On term structure of yield rates. 1.Vasi?ek model.pdf В последние годы много внимания уделяется исследованию временной струк-туры процентных ставок (т.е. зависимости процентных ставок доходности от сро-ка до погашения свободных от неуплаты ценных бумаг) и относящихся к ней та-ких величин, как номинальная кривая доходности и форвардная кривая. Эта зави-симость играет важную роль при определении стоимости долговых инструментови финансовых производных от процентных ставок [1, c. 137; 2, c. 9], исследованиивлияния налогообложения и ликвидности на цены облигаций [3, c. 1540; 4, c. 617].Временная структура процентных ставок используется также при управлениириском (см. например, технологию RiskMetrics [5]), где используются методы ге-нерирования спот-ставок, по которым конструируется матрица ковариации, атакже при разработке монетарной стратегии, когда ожидаемые ставки разделяют-ся на краткосрочные, среднесрочные и долгосрочные [6, c. 27]. Известна такжепопытка формализовать связь между кривой доходности и реальной экономиче-ской активностью. На основании этой связи выводятся формулы для временнойструктуры процентных ставок. При этом временная структура олицетворяет ры-ночные ожидания об изменениях макроэкономической основы - роста реальногосовокупного продукта экономики, что позволяет использовать рыночные данныеоб облигациях для предсказания роста внутреннего валового продукта в промыш-ленных странах [7, c. 6].Временной структурой, интересной для практиков и исследователей, являетсяноминальная кривая доходности, представляющая доходность до погашения наноминальные облигации (т.е. облигации, продающиеся по номинальной стоимо-сти и имеющие купоны с такой же доходностью). Определение номинальной кри-вой доходности основывается на наблюдении находящихся в обращении государ-ственных ценных бумаг, только что проданных на аукционе и наиболее ликвид-ных. Эти ценные бумаги в странах с развитой экономикой выпускаются для 10начальных сроков погашения 0,25, 0,5, 1, 2, 3, 5, 7, 10, 20 и 30 лет. Они обычнопродаются по номинальной стоимости и их доходности называются доходностяминоминальных облигаций. Определение временной структуры процентных ставоксводится к тому, что имея только 10 находящихся в обращении номинальных до-ходностей, непосредственно наблюдаемых на рынке, и используя другую инфор-мацию, содержащуюся в описании этих ценных бумагах, необходимо сконструи-ровать функцию, позволяющую вычислять доходность для любого срока до по-гашения. Заметим, что имеются методы, не основанные на номинальной кривойдоходности, такие, как метод кубических сплайнов [8, c. 21] и сглаживающий ме-тод [9, c. 7].1. Общие свойства многофакторных моделей временной структурыдоходностейБудем рассматривать номинальные облигации, продаваемые на аукционе в не-который текущий момент времени t по цене P(t, T, x), где T - дата погашения об-лигации, а x = x(t) - в общем случае вектор переменных, характеризующих со-стояние финансового рынка на дату t, t < T. Считается, что облигация являетсясвободной от неуплаты и на дату T погашается за 1 денежную единицу, т.е. ценаP(T, T, x) = 1 для любых состояний x(T).Процентной ставкой доходности до погашения (или просто доходностью) на-зывается величинаln ( y(t,T,x) P t,T,x)T t−=−.Временной структурой доходности называют зависимость y(t, T, x) от срока допогашения T − t. Именно она представляет интерес для инвесторов, заботящихсяоб эффективности своих инвестиций в будущем.Краткосрочная процентная ставка доходности (или просто краткосрочная(short) ставка) определяется как предел( , ) lim ln ( , , ) ln ( , , )T t T ty t x P t T x P t T x T t t =− = =− . (1)Эта ставка различными авторами называется также спот (spot)-ставкой или без-рисковой (risk-free) ставкой, поскольку она характеризует доходность в течениеинфинитезимального интервала времени, на котором как бы ни изменялось со-стояния рынка оно «не успеет» стать рисковым.Наряду со ставкой доходности до погашения, характеризующей доходность об-лигации за весь период ее активности, инвесторов интересуют доходности облига-ций на некотором временном интервале между будущими датами T1 и T2 на основеинформации о доходности, имеющейся в текущий момент времени t, t < T1 < T2. Та-кие ставки f(t, T1, T2) называются форвардными. Форвардные ставки при T1  T2 = Tопределяют краткосрочные ставки для будущих моментов времени T и называютсямгновенными форвардными ставками f(t, T, x). Именно они чаще интересуют инве-сторов и словосочетание «форвардные ставки» обычно относится именно к f(t, T, x).Форвардная ставка f(t, T, x) определяется соотношением [10, c. 137]f (t,T,x) ln P(t,T,x)T= −.Между доходностью до погашения и форвардной ставкой имеется взаимно од-нозначные соотношения( , , ) 1 ( , , )Tty t T x f t s x dsT t=−  , f (t,T,x) y(t,T,x) (T t) y(t,T,x)T= + −Вектор состояния финансового рынка X(t) = (X1, X2, …, Xn)Т следует однород-ному по времени марковскому процессу, порождаемому стохастическим диффе-ренциальным уравнениемdX(t) = ƒ(X(t)) dt + ƒ(X(t)) dW(t)с n-вектором дрейфа ƒ(x), (nm)-матрицей волатильности ƒ(x), и m-вектором W(t)независимых стандартных винеровских процессов.Предполагается, что функция P(t, T, x) цены облигации дифференцируема попервому аргументу и дважды дифференцируема по третьему аргументу. Согласностохастическому анализу Ито, цена облигации как функция времени P(t, T, X(t))  Z(t) тоже оказывается случайным процессом диффузионного типа и удовлетво-ряет стохастическому дифференциальному уравнениюdZ(t) = ƒP(t, T, x) dt + ƒP(t, T, x)ТdW(t),где ƒP(t, T, x) и ƒP(t, T, x) - скалярная функция дрейфа и m-вектор волатильностисоответственно, определяемые соотношениями2T T2( , , ) ( , , ) 1 ( ( , , ) ( ) tr ( ) , , ) ( ) ,P 2t T x P t T x x P t T x x P t T x xt x x  ⎛  ⎞ƒ =  + ƒ  + ⎝⎜ƒ  ƒ ⎠⎟P( , , )T ( )T ( , , ).t T x x P t T xxƒ =ƒУравнение для определения функции P(t, T, x) находится из условия отсутст-вия на финансовом рынке арбитражных возможностей [11, c. 180], которое в рас-сматриваемом случае многофакторной модели сводится к тому, что должен суще-ствовать m-вектор ƒ(t, x), не зависящий от даты погашения облигаций T, такой,чтобы выполнялось равенство ƒP(t, T, x) − y(x)P(t, T, x) = ƒP(t, T, x)Тƒ(t, x). Функцияƒ(t, x) называется рыночной ценой риска. Таким образом, приходим к уравнениюс частными производными для функции P(t, T, x):2T T2( , , ) ( ) ( , , ) 1tr ( ) ( , , ) ( ) ( ) ( , , )2P t T x x P t T x x P t T x x y x P t T xt x x  ⎛  ⎞ + ƒ  + ⎝⎜ƒ  ƒ ⎠⎟− == ƒ(t, x)Т(x)T P(t,T,x).xƒЭто уравнение должно решаться с краевым условием P(T, T, x) = 1 для любых со-стояний x.Тот факт, что марковский процесс X(t) является однородным по времени, при-водит к следующему свойству функции P(t, T, x): она зависит не от t и T в отдель-ности, а только от разности T − t, т. е. не от текущего времени и даты погашения, атолько от оставшегося срока до погашения ƒ = T − t. Так что P(t, T, x) ↔ P(ƒ, x),при этом y(t, x) ↔ y(x), ƒ(t, x) ↔ ƒ(x). В литературе часто предполагают, что век-тор дрейфа ƒ(x) и матрица диффузии ƒ(x)ƒ(x)Т состояний финансового рынкаописываются аффинными функциями, а рыночные цены риска таковы, чтоƒ(x)ƒ(x) - n-вектор с аффинными компонентами,ƒ(x) = K(ƒ − x), ƒ(x)ƒ(x)Т = ƒ +1,ni iix=ƒƒ ƒ(x)ƒ(x) = ƒ +1.niЗдесь K, ƒ и ƒi − (nn)-матрицы; ƒ, ƒ и ƒi − n-векторы, xi − компоненты вектора x.Заметим, что указанные соотношения удовлетворяются приƒ(x) = ƒ ƒ+ƒx , ƒ(x) = ƒ + ƒx ƒ ,где ƒ, ƒ − m-векторы, ƒ − (nm)-матрица, ƒ − (mn)-матрица, а ƒ + ƒx − диаго-нальная (mm)-матрица, по диагонали которой стоят квадратные корни компонентвектора ƒ + ƒx. В этом случае ƒ = ƒ 〈ƒ〉 ƒ Т, ƒ = ƒ 〈ƒ〉 ƒ, а элементы матрицы ƒi и век-тора ƒi определяются равенствами(ƒi)kj =1,mku ju uiu=ƒƒ ƒ ƒ 1 ≤ k, j ≤ n; (ƒi)k =1,mku ui uu=ƒƒ ƒ ƒ 1 ≤ k ≤ n.Такие предположения приводят к аффинной временной структуре процентныхставок доходности. Перепишем уравнение для цены облигации P(t, T, x) в этомслучае:2T T21( , ) ( ) ( , ) 1tr ( , )( ) () (, )2ni iiP x xKP x P x x y x P xx x = ƒ  ƒ ⎛ ƒ ⎞−  ƒ + ƒ −  + ⎜⎝  ƒ + ƒ ⎟⎠− ƒ =ƒ= (ƒ + T1)ni iix=ƒ ƒ ( , ).P xx ƒ(2)Решение этого уравнения может быть представлено в виде P(ƒ, x) = ехр{A(ƒ) −- xТB(ƒ)}, где функции A(ƒ) и B(ƒ) удовлетворяют начальным условиям: A(0) = 0 иB(0) = 0. Заметим, что для цены облигации в таком виде краткосрочная процент-ная ставка (1) приобретает видTT0 0 0 0T( ) lim ln ( , ) lim ( ) ( ) ( ) ( )(0) (0),y x P x x B A x dB dAd dx B Aƒ ƒ ƒ= ƒ=− ƒ ƒ − ƒ ƒ ƒ= = = − =ƒ ƒ ƒ ƒ=  −  (3)т.е. тоже является аффинной функцией вектора x. Штрих обозначает производнуюпо ƒ. Заметим, что состояние финансового рынка обычно характеризуется значе-ниями процентных ставок, иначе говоря, компонентами вектора x являются вели-чины, имеющие смысл процентных ставок. Когда процентные ставки равны нулю,доходность облигации отсутствует, поэтому в выражении (3) следует положитьA(0) = 0. В дальнейшем это предположение будет приниматься во всех случаях.Обозначим B(0) = ƒ. Вектор ƒ можно рассматривать как вектор, составленный извесов, которые приписываются той или иной компоненте вектора состояния x приопределении краткосрочной ставкиy(x) = xТƒ = x1ƒ1 + x2ƒ2 + … + xnƒn; ƒi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ n; ƒ1 + ƒ2 + … + ƒn = 1.Подстановка решения P(ƒ, x) = ехр{A(ƒ) − xТB(ƒ)} в уравнение (2) для P(t, T, x)приводит к обыкновенным дифференциальным уравнениям для функции A(ƒ) икомпонент вектора B(ƒ) = (B1(ƒ), B2(ƒ), …, Bn(ƒ)):A(ƒ) = (ƒ − Kƒ)ТB(ƒ) + B(ƒ)Тƒ B(ƒ)/2, A(0) = 0; (4)Bi(ƒ) = ƒi − B(ƒ)Т(ƒi + Ki) − B(ƒ)ТƒiB(ƒ)/2, Bi(0) = 0. (5)В уравнении для Bi(ƒ) символ Ki обозначает i-й столбец матрицы K, 1 ≤ i ≤ n.Заметим, что как следует из вышеприведенных определений, в рамках аффин-ной структуры ставка доходности и форвардная ставка определяются соотноше-ниямиT y( ,x) xB( ) A( )ƒ − ƒƒ =ƒ, f( ,x) xT dB( ) dA( )d dƒ ƒƒ = −ƒ ƒ; (6)0y( ,x) 1 f(s,x)dsƒƒ =ƒ  , f( ,x) y( ,x) y( ,x) ƒƒ = ƒ +ƒ ƒ. (7)Функции y(ƒ, x) и f(ƒ, x), рассматриваемые как функции от переменной ƒ,обычно называются соответственно кривой доходности и форвардной кривой.Вид и свойства именно этих функций представляют интерес для инвесторов. По-этому в дальнейшем мы будем интересоваться явным аналитическим выражениемэтих функций и определением их свойств. Выясним вначале некоторые общиесвойства.Общим пределом обеих кривых на левом конце, т.е. при ƒ  0, является крат-косрочная процентная ставка доходности y(x). Действительно, так как A(0) = 0 иB(0) = ƒ,y(x) = xТƒ =0 0limy( ,x) limf( ,x).ƒ ƒƒ = ƒДля малых сроков погашения согласно (7) справедливы представления0y( ,x) y(x) y( ,x) o( )ƒ=ƒ = +ƒ⎛⎜⎝ ƒƒ ⎞⎟⎠ + ƒ, f(ƒ, x) =0y(x) 2 y( ,x) o( ).ƒ=+ ƒ⎛⎜⎝ ƒƒ ⎞⎟⎠ + ƒОтсюда видно, что, стартуя из одной точки y(x), кривые y(ƒ, x) и f(ƒ, x) с ростом ƒрасходятся. При этом форвардная кривая изменяется вдвое быстрее.Если кривая доходности имеет экстремум для некоторого срока до погашенияƒ∗, т.е. y( ,x) 0ƒ=ƒ∗ ƒ=цию, т.е. временной интервал, измеренный в определенном масштабе. Таким об-разом, можно ожидать, что компоненты вектора B(ƒ) неотрицательны и ограниче-ны, т.е. для всех k = 1, 2, …, n ожидается, что 0 < Bk(ƒ) < + . Предположим, чтопределы Bk(ƒ) при ƒ  +  существуют и lim ( ) ( ), B B B( ) .ƒƒ =   <  В этих ус-ловиях естественно ожидать, что lim B ( ) 0.ƒ ƒ = В этом случае вектор B() можноопределить из системы уравненийƒi = B()Т(ƒi + Ki) + B()ТƒiB()/2, 1 ≤ i ≤ n.Поэтому имеют место следующие равенства:limB( ) limdB( ) 0,ƒ ƒ dƒ ƒ= =ƒ ƒlimA( ) limdA( )ƒ ƒ dƒ ƒ= =ƒ ƒ(ƒ − Kƒ)ТB() + B()Тƒ B()/2.Из равенств (6) также следует, чтоy(, x) = f(, x) = (Kƒ − ƒ)ТB() − B()Тƒ B()/2.Таким образом, кривая доходности y(ƒ, x) и форвардная кривая f(ƒ, x) совпадаютдля коротких сроков до погашения (при ƒ  0), с увеличением ƒ кривые расходят-ся, но при продолжительных сроках (при ƒ  ) снова стремятся к одному и томуже пределу. Последнее свойство до сих пор не указывалось авторами, а криваядоходности y(ƒ, x) и форвардная кривая f(ƒ, x) обычно изображаются расходящи-мися кривыми. В дальнейшем рассмотрим конкретные модели, обычно рассмат-риваемые в литературе, чтобы при помощи строгого исследования выяснить, оп-равдан ли приведенный умозрительный анализ.2. Модель Васичека и ее обобщение на многомерный случайВ однофакторном случае в качестве состояния рынка принимается кратко-срочная ставка X(t) = r(t) и соответствующее стохастическое уравнение имеет видdr(t) = k(ƒ − r(t))dt + ƒdW(t),где k, ƒ, ƒ − скалярные константы, т.е. K = k, ƒ = ƒ2, ƒ = 0, ƒ = 0, ƒ = ƒƒ.В этом случае также y(r) = r, т.е. B(0) = 1. Уравнения (4) - (5) для определенияфункций A(ƒ) и B(ƒ) превращаются в следующие:A(ƒ) = (ƒƒ − k ƒ) B(ƒ) + ƒ2B(ƒ)2/2, A(0) = 0,B(ƒ) = 1 − k B(ƒ), B(0) = 0. B(ƒ) = (1 − ехр{− kƒ}) / k.Функция B(ƒ) имеет простой вид и является монотонно возрастающей функциейот 0 до 1/k, B() = 1/k. Поскольку B(ƒ) - монотонная функция, определяющаядюрацию процентной ставки, она может быть использована в качестве аргументав кривой доходности y(ƒ, r) и форвардной кривой f (ƒ, r) вместо срока до погаше-ния ƒ.Преимущество такой замены заключается в том, что зависимость на всем ин-тервале времени в виде графика представить невозможно из-за неограниченностиинтервала времени, ƒ  (0, ), в то время как этому неограниченному интервалусоответствует конечный интервал изменения дюрации, B(ƒ)  (0, 1/k). Тогда по-лучим соответствия y(ƒ, r) ↔ Y(B, r), f(ƒ, r) ↔ F(B, r), ƒ = − ln(1− kB)/k. При этомможно ожидать, что свойства функций Y(B, r) и F(B, r) могут оказаться проще. Нарис. 1 сравнение этих двух представлений кривой доходности и форвардной кри-вой иллюстрируется графиками для двухфакторной модели.Аналитические выражения кривой доходности y(ƒ, r) и форвардной кривойf(ƒ, r) как функций времени имеют вид (здесь аналитическое выражение функцииB(ƒ) для краткости записи не выписывается)220( , ) ( ) 1 ( ) ( ) ( )2y r rB k Bs Bs dsƒ⎛ ƒ ⎞ƒ =ƒ ƒ −ƒ ⎜⎝ƒƒ− ƒ + ⎟⎠  ==2 2 2 22 2( ) ( )2 2 4r B Bk k k k k⎛ ƒƒ ƒ ⎞ ⎛ ƒƒ ƒ ⎞ ƒ ƒ ƒ⎜⎝ƒ − − ⎟⎠+ ⎜⎝ − ƒ + + ⎟⎠ ƒ + ƒ22 ( )2yƒ k kƒƒ ƒ ƒ − −   ,y(ƒ, r) =( ) ( ( )) ( ) 2 ( )24y r y B Bkƒ ƒ ƒ + −  +ƒ ƒ,f(ƒ,r) =r(1−kB(ƒ))− (ƒƒ − k ƒ) B(ƒ) − ƒ2B(ƒ)2/222 ( )2yƒ k kƒƒ ƒ ƒ − − =  .В свою очередь, аналитические выражения для функций Y(B, r) и F(B, r) получа-ются такими:Y(B, r) =2 22( ) ( ( )) ( )ln(1 ) 4 ln(1 )y r y kB kBkB k kBƒ − −  −− − 1/( )B ky  ,F(B,r)= r + [k(ƒ − r) − ƒƒ]B − ƒ2B2/21/( )B ky  .Отсюда, в частности, видно, что функция F(B, r) для любых значений параметровмодели является вогнутой. Впервые этот факт был отмечен Брауном и Шейфером[14, c. 566] для однофакторных моделей.В многофакторном случае уравнение для состояния рынка приобретает видdX(t) = K(ƒ − X(t))dt + ƒdW(t).Здесь считается, что матрица коэффициентов диффузии не зависит от состояния,ƒ = 1, ƒ = 0. Поэтому ƒ = ƒƒТ, ƒ = 0, ƒ = 0, ƒ = ƒƒ. При этих значениях параметровфункции A(ƒ) и B(ƒ) определяются из уравненийA(ƒ) = (ƒƒ − Kƒ)ТB(ƒ) + B(ƒ)ТƒƒТB(ƒ)/2, A(0) = 0,B(ƒ) = ƒ − KТB(ƒ), B(0) = 0.Обозначим через U(ƒ) фундаментальную матрицу решений однородного уравне-ния B(ƒ) = − KТB(ƒ). Тогда решение уравнения для функции B(ƒ) записывается ввидеB(ƒ) =0U( s) dsƒ ƒ − ƒМатрицу U(ƒ) можно представить в виде матричного рядаU(ƒ) = e−KTƒ  I + (− KТ) ƒ +2( T)22!Kƒ− … + ( T)!nK nnƒ− + …,где I − единичная матрица. Используя это разложение под интегралом, находимвектор B(ƒ):B(ƒ) = [Iƒ +2( T)2!Kƒ− + … +1( T)( 1)!nK nnƒ +−++ …]ƒ = (K−1)Т(I − e−KTƒ )ƒ.Заметим, что для существования этого решения нужно, чтобы матрица K быланевырожденной и ее собственные числа {ƒj} были положительные. Нетрудно ви-деть, что в этом случае имеет место соотношениеB(ƒ)ƒ B() = (K−1)Тƒ.Кривая доходности y(ƒ, x) и форвардная кривая f(ƒ, x) вычисляются по фор-муламT T T T0( , ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( )2y x x B K B s B s B s dsƒ ƒ = ƒƒ −ƒ⎛⎜⎝ƒƒ− + ƒƒ ⎞⎟⎠  θ , (8)y(ƒ, x) y( )ƒ  = ƒТƒ − (K−1ƒƒ)Тƒ − ƒТ(K−1ƒ)( K−1ƒ)Тƒ/2;f(ƒ,x) =xT(ƒ−KTB(ƒ))−(ƒƒ − Kƒ)ТB(ƒ) − B(ƒ)ТƒƒТB(ƒ)/2, (9)f(ƒ, x) y( )ƒ  .Таким образом, ожидаемые свойства функций A(ƒ) и B(ƒ) в рассматриваемомслучае также подтверждаются. Однако для перехода от временной переменной ƒк дюрации необходимо использовать только одну из компонент вектора B(ƒ). Дляэтого надо иметь больше информации о свойствах B(ƒ), т.е. о виде матрицы K.Для пояснения этого рассмотрим конкретный случай двухфакторной модели.Предположим, что состояние рынка описывается не только краткосрочнойставкой, но также экспоненциально сглаженным ее средним значением [15,c. 398]. Состояние рынка X(t) в этом случае характеризуется двумя компонентами,одной из которых r(t) является наблюдаемая краткосрочная ставка, а другой s(t) -экспоненциально сглаженное ее среднее значение. Уравнения состояния рынкаприобретают вид12(( )) ((( ) (()))) ( ).ddrs tt kkr t rstt dt dW t⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠=⎛⎜⎝ ƒ −− ⎞⎟⎠ +ƒПараметры модели в этом случае задаются соотношениями ƒ = 0, ƒ = 0,K = 12 2k 0k k⎛ ⎞⎜⎝− ⎟⎠, ƒ =⎛ƒ⎞⎜⎝ƒ⎟⎠, ƒ = 1200⎛ƒ ⎞⎜⎝ ƒ ⎟⎠, ƒ = 12⎛ƒ ⎞⎜⎝ƒ ⎟⎠, ƒ = 12⎛ƒ ⎞⎜⎝ƒ ⎟⎠.Уравнения для функций временной структуры A(ƒ) и B(ƒ):A(ƒ) = (ƒ1ƒ1 − k1ƒ)B1(ƒ) + ƒ2ƒ2B2(ƒ) + ƒ12B1(ƒ)2/2 + ƒ22B2(ƒ)2/2, A(0) = 0;B1(ƒ) = ƒ1 − k1B1(ƒ) + k2B2(ƒ), B1(0) = 0;B2(ƒ) = ƒ2 − k2B2(ƒ), B2(0) = 0.Функции B1(ƒ) и B2(ƒ) определяются выражениямиB1(ƒ) = (ƒ1 + ƒ2)111 e kk− − ƒ− ƒ22 11 2ek ekk k− ƒ − − ƒ−, B2(ƒ) = ƒ2221 e kk− − ƒ. (10)Подставляя эти выражения в равенства (8) и (9), получим явные выражения длякривой доходности y(ƒ, x) и форвардной кривой f(ƒ, x). К сожалению, посколькуколичество параметров в рассматриваемом примере двухфакторной модели дос-таточно большое, выражения для функций y(ƒ, x) и f(ƒ, x) будут громоздкими. Дляполучения компактных выражений введем вспомогательные обозначения:u = 21 1 21 ,k k kƒ−−v = 21 2,k kƒ−w = 22;kƒ1 110 1I( )1(1 ek t )dt 1 1(1 e k ),kƒƒ = − − = − − − ƒƒ ƒ 2 220 2I( )1(1 ek t )dt 1 1(1 e k ),kƒƒ = − − = − − − ƒƒ ƒ12 1 2 130 1 1( )1(1 ) 1 2(1 ) 1 (1 ),2I ek t dt e k e kk kƒƒ = − − = − − − ƒ + − − ƒƒ ƒ ƒ22 2 2 240 2 2( )1(1 ) 1 2(1 ) 1 (1 ),2I ek t dt e k e kk kƒƒ = − − = − − − ƒ + − − ƒƒ ƒ ƒ1 2 1 2 (1 2)50 1 2 1 2( )1(1 )(1 ) 11(1 ) 1 (1 ) 1 (1 ).( )I ek t e k t dt e k e k e k kk k k kƒƒ = − − − − = − − − ƒ − − − ƒ + − − + ƒƒ ƒ ƒ + ƒОтметим, что функции Ii(ƒ), 1 ≤ i ≤ 5, являются монотонно возрастающими от 0 до1 с увеличением ƒ от 0 до . Напомним, что в рассматриваемом случае xТ = (r, s).Использование принятых обозначений приводит к выражению, удобному для рас-чета кривой доходностиy(ƒ, x) = ruk1(1 − I1(ƒ)) + (rv + sw)k2(1 − I2(ƒ)) + (ƒk1 − ƒ1ƒ1)uI1(ƒ) ++ [(ƒk1 − ƒ1ƒ1)v − ƒ2ƒ2w]I2(ƒ) − (ƒ1u)2I3(ƒ)/2 − (ƒ12v2 + ƒ22w2)I4(ƒ)/2 − ƒ12uvI5(ƒ).Расчет форвардной кривой удобно выполнять по формуле (9) с применениемформул (10).ЗаключениеДля многофакторных моделей аффинной доходности найдены аналитическиепредставления кривых доходности и форвардных кривых и предложено в качест-ве временной переменной использовать дюрацию безрисковой ставки. Посколькудюрация принимает значения только на конечном интервале, это позволяет на-блюдать поведение кривых на всем интервале изменения реального времени.

Скачать электронную версию публикации