Investigation of queueing network with unreliable systems at transient regime.pdf Сети МО с ненадежными системами обслуживания описаны в [1], там же при-ведены формулы для их стационарных вероятностей состояний. В данной работепроводится исследование таких сетей в переходном режиме, находятся зависящиеот времени характеристики.Рассмотрим открытую экспоненциальную сеть МО с однотипными заявками,состоящую из n СМО 1 2 , , ,n S S … S . В сеть поступает простейший поток заявок извнешней среды (система S0 ) с интенсивностью ƒ (t ) . Система Si состоит из miидентичных линий обслуживания, время обслуживания заявок в каждой из кото-рых распределено по экспоненциальному закону с параметром ƒi (t ) , i= 1,n.Будем считать, что линии обслуживания системы S0 абсолютно надежны, а вдругих системах 1 2 , , ,n S S … S линии обслуживания подвергаются случайным по-ломкам, причем время исправной работы каждой линии системы Si имеет показа-тельную функцию распределения (ф.р.) с параметром ƒi (t ) , i= 1,n. После по-ломки линия немедленно начинает восстанавливаться и время восстановлениятакже имеет показательную ф. р. с параметром ƒi (t ) , i= 1,n. Допустим, что вре-мена обслуживания заявок в линиях, длительности исправной работы линий ивремена восстановления линий обслуживания являются независимыми случай-ными величинами. Под состоянием сети будем понимать векторZ (t)=(z,t)=(d,k,t)=(d1,d2,…,dn,k1,k2,…,kn,t) ,где di − количество исправных линий обслуживания в системе Si , 0≤di≤mi,ki − число заявок в системе Si в момент времени t , t[0,+) , i= 1,n. Обозна-чим через p0 j − вероятность поступления заявки из системы S0 в систему S j ,ƒ = ; pij − вероятность перехода заявки в СМО S j после ее обслуживания вСМО Si ,01nijjp=ƒ = , i= 1,n, ( ) {1, 00, 0u x xx>=≤ - функция Хэвисайда. Матрицаij (n1) (n1) P p +  += является матрицей вероятностей переходов неприводимой мар-ковской цепи. Будем также предполагать, что если во время обслуживания неко-торой заявки линия обслуживания вышла из строя, то после окончания восстанов-ления линии прерванная заявка дообслуживается. На обслуживание заявки выби-раются в соответствии с дисциплиной FIFO.Таким образом, рассматривается случай, когда параметры входящего потоказаявок, обслуживания, длительности исправной работы и длительности восста-новления линий обслуживания зависят от времени. То есть на интервале времени[t,t + ƒt) в сеть поступает заявка с вероятностью ƒ(t)ƒt+o(ƒt) ; если в моментвремени t на обслуживании в линии i-й СМО находится заявка, то на интервале[t,t + ƒt) ее обслуживание закончится с вероятностью ƒi (t)ƒt+o(ƒt) , i= 1,n;кроме того, на интервале времени [t,t + ƒt) линия обслуживания i-й СМО с веро-ятностью ƒi (t)ƒt+o(ƒt) может выйти из строя либо восстановиться с вероятно-стью ƒi (t)ƒt+o(ƒt) , i= 1,n.1. Система уравнений для вероятностей состояний сетиЛемма. Вероятности c[di(t) t > 0 , i= 1,n. Тогда система (1) принимает вид( ) ( ) [( ( ) ( ) ( )) ( ) ] ( )1, ,, ,ni i i i i iidP d k tt t t t d t m P d k tdt =⎡ ⎤= −⎢ƒ + ƒ + ƒ − ƒ + ƒ ⎥ +⎣ ⎦ƒ( ) 0( ) ( ) 0( )1 1, , , ,n ni i i i i ii it p Pdk I t tdp Pdk I t= =+ƒ ƒ − +ƒƒ + +( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ), 1 1, , 1 , ,n ni i ij i j i i i ii j it d p P d k I I t t m d u di P d I k t= =+ƒƒ + − +ƒƒ − + − +( )( ) ( )11 ,,ni i iit d P d I k t=+ƒƒ + + , (3)количество уравнений в которой счетно в случае открытой сети и конечно в слу-чае замкнутой.Теорема 1. Производящая функция ƒ2n (z,t) удовлетворяет дифференциаль-ному уравнению (ДУ) в частных производных:2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 21 1,1 1 ,n nni n i i i i ni iz tt pz tm z ztt += =ƒ ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ = −⎢⎣ƒ ⎝⎜ − ⎠⎟+ ƒ − ⎦⎥ƒ −ƒ ƒ( ( ) ( )) ( ) 0 ( ) 2 ( )1n ,i i ni i i ii n i i ip t ztt t z t= z+ z z⎡ ƒ ⎤ƒ− ⎢⎣ƒ + ƒ − ƒ − ⎥⎦  +ƒ( ) 2 ( ), 1n ,n j ni iji j n i iz z tt pz z+= +ƒ+ ƒ ƒ . (4)Доказательство. Умножим каждое из уравнений системы (3) на1l lnd kl llz z= ƒипросуммируем по всем возможным значениям dl от 0 до ml и по kl от 1 до + ,l= 1,n. Здесь суммирование по всем kl берется от 1, так как все слагаемые в (2),для которых в состоянии сети Z (t ) встречаются компоненты kl = 0 , в силу пред-положения о функционировании в режиме высокой нагрузки равны нулю, по-скольку, например, P(d,k1,,kl−1,0,kl+1,,kn,t)=0, l= 2,n. Тогда получим1 ( )10 011 1 1n , ,l ln nm m nd kl n ld d k k ldP d k tz zdt += = = = =ƒ…ƒ ƒ…ƒ ƒ =( ) [( ( ) ( ) ( )) ( ) ]1ni i i i i iit t t t d t m=⎡ ⎤= − ⎢ƒ + ƒ + ƒ − ƒ + ƒ ⎥ ⎣ ⎦ƒ( ) 110 011 1 1, ,nl ln nm m nd kl n ld d k k lP d k t z z += = = = =ƒ…ƒ ƒ…ƒ ƒ +( ) ( ) ( ) 11 101 0 0 1 1 1, ,nl ln nn m m nd ki i i l n li d d k k lt puk Pdk I t z z += = = = = =+ƒ ƒ ƒ…ƒƒ…ƒ − ƒ +( ) ( ) 11 101 0 0 1 1 1, ,nl ln nn m m nd ki i i i l n li d d k k lt d p P d k I t z z += = = = = =+ƒƒ ƒ…ƒƒ…ƒ + ƒ +( ) ( ) ( ) 1, 1 10 011 1 1, ,nl ln nn m m nd ki i ij j i j l n li j d d k k lt d p u k P d k I I t z z += = = = = =+ƒƒ ƒ…ƒ ƒ…ƒ + − ƒ +( )( ) ( ) ( ) 11 10 011 1 11 ,,nl ln nn m m nd ki i i i l n li d dik k lt m d u d P d I k t z z += = = = = =+ƒƒ − + ƒ…ƒ ƒ…ƒ − ƒ +( )( ) ( ) ( ) 11 10 011 1 11 ,,nl ln nn m m nd ki i i l n li d dikik lt d u m d P d I k t z z += = = = = =+ƒƒ + − ƒ…ƒ ƒ…ƒ + ƒ . (5)Рассмотрим суммы, входящие в соотношение (5). Пусть( ) ( ) ( ) [( ( ) ( )) ( ) ] 11,ni i i i i iiz t t t t t d t m=⎡ ⎤= − ⎢ƒ + ƒ + ƒ − ƒ + ƒ ⎥ ⎣ ⎦ƒ ƒ( ) 110 011 1 1, ,nl ln nm m nd kl n ld d k k lP d k t z z += = = = =ƒ…ƒ ƒ…ƒ ƒ .Тогда( ) ( ) ( ) ( ) 11 111 0 0 1 1 1, ,,nl ln nn m m nd ki i l n li d d k k lz t t t m P d k t z z += = = = = =⎡ ⎤= −⎢ƒ + ƒ ⎥ −⎣ ⎦ƒ ƒ ƒ…ƒ ƒ…ƒ ƒ( ( ) ( ) ( )) ( ) 11 10 011 1 1, ,nl ln nn m m nd ki i i i l n li d d k k lt t t d Pdkt z z += = = = = =−ƒƒ +ƒ −ƒ ƒ…ƒ ƒ…ƒ ƒ =( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )) 2 ( )21 1,,n nni i n i i i ii i iz tt tm zt t t tzz = =⎡ ⎤ ƒ= −⎢⎣ƒ + ƒ ⎥⎦ƒ − ƒ + ƒ − ƒ ƒ ƒ .Для суммы( ) ( ) ( ) ( ) 11 12 01 0 0 1 1 1, ,,nl ln nn m m nd ki i i l n li d d k k lz t t p u k P d k I t z z += = = = = =ƒ = ƒ ƒ ƒ…ƒƒ…ƒ − ƒимеем( ) ( ) ( ) 1112 01 0 0 1 11, ,, ,,l lnn j ind kn m m l n lli n i ii d d k k n ij n j iz zz t t p z P d k I tz  +=+= = = = = += = ƒ − =ƒƒ ƒ ƒ…ƒ ƒ ƒ( ) ( ) ( ) ( ) 110 0 21 0 0 1 1 11,, , ,nl ln jn m m n nd ki n i l n l i n i ni d d k l ij nt p z Pdkt z z t p z zt+ + += = = = = === ƒ ƒ ƒ…ƒ ƒ ƒ = ƒ ƒ ƒ .Сумма( ) ( ) ( ) 11 13 01 0 0 1 1 1, , ,nl ln nn m m nd ki i i l n li d lid k kz t t d p P d k I t z z += = = = = =ƒ =ƒƒ ƒ…ƒƒ…ƒ + ƒимеет вид( ) ( ) ( ) 11 1031 0 0 1 1 1, ,,nl ln nn m m ni d kii i l n l n ii n id d k k lpz t t d P d k I t z z zz + += + = = = = =ƒ =ƒƒ ƒ…ƒƒ…ƒ + ƒ =( ) ( ) 11 101 0 0 1 1 1, ,nl ln nn m m ni d ki i l n li n id d k k lpt dP d k t z zz += + = = = = ==ƒƒ ƒ…ƒƒ…ƒ ƒ −( ) ( ) 110 11 1 11 0 0 11, ,, , , ,0, , , ,l lnin jnd kn m m l n li li i i i n ki n id d k n ij n j iz zpt dP d k k k k tz z +=− += + = = = += − ƒ   == ƒ − ƒ( ) ( ) 110 11 1 11 0 0 11, ,, , , ,0, , , ,l lnin jnd kn m m l n li li i i i n ki n id d k n ij n j iz zpt dP d k k k k tz z +=− += + = = = += − ƒ   =ƒƒ ƒ…ƒ ƒ( ) 0 2 ( )1n ,i nii n i ip z tt= z+ zƒ= ƒ ƒ .Сумма( ) ( ) ( ) ( ) 11 14, 1 0 0 1 1 1, , ,nl ln nn m m nd ki i ij j i j l n li j d d k k lz t t d p u k P d k I I t z z += = = = = =ƒ =ƒƒ ƒ…ƒƒ…ƒ + − ƒ :( ) ( ) ( ) 11 14, 1 0 0 1 1 1, , ,nnl lnn m m nn j d k n ii i ij i j l n li j n i d d k k l n jz zz t t d p P d k I I t z zz z + ++= += = = = = +ƒ =ƒƒ ƒ…ƒƒ…ƒ + − ƒ ⋅ =( ) 2 ( ) ( ), 1 , 1n , nn j n n ji ij i iji j n i i i j n iz z t zt p t pz z z+ += + = +ƒ= ƒ − ƒ  ƒ ƒ( ) 111 1 10 0 1 11, ,, , , ,0, , , ,nl ln jm m nd k n ii i i n l n ld d k l n jj n j izd P d k k k k t z zz+− + += = = = += ƒ…ƒ ƒ   ƒ ⋅ =( ) 2 ( ), 1n ,n j ni iji j n i iz z tt pz z+= +ƒ= ƒ ƒ .Для суммы( ) ( )( ) ( ) ( ) 11 151 0 0 1 1 1, 1 , ,nl ln nn m m nd ki i i i l n li did k k lz t t m d u d P d I k t z z += = = = = =ƒ =ƒƒ − + ƒ…ƒƒ…ƒ − ƒсправедливо соотношение( ) 5 ƒ z,t =( ) ( ) ( )( ) ( ) 11 1 10 011 1 11 ,,nl ln nn n m m nd ki i i i l n li i d likid kt m t u d d P d I k t z z += = = = = = =⎡ ⎤=⎢ ƒ − ƒ −⎥ − =⎣ ⎦ƒ ƒ ƒ…ƒƒ…ƒ ƒ( )( ( )( )) ( ) 11 111 0 0 1 11 ,,l lnn nnd kn m m l n lli i i i ii d d k iikz zt m u d d z P d I k tz  +== = = = =⎡ ⎤=⎢ ƒ − − ⎥ − =⎣ ⎦ƒƒ ƒ…ƒ ƒ…ƒ( )( ) ( )111 0 0 1 1 11,, ,j il lj i nn m m nd ki i i l n li d d k k lj jin it m d z P d k t z z−  += = = = = == ⎡ ⎤=⎢ ƒ − ⎥ =⎣ ⎦ƒ ƒ ƒ ƒ… ƒ ƒ=⎢ ƒ − ⎥ −⎣ ⎦ƒ ƒ…ƒ ƒ…ƒ ƒ( )( ) ( )1 01 1 11111,, , , , , , ,,jl lj nn m nd ki i i l n li di ik k li i i nj n j it m m z P d dm d d k t zz += =+== = =−⎡ ⎤−⎢ ƒ − ⎥ =⎣⎦ƒ ƒ ƒ… ƒ  ƒ( ) ( ) ( ) 2 ( )21 1,,n nni ii n i ii i iz tt m z z t t z= = zƒ= ƒ ƒ − ƒ ƒ ƒ .И, наконец, для последней суммы( ) ( )( ) ( ) 11 161 0 0 1 1 1, 1 , ,nl ln nn m m nd ki i i l n li d d k k lz t t d P d I k t z z += = = = = =ƒ =ƒƒ + ƒ…ƒƒ…ƒ + ƒбудем иметь( ) ( ) ( ) ( ) 11 161 0 0 1 1 1, 1 , ,nl ln nn m m ni d ki i l n l ii i d d k k ltz t d P d I k t z z zz += = = = = =ƒƒ =ƒ ƒ…ƒƒ…ƒ + + ƒ =( ) ( )1 0 1 1 1 1 11, ,, ,j il lj i nn m m ni d ki l n lii i d d k k lj n j itd P d k t z z zz += = = = = == ƒ=ƒ ƒ ƒƒ…ƒ ƒ =( ) 1 ( ) ( ) ( )1 121 0 0 1 1 1 1,, ,nl ln nn m m n ni d k i ni l n liid d k k l ii it t z td P d k t z zz z z += = = = = = =ƒ ƒ ƒ=  = ƒ ƒ ƒ ƒ…ƒ ƒ ƒ .Таким образом, учитывая вид производящей функции (2), получаем уравнениев частных производных первого порядка (4). Теорема доказана.Далее рассмотрим случай, когдаmi = 1 , ki (t) > 0 t , i= 1,n. (6)При этом число исправных линий обслуживания в системе Si может быть равным0 или 1. Если состоянием сети (d,k,t) является (d1,,di−1,0,di+1,,dn,k,t), тосправедлива система уравнений( ) ( ) [ ( ) ( ) ( )] ( )1, ,, ,ni i iidP d k tt t t t P d k tdt =⎡ ⎤= −⎢ƒ + ƒ + ƒ + ƒ ⎥ +⎣ ⎦ƒ( ) 0( ) ( )0( )1 1, , , ,n ni i i i ii it p Pdk I t tp Pdk I t= =+ƒ ƒ − +ƒƒ + +( ) ( ) ( ) ( ), 111, , 1, , ,1, , , , ,nini ij i j i ii ni j it p P d k I I t t P d d− d+ d kt= =+ƒƒ + − +ƒƒ   ,а если (d1,,di−1,1,di+1,,dn,k,t), то( ) ( ) [ ( ) ( ) ( )] ( )1, ,, ,ni i iidP d k tt t t t P d k tdt =⎡ ⎤= −⎢ƒ + ƒ + ƒ + ƒ ⎥ +⎣ ⎦ƒ+ƒ ƒ − +ƒƒ + +( ) ( ) ( ) ( ), 1 1, , 1, , 1,0, , , ,,n ni ij i j ii j it p P d k I I t t P d di dii dnk t= =+ƒƒ + − +ƒƒ  − + .Их можно объединить в одну систему( ) ( ) [ ( ) ( ) ( )] ( )1, ,, ,ni i iidP d k tt t t t P d k tdt =⎡ ⎤= −⎢ƒ + ƒ + ƒ + ƒ ⎥ +⎣ ⎦ƒ( ) 0( ) ( )0( )1 1, , , ,n ni i i i ii it p Pdk I t tp Pdk I t= =+ƒ ƒ − +ƒƒ + +( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 ), 1 1, , i , , , 0, , , ,,n ni ij i j i i ii ni j it p P d k I I t t u d P d d d d k t= =+ƒƒ + − +ƒƒ  − +  +( )( ( )) (1 )1i 1 i , ,i 1,1, i i, ,n , ,nit ud Pd d− d+ d kt=+ƒƒ −   . (7)Пустьƒ(t)= ƒ(t)dt, ƒi(t)=ƒi(t)dt,ƒi(t)=ƒi(t)dt, Gi(t) =  ƒi(t)dt. (8)Из последней теоремы вытекает следующее утверждение.Теорема 2. Если в начальный момент времени сеть МО находится в состоянии(ƒ1,ƒ2,,ƒ2n,0), ƒi ≥ 0 , ƒn+i >0 , i= 1,n, то производящая функция (2) имеетвид( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) 02 0 01 1, exp 0 exp 0n nin in i i ii i n ipz t a t t p z tz += = +⎧ ⎫ ⎧ ⎫ƒ = ⎨ƒ −ƒ ⎬ ⎨ ƒ −ƒ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭ƒ ƒ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))( ( )), 1 1exp 0 exp G G 0 1n nn ji i ij i i i ii j n i izt p t u d zz+= + = ⎧⎪⎨ ƒ − ƒ ⎫⎪⎬ ⎨⎧ − − ⎬⎫⎪⎩ ⎪⎭ ⎩ ⎭ƒ ƒ ( ( ) ( )) ( )21 1exp 0 1 ln ni i i li i lt ud z= z =⎧ ⎫ ƒ⎨ ƒ −ƒ ⎬⎩ ⎭ ƒ ƒ , (9)где ( ) ( ( ) ( )) a0 t exp t 0 ⎧ = − ƒ −ƒ − ⎨⎩[( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))]10 0 G G 0ni i i i i iit t t=⎫− ƒ −ƒ + ƒ −ƒ + − ⎬⎭ƒ . (10)Преобразуем (9) к виду, удобному для нахождения вероятностей состояний се-ти, разложив входящие в него экспоненты в ряд Маклорена. Тогда будет справед-ливо следующее утверждение:Теорема 3. Выражение для производящей функции (9) можно представить ввиде( ) ( ) ( ( ) ( )) 11 1 1 1 12 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0, 0niin n n n nlng g q q l l r r h hz t a t t =         = = = = = = = = = =ƒƒ = ƒ…ƒ ƒ…ƒ ƒ…ƒ ƒ…ƒ ƒ…ƒ ƒ −ƒ [ ( ) ( )] [( ( ) ( ))( ( ))]0 011 ! !0 G G0 1! ! !ii ii i in hl rn i i ijj r h qi i i ii i i i iiip p pt t u dl r h q g= +=⎡ ⎛ ⎞⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎝ ⎠  ƒ − ƒ − −  ⎢⎣ƒƒ[( ( ) (0)) ( )]gi i qi gi n i li ri hi Hi t i udi ziƒ + − znƒ i+ + − − ++⎤⎥⎥ ƒ −ƒ ⎦, (11)где1niiH h== ƒ .Пример 1. Рассмотрим модель БЛС, изображенную на рис. 1. Системы1 2 1 , , ,n S S … S − соответствуют терминалам (периферийным компьютерам), системаSn − локальному серверу. Напомним, что БЛС часто функционируют в условияхвысокой нагрузки [2]. Запросы (пакеты, заявки) могут поступать на сервер нетолько из терминалов, но и из внешней среды через базовую станцию.Рис.1. Модель локальной сетиВыражение (11) в этом случае принимает вид( ) ( ) ( ( ) ( )) 11 1 1 1 12 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0, 0niin n n n nlng g q q l l r r h hz t a t t =         = = = = = = = = = =ƒƒ = ƒ…ƒ ƒ…ƒ ƒ…ƒ ƒ…ƒ ƒ…ƒƒ− ƒ [ ( ) ( )] [( ( ) ( ))( ( ))]10 01 10 G G0 1! ! ! ! !i ij n i i iii in h h n li ir r h qjn nj i i i ij i i i ip pp p t t u dl r h q g−+= =⎡ƒ −ƒ − ⎢⎢⎣ƒ ƒ − [( ( ) (0)) ( )]gi i qi gi n i li ri hi Hi t i udi ziƒ + − znƒ i+ + − − ++⎤ƒ −  ƒ ⎥⎥⎦. (12)Пусть, например,ƒ(t)=ƒcos(at+ƒ)+b , ƒi(t)=ƒisin (ait+ƒi )+ci ,ƒi(t)=ƒisin (ƒit+ƒi )+ƒi , ƒi(t) = ƒicos(ƒit+ ƒi ) + ei , i = 1, 2 ,тогда( ) sin(at )t btaƒ +ƒƒ = + , (0) sinaƒƒ =ƒ,( ) cos( i i)i i iia tt cta+ ƒƒ =−ƒ + , ( ) cos0iii i aƒƒ= −ƒ ,( ) cos( i i)i i iitt tƒ + ƒƒ =−ƒ +ƒƒ, ( ) cos0iii iƒƒ =−ƒƒ,( ) cos( )G i ii i iitt etƒ + ƒ= −ƒ +ƒ, ( ) cosG 0 ii ii= −ƒƒƒ, i= 1,n,( ) ( )0exp sin sinata t bta a= ⎧⎨−⎛⎜ +ƒ +ƒ −ƒ ⎞⎟−⎝ ⎠ƒ⎩( )1cos cos ini ii i ii i ia tc t= a a⎡⎛ + ƒ ƒ⎞− ⎢⎜ −ƒ +ƒ ⎟+⎣⎝ ⎠ƒcos( i i) cos cos( i i) cosi i i i i ii i ii iit te t t⎛ ƒ + ƒ ⎞ ⎛ ƒ + ƒ ⎞⎤⎫+⎝⎜ −ƒ ƒ +ƒ ƒ ⎟+⎜⎝ƒ −ƒ ƒ +ƒ ƒ ⎟⎠⎦⎥⎬ƒ⎠ƒ⎭.Из (12) получаемƒ2n (z,t)=a0 (t)( ) 110 010 010 010 010 0sin sinniin n n n nlg g q q l l r r h hatbta a=         = = = = = = = = = =ƒ ⎛⎜ +ƒ +ƒ −ƒ ⎞⎟ ⎝ ⎠ƒƒ…ƒ ƒ…ƒ ƒ…ƒ ƒ…ƒ ƒ…ƒ1 ( )0 01 1cos cos! ! ! ! !i i i ij nn h h n li ir i i r hjn nj i i ii i i iij i i i ip p a t cp p ctl r h q g a a− += =⎡ ⎡ + ⎤ ⎢ ⎢ −ƒ + ƒ ⎥ ⎢ƒ⎣ ⎣ ⎦ƒ ƒcos( ) cos ( ( ))1qii ii i iiiiite t u d⎡⎛ ƒ + ƒ ƒ⎞ ⎤⎢⎣⎜⎝ −ƒ ƒ +ƒ ƒ ⎟⎠ − ⎦⎥ cos( ) cos ( ) ii i i n i i i igi q g l rii i h Hi i i i nii itt ud zƒ + − zƒ + + − − ++⎡⎛ ƒ + ƒ ⎞ ⎤ ⎤⎢⎣⎝⎜ƒ −ƒ ƒ +ƒ ƒ ⎠⎟ ⎥ ⎥ƒ⎦ ⎥⎦.Вероятность состояния P(d1,dn,k1,,kn,t) является коэффициентом при1 11d· · dn 1k· · 2knz znzn+ zn в разложении функции ƒ2n (z,t) в многократный ряд(12), при условии, что в начальный момент времени сеть находится в состоянии(ƒ1,ƒ2,,ƒ2n,0).Положим, что n = 4 , ƒ = 15 , a = 1 , ƒ = 0.5 , b = 2 , ƒ1= ƒ3= 5 , ƒ2= ƒ4= 3 ,a1 = 1 , a2 = 5 , a3=a4= 2 , ƒ1 = 5 , ƒ2= ƒ3= ƒ4= 0.5 , c1=c2=c3=c4=8 ,1 3.5 ƒ = , 2 0.9 ƒ = , 3 4 0.4 ƒ = ƒ = , 1 2 3 4 1 ƒ = ƒ = ƒ = ƒ = , ƒ1= ƒ2= ƒ3= ƒ4= 1 ,ƒ1= ƒ2= ƒ3= ƒ4= 0 , ƒ1 = 4 , ƒ2= ƒ3= ƒ4= 1 , ƒ1= ƒ2= ƒ3= ƒ4= 2 ,1 2 3 4 1 ƒ = ƒ = ƒ = ƒ = , e1=e2=e3=e4=0.5 , p0i =1 4, i = 1, 4 , pi0 = 2 5, i = 1,3 ,p40 =1 2 , p4i =1 6, i = 1,3 , pi4 = 3 5, i = 1,3 , pii = 0 , i = 0, 4 . На рис. 2 изобра-жен график вероятности состояния P(1,0, 0, 0, 2, 4,3,3,t) при условии, что в на-чальный момент времени сеть находилась в состоянии (1,1,1,1, 4,5,5, 4).Рис. 2. График вероятности состояния P(1,0,0,0,2,4,3,3,t)3. Нахождение средних характеристикМатематическое ожидание с-й компоненты многомерной случайной величиныможно найти, продифференцировав выражение для производящей функции по zcи положив zi = 1, i= 1, 2n. Тогда среднее число исправных линий в системе Scможет быть найдено по формуле( ) ( )( )21,1, ,1n ,cc zz td tz =ƒ= = …( ) ( )1 1 1 1 100 n0 0 n0 0 n0 0 n0 0 n0c c cg g q q l l r r h ha t a q g         = = = = = = = = = == ƒ…ƒ ƒ…ƒ ƒ…ƒ ƒ…ƒ ƒ…ƒ +− ( ( ) ( )) [ ( ) ( )] 10 0110 0! ! ! ! !ii ini i iin hl rn i i ijl j r hi ii i i ip p pt tl r h q g == +=ƒ⎡ ⎛ ⎞⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎝ ⎠  ƒ − ƒ ƒ −ƒ  ⎢⎣ƒƒ[(G( ) G(0))(1 ( ))]qi[( ( ) (0)) ( )]giit i uai qi gi i t i u ai qi gi⎤⎥ − − + − ƒ −ƒ + −⎦, c= 1,n,а среднее число заявок в системе Sc имеет вид( ) ( )( )21,1, ,1n ,cn c zz tN tz + =ƒ= = …( ) ( )1 1 1 1 100 n0 0 n0 0 n0 0 n0 0 n0n c c c cg g q q l l r r h ha t a l r h H         += = = = = = = = = == ƒ…ƒ ƒ…ƒ ƒ…ƒ ƒ…ƒ ƒ…ƒ +− − + ( ( ) ( )) [ ( ) ( )] 10 0110 0! ! ! ! !ii ini i iin hl rn i i ijl j r hi ii i i ip p pt tl r h q g == +=ƒ⎡ ⎛ ⎞⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎝ ⎠  ƒ − ƒ ƒ −ƒ  ⎢⎣ƒƒ[(G( ) G(0))(1 ( ))]qi[( ( ) (0)) ( )]giit i uai qi gi i t i u ai qi gi⎤⎥ − − + − ƒ −ƒ + −⎦,c= 1,n. (13)Сделав в выражении (13) замену переменных kc= ƒn+c+lc− rc− hc+ H , т.е.lc=kc−ƒn+c+rc+hc−H, с учетом того, что системы сети функционируют в ус-ловиях высокой нагрузки, получим( ) ( )1 1 21 1 1 1 11 100 0 0 0 0 0 0 0 0 0n n nn n n n nh H h Hc cg g q q k k h h r rN t a t k        ƒ + − + − ƒ − + −= = = = = = = = = == ƒ…ƒ ƒ…ƒ ƒ…ƒ ƒ…ƒ ƒ … ƒ(( ( ) ( )) )( )[ ( ) ( )]0 01100! ! ! ! !ii n i i i ii in hk rhH rn i i ijj r hi ii i ni i i i it p p ptk r h Hrhqg−ƒ + + + −= += +⎡ ⎛ ⎞⎢⎢⎢ ƒ −ƒ ⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠ƒ − ƒ ⎣ − ƒ + + −ƒƒ[(G( ) G(0))(1 ( ))]qi[( ( ) (0)) ( )]giit i uai qi gi i t i u ai qi gi⎤⎥ − − + − ƒ −ƒ + −⎦.ЗаключениеВ работе проведено исследование в переходном режиме и условиях высокойнагрузки сети произвольной структуры с ненадежными СМО. Такие сети могутслужить моделями функционирования БЛС. Полученная система дифференци-альных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний системы (1) с нели-нейными коэффициентами заменяется системой (3) с линейными коэффициента-ми, которая решается с помощью метода производящих функций. Данная заменаявляется приближенным методом исследования системы (1) в условиях высокойнагрузки. Получены выражения, позволяющие определить вероятности состоянийтакой сети, а также среднее число исправных линий обслуживания и среднее чис-ло заявок в системах сети в произвольный момент времени.

Скачать электронную версию публикации