Model Predictive Control discretesystems with unknown input and its application to control problem of economic object.pdf При синтезе управлений широко используется метод управления динамиче-скими объектами с применением прогнозирующих моделей - Model PredictiveControl (MPC) [1, 2]. Область применения MPC охватывает задачи управлениятехнологическими процессами, производственными системами и финансовую ма-тематику (управление портфелем ценных бумаг) [1−5] и др.В работе рассматривается задача синтеза прогнозирующего управления длядинамических объектов с неизвестным входом, при этом применяются методывычисления оценок вектора состояния объекта, использующие оценки неизвест-ного возмущения (входа) [6−15]. В [6, 7] для вычисления оценок неизвестноговозмущения рассматриваются алгоритмы расширения пространства состояний (косновной модели объекта добавляется модель ненаблюдаемого возмущения) и ал-горитм двухэтапной фильтрации, уменьшающий вычислительные затраты за счетдекомпозиции задачи. В работах [8−15] для вычисления таких оценок предложе-ны алгоритмы рекуррентной оптимальной фильтрации, не использующие методрасширения пространства состояний.Предложено синтезировать прогнозирующее управление с использованиемоценок неизвестного входа, которые могут вычисляться двумя способами в зави-симости от уровня априорной информации: на основе фильтра Калмана и на ос-нове модифицированного МНК. Рассмотрена задача синтеза прогнозирующегоуправления производством, хранением и поставками товара с учетом случайныхфакторов при неизвестном входе.1. Постановка задачиМодели объекта, канала наблюдений и управляемого выхода описываютсяследующими соотношениями:xt+1= Axt+But +Irt +wt , xt=0= x0; (1)ƒt= Hxt+vt; (2)yt=Gxt, (3)где nxt  R − состояние объекта, mut  R − управляющее воздействие (известныйвход), qrt  R − неизвестный входящий сигнал, lƒt  R − наблюдения, выходсистемы контроля, pyt  R − управляемый выход, A, B, I, H, G - матрицы соот-ветствующих размерностей. Предполагается, что случайные возмущения wt и шу-мы измерения vt не коррелированы между собой и подчиняются гауссовскомураспределению с нулевым средним и с соответствующими ковариациями:, { } t k tk ƒw wƒ =Wƒ , , { } t k t k ƒv vƒ =Vƒ ,где ƒt,k - символ Кронекера. В (1) вектор начальных условий x0 является слу-чайным, некоррелированным с величинами wt и vt и определяется следующимихарактеристиками:ƒ{x0}=x0, 0 0 0 0 0 {( )( ) } x ƒ x −x x −x ƒ =P .Ограничения на векторы состояния и управления зададим в видеa1≤S1xt ≤a2, ϕ1(xt)≤S2ut≤ϕ2(xt), (4)где S1 и S2 - структурные матрицы, состоящие из нулей и единиц и определяющиекомпоненты векторов xt и ut, на которые накладываются ограничения; a1, a2, ƒ1(xt),ƒ2(xt) - заданные постоянные векторы и вектор-функции соответствующих раз-мерностей.Задача состоит в том, чтобы по наблюдениям ƒt определить стратегию управ-ления, при которой вектор выхода системы yt будет близок к заданному вектору сучетом ограничений (4).2. Прогнозирование поведения объектаМодель (1) используется для прогнозирования поведения объекта на протяже-нии всего горизонта прогнозирования, обозначаемого N, на основе информации,имеющейся в момент времени t. Осуществим синтез алгоритма оптимальногопрогнозирования поведения объекта и вектора выхода, используя экстраполяторКалмана [16]. Пусть xˆi| j и yˆi| j − оценки состояния и вектора выхода в моментвремени i, вычисляющие информацию с j-го момента времени, j ≤ i. Тогда:xˆt+1|t=Axˆt|t−1+But+Irˆt+Kt(ƒt−Hxˆt|t−1), xˆ0|−1= x0; (5)yˆt+1|t = Gxˆt+1|t; (6)1 ( ) t t t K APH HPH V− = ƒ ƒ+ ; (7)1Pt1 W APtA APtH (HPtH V) HPt A ƒ ƒ ƒ − ƒ+ = + − + , P0 =Px0. (8)Для построения модели прогнозирования необходимо вычислить оценки не-известного входа. Рассмотрим два подхода построения оценок неизвестноговхода rˆt .Для того чтобы применить подход, основанный на использовании фильтраКалмана, необходим определенный уровень априорной информации о неизвест-ном входе rt , например необходимо иметь модель поведения неизвестного входа.Предположим, что закон его поведения задается следующим уравнением:rt+1=Rrt+ƒt, rt=0=r0, (9)где R - матрица, определяющая динамику неизвестного сигнала, ƒt - случайнаягауссовская величина с нулевым средним и дисперсией ƒ , r0 - случайный векторначальных условий с известными характеристиками (ƒ{r0}=r0,ƒ{(r0−r0)(r0−r0)ƒ}=Pr0 ). Предполагается, что ƒt не коррелирована со случай-ными возмущениями wt и шумами измерения vt.Применяя фильтр Калмана к модели (9), получим оценку неизвестного сигналав момент времени t+1, которая определяется из следующих выражений:rˆt+1=Rrˆt+Kt(ƒt+1−HAxˆt|t−1−HBut−HIrˆt), rˆ0=r0,1 ( ) t t t K PH HPH HWH V− = ƒ ƒ+ ƒ + ,Pt+1=(En−KtH)Pt, P0 =Pr0, (10)где En - единичная матрица размера n.n.Перейдем к рассмотрению второго подхода. В этом случае отсутствует необ-ходимость знать модель поведения неизвестного входа (9). Вычисление значенийпрогноза состояния системы (5) выполним как решение некоторой новой задачиоптимального управления, при этом под управлением понимаются значения неиз-вестного входа rˆt . Критерий оптимальности строится исходя из принципа мини-мума ошибок прогнозируемых оценок вектора состояния. Второй подход являетсявариантом модифицированного МНК. В качестве критерия оптимальности будемиспользовать квадратическую функцию следующего вида:{ 2 2}1 |1 11(ˆ) ˆ ˆR Rtt i i i C i DiJ r− Hx − r−==ƒ ƒ − + , (11)где CR и DR - симметричные, положительно определенные матрицы.Оптимизация критерия до текущего момента времени t сводится к минимиза-ции критерия в каждый момент времени i= 1,t:{ }0 1 12 21 ˆ ˆ ˆ 1 |1 1(ˆ) minmin min ˆ ˆt R Rtt i i i i D C r r riJ r Hx r−− − −== … ƒ ƒ− + . (12)Оптимальная оценка неизвестного входа на шаге t =1:{ } 02 20 ˆ 1 1|0 0(ˆ) min ˆ ˆR R r C DJ r = ƒ −Hx + r .Учитывая, что xˆ1|0=Ax0+Bu0+Irˆ0, имеем{ }02 20 ˆ 1 0 0 0 0(ˆ) min ˆ ˆr CR DRJ r = ƒ −HAx −HBu −HIr + r . (13)После преобразований получаемJ r = rƒ IƒH C HI+D r − rƒIƒH C ƒ −HAx −HBu + ƒ ,где ƒ0 - величина, не зависящая от rˆ0 .Оптимальная оценка находится из условия0 ( ) ( )0 1 0 00(ˆ )2 ˆ2 0ˆT TR R RJ r I H C HI D r I H C HAx HBur ƒ ƒ= + − ƒ − − =,откуда получаем оптимальную оценку неизвестного входа в момент времениt = 1:rˆ0=SR(ƒ1−HAx0−HBu0), (14)где ( )T 1 TSR I H CRHI DR I H CR = ƒ + − ƒ . Подставляя полученное выражение для rˆ0в (13), вычисляем оптимальное значение критерия в момент времени t =1:J(rˆ0) ( 1 HAx0 HBu0) MR ( 1 HAx0 HBu0) = ƒ − − ƒ ƒ − − , (15)где 2 ( T )MR=CR− CRHISR+SRƒ IƒHCRHI+DR SR.В момент времени t = 2 оптимальная оценка неизвестного входящего сигналанаходится исходя из оптимизации следующего критерия:{ } 0 12 2 2 21 ˆ ˆ 2 2|1 1 1 1|0 0(ˆ) minmin ˆ ˆ ˆ ˆR R R R r r C D C DJ r = ƒ −Hx + r + ƒ −Hx + r .Используя принцип оптимальности Беллмана, выражение для J(rˆ1) можетбыть преобразовано следующим образом:{ } 12 21 ˆ 2 2|1 1 0(ˆ) min ˆ ˆ (ˆ )R R r C DJ r = ƒ −Hx + r +J r ={ } 12 2 2ˆ 2 1|0 1 1 1 1 0 0min ˆ ˆ ˆR R R r C D M= ƒ −HAx −HBu −HIr + r + ƒ −HAx −HBu ={( ) ( ) }1ˆ 1 1 1 2 1|0 1 1minˆ T ˆ2 ˆ T ˆr R R R= rƒ IƒH C HI+D r − rƒIƒH C ƒ −HAx −HBu + ƒ ,где ƒ1 - величина, не зависящая от rˆ1 . Дифференцируя по rˆ1 , по аналогии с опе-рациями, проведенными на первом шаге, имеем( ) rˆ1=SR ƒ2−HAxˆ1|0−HBu1; (16)( ) ( ) J(rˆ1) 2 HAxˆ1|0 HBu1 MR 2 HAxˆ1|0 HBu1 ƒ = ƒ − − ƒ − − . (17)Применяя принцип Беллмана для последующих шагов и метод математическойиндукции, получаем( ) rˆt=SR ƒt+1−HAxˆt|t−1−HBut. (18)Таким образом, учитывая динамику оценок неизвестного входа (10), (18), про-гнозирование поведения объекта и выхода системы можетгде t+u k|t - управление, используемое для прогнозирования, rˆt+k - оценки прогно-за неизвестного входа, которые строятся исходя из того, какой метод оцениваниябыл выбран. В случае отсутствия априорной информации о поведении неизвест-ного входа оценки прогноза rˆt+k могут быть построены на основе методов про-гнозирования временных рядов. В случае, когда модель поведения неизвестноговхода известна, целесообразно строить прогноз rˆt+k на основе уравнения динами-ки (9):rˆt+k =Rrˆt+k−1 ,где начальное значение rˆt+1 определяется из (10).Уравнения для прогнозируемых векторов состояния и выхода представляютсяв векторно-матричной форме. Для этого вводятся следующие векторы и матрицы:1||ˆˆˆt ttt NtxXx++⎡ ⎤=⎢⎢ ⎥⎥⎢⎣ ⎥⎦

Скачать электронную версию публикации