, для которой не гарантирована хорошая обу-словленность [3]. В данной работе для случая сплайнов первой степени рассмот-рен неизвестный ранее тип вейвлетов, для которых доказано существование ко-нечных неявных соотношений разложения и обоснован эффективный алгоритмвейвлет-анализа на их основе.1. Построение сплайн-вейвлетов первой степениПусть пространство VL является пространством сплайнов первой степени наотрезке [a, b] с равномерной сеткой узлов ƒL: ui = a + (b - a) i / 2L, i = 0, 1,…, 2L, ибазисными функциями NLi (v) = ƒ1(v - i) i, где v = 2L(u - a) / (b - a) + 1, с центра-ми в целых числах, порожденными сжатиями и сдви-гами функции ƒ1(t) (рис. 1):1, 0 1,ƒ ( ) 2 , 1 2,0, [0, 2].t tt t tt≤ ≤ ⎧⎪= − ≤ ≤ ⎨⎪∉ ⎩Если сетка ƒL-1 получена из ƒL посредством уда-ления каждого второго узла, то соответствующеепространство VL-1 с базисными функциями NL-1i, вдва раза большими по ширине с центрами в четныхцелых числах, вложено в VL. Пространство вейвлетов WL-1 определяется как до-полнение VL-1 до VL, так что любая функция в VL может быть записана в виде сум-мы некоторой функции в VL-1 и некоторой функции в WL-1. В [3] было предложенов качестве базисных функций в WL-1 использовать базисные функции в VL с цен-трами в нечетных целых числах («ленивые» вейвлеты). Мы предлагаем использо-вать в качестве вейвлетов для WL-1 функции NLi в VL с центрами в четных целыхчислах при условии обнуления сплайна в последнем узле. Тогда соответствующиебазисные функции удаляются из базисов, и размерности полученных пространствV0L, W0L-1 равны 2L+1 - 1 = 2L и 2L-1 соответственно. Следовательно, выполняетсяусловие дополнения размерностей этих пространств, Dim (V0L) = Dim (V0L-1) ++ Dim (W0L-1).После этого на любом уровне разрешения L ≥ 0 сплайн первой степени можетбыть представлен на интервале [a, b] изменения параметра как( ) ( )2 10S N , .LL L Li iiu C u a u b−==ƒ ≤ ≤ (1)Для дальнейшего удобно записать коэффициенты сплайна и базисные функ-ции с отсутствующими элементами в конце отрезка аппроксимации как0 1 2 1 , , ..., LT L L L L С С С С− =⎡⎣ ⎤⎦ и 0 1 2 1 ƒ N , N , ..., N LL L L L− = ⎡⎣ ⎤⎦ . Тогда уравнение (1) пере-писывается в виде SL(u) = ƒL (u) CL.Аналогично, обозначим базисные вейвлет-функции как ML-1i = ƒ1(v - 2i),i = 0, 1,…, 2L-1, и на уровне разрешения L запишем их в виде матрицы-строки0 1 2 1 ƒ M , M , ..., M LL L L L− =⎡⎣ ⎤⎦. Соответствующие вейвлет-коэффициенты будем соби-рать в вектор 0 1 2 1 , , ..., L .T L L L L D D D D− = ⎡⎣ ⎤⎦ Тогда с использованием обозначениядля блочных матриц процесс получения CL из CL-1 и DL-1 может быть записанкак [3]:11 | .LL L LLС P Q СD−−⎡ ⎤=⎡⎣ ⎤⎦⎢ ⎥⎣ ⎦(2)Ниже представлен пример матрицы [PL | QL], соответствующий L = 3:3 32 21 12 2| 12 1 12 2 .1 12 21P Q⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡⎣ ⎤⎦= ⎢⎢ ⎥⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎣ ⎥⎦Здесь и далее пустые позиции представляют собой нулевые элементы. Блоки мат-рицы PL составлены из коэффициентов соотношения1( )121(2 ) 1(2 1)121(2 2),ϕ t = ϕ t+ϕ t− + ϕ t−так как каждую широкую базисную функцию внутри отрезка аппроксимацииможно построить из трех, а на краю интервала из двух, узких базисных функций.Все элементы столбцов матрицы QL - нули, за исключением единственной едини-цы, так как каждый ленивый вейвлет - это одна узкая базисная функция.Обратный процесс разбиения коэффициентов CL на более грубую версию CL-1и уточняющие коэффициенты DL-1 состоит в решении системы линейных уравне-ний (2). При этом для облегчения численного решения систему (2) целесообразнорасщепить по четным и нечетным узлам [4]. Имеет место следующаяТеорема 1. Пусть значения сплайн-коэффициентов CiL в нечетных узлах пере-считаны из решения системы линейных уравнений вида1 13 32 1 2 12 11 2 : ,1 11 L LL LL LL LC СC СC С − −⎡⎢⎢⎢⎢⎣ ⎤⎥⎥⎥⎥⎦⋅⎢⎣⎢⎢⎢⎢⎡ ⎥⎦⎥⎥⎥⎥⎤=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦

Скачать электронную версию публикации