Locally optimal inventorycontrol with time delays in deliveries and transport restrictions.pdf В работах [1−3] рассмотрены задачи синтеза систем управления с учетом за-паздываний по управлению для дискретных объектов. В [1] рассматривается ме-тод решения задачи для дискретной системы на основе преобразования модели сзапаздываниями к расширенной модели без запаздываний, что в некоторых слу-чаях приводит к значительному увеличению размерности задачи и тем самым кдополнительным вычислительным затратам. В [2, 3] задачи управления запасамипредлагается решать без расширения пространства состояний. В [2] рассматрива-ется метод синтеза прогнозирующего управления запасами для эшелонной струк-туры, обеспечивающего желаемый уровень количества товаров на складах без до-полнительных ограничений.В настоящей работе обобщается подход [3] на случай многих запаздываний.С использованием модифицированного локального критерия решена задачауправления запасами и выполнено моделирование для двух структур расположе-ния складов (эшелонной структуры [2] и структуры, состоящей из оптового и роз-ничных складов [4]). Синтез системы управления осуществляется без расширенияпространства состояний. Дополнительно вводится критерий суммарных издержек,оптимизация которого проводится на скользящем интервале, и учитываются ог-раничения на грузоподъемность транспортных средств.1. Постановка задачиПусть модель совокупности связанных складов описывается уравнением01( 1) ( ) ( ) ( ), (0) , ( ) ( ), , 1, , 1,nj j n njx k Ax k B u k h Fs k x x u h h=+ = + − + = τ =ϕτ τ=− Σ − + − … (1)где ( ) , ( ) , n n x k∈R u k∈R ( ( ) jx k - количество товара на j-м складе в момент вре-мени k, j =1,n ; ( ) ju k - объем поставок на j-й склад; jh - величины запаздыва-ний, 1 1 0 n nh h h− ≥ ≥ ≥ ≥ … ); ( ) r sk R ∈ - вектор спроса (размерность вектора зависитот структуры системы складов). Предполагается, что s(k) - случайный вектор иего реализация известна на промежутке [0, k], где k - текущее время. я. , j, ,A B F H -заданные матрицы соответствующей размерности, которые определяются харак-теристиками и структурой системы складов.Суммарные издержки на хранение запасов на складах будем определять с по-мощью следующего критерия, который вычисляется на скользящем интервале:1( ) ( ),n kj jj t k ТKk Vx t= = −=Σ Σ (2)где Vj - затраты на хранение единицы товара на j-м складе в единицу времени,Т - длина скользящего интервала оптимизации.Поставки на j-й склад осуществляются транспортными средствами с грузо-подъемностями max, jG . Предполагается, что вес единицы товара задан и равен Р.Требуется осуществить синтез системы управления запасами по управлениютак, чтобы были минимальны издержки на хранение (2) и при этом обеспечива-лась загруженность транспортных средств с коэффициентом использования гру-зоподъемности не менее заданного значения ГК . Будем также предполагать, чтодля каждого склада определен страховой запас st, jX .2. Введение вспомогательного критерияи учет транспортных ограниченийРешение задачи предлагается осуществлять с использованием предваритель-ной оптимизации вспомогательного локального критерия вида01( ) ( ( 1) ( )) ( ( 1) ( )) ( ) ( )/nT T kj j jjI k M x k z k C x k z k u k h D u k h X=⎧⎪ ⎪⎫=⎨+ − + − + − −⎬⎪⎩ ⎪⎭Σ , (3)где 0, 0 jC≥ D≥ - весовые матрицы, { } 0 (0), (1), , ( ) , k X = x x xk… z(k) - заданныйотслеживаемый вектор.Критерий (3) отличается от классического критерия [1, 5] тем, что в него вхо-дит сумма квадратичных форм от управляющих воздействий с запаздываниями.Критерий (3) оптимизируется с целью нахождения объемов поставок, зависящихот параметра z(k), по которому в дальнейшем будет осуществляться оптимизациякритерия (2).Вычислим значение критерия (3):1 1 1,1() tr( )( ) ( ) tr ( () ( )( ) ( )) ( ) tr( ( ) ( ) ( )) ( ).n n nT T Tj j j j j j i ij j i i jnT T T T Tj j jjI k B CB D u k h u k h B C Ax k Bu k hf k z k u k h x k A f k z k CB u k h= = = ≠== + − − + + − ++ − − + − − −Σ Σ ΣΣОптимальное управление определим из условий( )0, 1, .( )jI kj nu k h∂= =∂ −(4)Будем использовать правила дифференцирования функции tr от произведенияматриц по матричному аргументу [6]:∂ ∂= =∂ ∂Тогда, в силу (4) и с учетом модели (1), получим систему векторных уравне-ний для определения ( ), 1, j u k −h j= n :1 11 11, 0( ) ( ) ( ( ) ( )( ) ( ) ( )).j jjj jh hT T h lj j j j j j il ih hjii i j ju k h B CB D B C A x k h A Bu k i lBu k i A Fs k j z k− += == ≠ =− =− + − + − − ++ − + − −Σ ΣΣ Σ (5)Система линейных уравнений (5) решается последовательно для k = 0, 1, 2,…,при этом часть из управлений на первых шагах определяется по функции ϕ(τ) , атакже из ранее вычисленных управлений. Для решения системы линейных урав-нений (5) необходимо осуществлять прогноз переменной s(k), который выполня-ется с использованием методов прогнозирования временных рядов [7]. Следуетучитывать, что k - текущий момент времени и спрос в этот и предыдущие момен-ты известен, а для моментов времени больших чем k спрос прогнозируется. Приувеличении k ранее вычисленные прогнозы пересчитываются в связи с поступле-нием новой информации, при этом часть прогнозируемых величин спроса заменя-ется на истинные значения.На управление, полученное из (5), накладываются транспортные ограниченияследующего вида:min,min, max,max, max,0, если ( ) ,( ) ( ),если () ,, если ( ) ,j jj j j jj j ju k h Uu k h u k h U u k UU uk h U⎧ − ⎪⎩(6)где min, j Г max,jU =KU - минимально допустимый уровень поставок товаров на j-йсклад; max, max,/j jU =G P - максимально допустимый уровень поставок товаров наj-й склад. Отметим, что если величины max, jU и min, ㉰jU получены дробные, тоmin, ㉰jU следует округлять в большую сторону, а max, jU - в меньшую.Предполагается, что при осуществлении поставок имеется достаточное коли-чество транспортных средств.3. Минимизация издержек на хранение товаровМинимизация издержек на хранение товаров осуществляется на скользящемвременном отрезке [k−T,k] по переменной z(k) и с учетом того, что в условияхнормального функционирования страховой запас, st jX остается неприкосновен-ным. Тогда оптимизационная задача представляется в виде( )1( ) ( ) minn kj jz kj t k ТK k V x t= = −=Σ Σ ⇒ , (7),( ) , [ , ], 1, . j st j x k ≥X ∀k∈k−T k j = n (8)Минимизация критерия (7) осуществляется по вектору z(k). При этом на каж-дом шаге пересчитываются ( )ju k h − в соответствии с (5) и (6). Отметим, что прирешении уравнений (5) прогноз выполняется на скользящем интервале оптимиза-ции. Найденное значение вектора *z (k), обеспечивает минимальные издержки навременном интервале от k - T до k. При расчетах поставок по формуле (6) обеспе-чивается загруженность транспортных средств в соответствии с заданным коэф-фициентом ГК . По найденному вектору *z (k) определяется объем поставок вследующий момент ( 1 )ju k+ −h , и далее, по аналогии, решается задача миними-зации критерия K(k+1) с учетом всех ограничений (∀k∈[k−T+1,k+1] ) и опре-деляется новый вектор *z (k+1), который используется для определения поставокв момент времени k + 2 , и так далее.4. Управление запасами при эшелонном расположении складовРассмотрим структурную схему эшелонного (последовательного) расположе-ния складов (рис. 1).u1(k - h1)uL-1(k - hL-1)uL(k - hL)...Склад № LСклад № 2Склад № 1s(k)Рис. 1. Структурная схема эшелонного расположения складовСтруктура складов состоит из L последовательно связанных складов. Цепь по-ставок является вертикальной в том смысле, что с каждого склада нижнего уровняосуществляются поставки на склад следующего уровня. На склад верхнего уровняпоступает спрос, определяемый рынком. Последний, нижний склад, имеет внеш-него поставщика. Модель такой системы описывается следующими уравнениями:1 1 1 1 11 1( 1) (1 ) ( ) ( ) ( ),( 1) (1 ) ( ) ( ) ( ), 2, , j j j j j j jx k w x k u k h s kx k w x k u k h u k h j L − −+ = − + − − ⎧⎨⎩ + = − + − − − =(9)где wj - коэффициенты потерь, возникающих при хранении товаров на j-м складе.В качестве примера рассматривается задача управления запасами для последо-вательной структуры, состоящей из 2 складов. Тогда модель (9) примет вид1 1 1 12 2 2 2 1( 1) (1 ) () ( 1) ( ),( 1) (1 ) () ( 2) ( 1).x k w x t u k s kx k w x t u k u k+ = − + − − ⎧⎨⎩ + = − + − − −(10)Введем обозначения:12( )( ) ,( )x kx kx k=⎛⎜ ⎞⎟⎝ ⎠11 22( )( ) , 1,2, 1, 2,( )jjju k hu k h j h hu k h⎛ − ⎞− =⎜⎝ − ⎟⎠ = = =121 0,0 1wAw=⎛⎜⎝− − ⎞⎟⎠11 0,1 0B=⎛⎜⎝− ⎞⎟⎠ 20 0,0 1B=⎛⎜ ⎞⎟⎝ ⎠1.0F=⎛⎜− ⎞⎟⎝ ⎠Модель (10) может быть представлена в виде (1), поэтому для решения задачиуправления запасами может быть применен метод, описанный в разделах 2, 3.Моделирование выполнено для следующих исходных данных:300(0) ,300x=⎛⎜ ⎞⎟⎝ ⎠0 0( 2) , ( 1) ,0 0ϕ − =⎛⎜ ⎞⎟ ϕ − =⎛⎜ ⎞⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠0,8, ГK = Т = 7,1 2 w=0,001,w=0,001,1 2 V=1,V=1.Отметим, что при прогнозировании спроса применяется метод усреднения поскользящему окну наблюдаемых данных.На рис. 2 приведена реализация спроса.20 30 40 50 k100140180s k ( )Рис. 2. Реализация внешнего спросаНа рис. 3, 4 приведены диаграммы внешних поставок, поставок с первогосклада на второй и графики изменений количества товара на складах.20 40 k020040060020 40 k100200400600300500u1(k) Umax,1 Umin,1u2(k) Umax,2 Umin,2Рис. 3. Поставки на складыРис. 4. Изменение количества товара на складах5. Управление запасами для оптового и розничных складовСтруктурная схема системы складов, состоящая из оптового и L розничныхскладов имеет вид (рис. 5)Розничный № LuL+1(k h − L+1)Розничный № 1 Розничный № 2Оптовыйu2(k h − 2)u1(k h − 1). . .uL(k h − L)s1(k) sL(s k) 2(k)Рис. 5. Структурное расположение системы складов,состоящей из оптового и L розничных складовПоставки ( ) j ju k h − осуществляются с оптового склада на розничные с запаз-дываниями . jh Спрос, поступающий на розничные склады в момент времени k,описывается величиной ( ) js k . Оптовый склад имеет внешнего поставщика. Мо-дель системы складов можно описать набором уравнений1 1 1 1 1 1 x(k+1)=(1−w)x(k)+u(k−h)−s(k),2 2 2 2 2 2 x (k+1)=(1−w)x (k)+u (k−h)−s (k),… (11)1 1 1 1 1 1 1 2 2 ( 1) (1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L L L L L L Lx k w x k u k h u k h u k h u k h+ + + + ++ = − + − − − − − − − − … .В качестве примера рассмотрена задача управления запасами для системыскладов, состоящей из оптового и 2 розничных складов, которая описываетсяуравнениями1 1 1 1 12 2 2 2 23 3 3 3 1 2( 1) (1 ) ( ) ( 1) ( ),( 1) (1 ) ( ) ( 2) ( ),( 1) (1 ) ( ) ( 3) ( 1) ( 2),x k w x k u k s kx k w x k u k s kx k w x k u k u k u k⎧ + = − + − −⎪⎨ + = − + − −⎩⎪ + = − + − − − − −(12)Введем обозначения:123( )( ) ( ) ,( )x kx k x kx k⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠12 1 2 33( )( ) ( ), 1,3, 1, 2, 3,( )jj jju k hu k h u k h j h h hu k h⎛ − ⎞⎜ ⎟− =⎜ − ⎟ = = = =⎜⎝ − ⎟⎠1231 0 00 1 0 ,0 0 1wA ww⎛− ⎞=⎜ − ⎟⎜ ⎟⎝ − ⎠11 0 00 0 0 ,1 0 0B⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝− ⎠20 0 00 1 0 ,0 1 0B⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ − ⎠30 0 00 0 0 ,1 0 0B⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠1 00 1.0 0F⎛− ⎞=⎜ −⎟⎜ ⎟⎝ ⎠Тогда модель (12) может быть представлена в виде (1). При моделированиииспользуются следующие исходные данные:120(0) 150 ,120x⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠0 0 0( 3) 0 , ( 2) 0 , ( 1) 0 ,0 0 0⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ϕ − =⎜ ⎟ ϕ − =⎜ ⎟ ϕ − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠0,8, ГK = Т = 7,1 2 3 w=0,001,w=0,001, w = 0,001,1 V =1,2 V =1,3 V =1.На рис. 6 приводятся реализации спроса на розничных складах.20 40 60 k406080s k 1( )20 40 60 k406080s k 2( )Рис. 6. Спрос на розничных складахВыполнив расчеты по методике, описанной в разделах 2, 3, получаем резуль-таты моделирования, представленные на рис. 7−10.20 40 k 0u1(k) Umax,1 Umin,1 u2(k) Umax,2 Umin,230 5020010020 30 40 50 k0200100Рис. 7. Диаграммы поставок на розничные складыРис. 8. Диаграмма поставок на оптовый складx k 1( ) Xst,1 x k 2( ) Xst,220 30 40 50 k100200020 30 40 50 k1002000Рис. 9. Изменение количества товара на розничных складах20 30 40 50 k0200400600x k 3( ) Xst,3Рис. 10. Изменение количества товара на оптовом складеЗаключениеРазработан алгоритм управления запасами для систем складов с учетом мно-гих транспортных запаздываний. Управление объектом с запаздываниями поуправлению реализуется без расширения пространства состояния модели. В осно-ву метода положена оптимизация модифицированного локального критерия икритерия суммарных издержек на скользящем интервале. Выполнено моделиро-вание систем управления запасами для двух структур расположения складов.Управление, полученное в результате реализации этого метода, может приме-няться для управления запасами в режиме реального времени.

Скачать электронную версию публикации