Asymptotic properties of parameter estimation andchange-point detection procedures for a generalized autoregressive process with conditionalheteroscedasticity.pdf Авторегрессионные модели с условной неоднородностью (GARCH) находятширокое применение в задачах последовательного анализа данных. При описаниипроцессов типа GARCH предполагается, что на текущую изменчивость дисперсиивлияют как предыдущие изменения показателей, так и предыдущие значения дис-персии, вследствие чего модель хорошо подходит для описания эволюции финан-совых индексов [1].Данная работа является продолжением статьи [2], в которой дан обзор методовоценивания параметров процесса GARCH(p,q) и предложена последовательнаяпроцедура обнаружения момента разладки процесса GARCH(p,q) с неизвестнымиавторегрессионными параметрами, основанная на сравнении оценок на различныхвременных интервалах. Для построения оценок используется взвешенный методнаименьших квадратов, который позволяет ограничить среднеквадратическое от-клонение оценок от истинного значения параметров. Свойства оценок также по-зволяют получить теоретические границы для вероятностей ложной тревоги ипропуска сигнала. В работе получены асимптотические верхние границы средне-квадратического отклонения оценок от истинного значения параметров вероятно-стей ошибок в процедуре обнаружения разладки. Результаты моделирования де-монстрируют эффективность предложенной процедуры.1. Постановка задачиРассматривается устойчивый случайный процесс GARCH(p,q), 0,1..., n n nx = σ ε n= (1)где {εn} - последовательность независимых одинаково распределенных случай-ных величин с нулевым средним, единичной дисперсией и известным распреде-лением. Условная вариация процесса xn имеет вид2 2 21 1.p qn in i i n ii ia x− −= =σ = + λ Σ +ΣμσПараметры { } , ia λ предполагаются неизвестными, а параметры μi - известными,причем1 1> 0, 0, 0,1 ,1 ,0 < 0,где Δ является известным значением, определяющим минимальное расстояниемежду значениями параметров до и после момента разладки. Требуется понаблюдениям за процессом { } nx определить момент разладки.2. Гарантированные оценки параметровВ [2] предложены гарантированные последовательные оценки векторапараметров Λ. В каждый момент n составляется вектор ( ) , ,F n μ x , рекуррентныеуравнения для которого имеют вид( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 020 01 12 20 1, , 1 , , , , , , , , 1, ;, , 1, , , , 0, 1.q qj i n i j ij jn j n p jF n x F n j x F n x x F n j x i pF n j x x x j q−= =− − − −μ = + μ − μ μ = + μ − μ =− μ =⎡⎣ ⎤⎦ = −Σ Σ…Вводятся следующие обозначения:{( ) ( )} ( )( ) ( )20 ,2 2 2 2,0 , 1=max , , , , , , , = , = , , ,0 ;, , , , , , , 1 , 1 , = .n p n n n n i i nTn n np p n n n n nm F n x F n x y x m u F n x m i pU u u a BB E b B Uμ μ μ ≤ ≤=⎡⎣ ⎤⎦ Λ=⎡⎣ λ λ ⎤⎦ ζ = ε − = ε − Λ…… …Сначала для фиксированного значения параметра H>0 определяется моментостановки1 min 1 τ=τ(H)=inf{N >N+1:υ (N)≥H}, (3)где υmin(N1) - минимальное собственное значение матрицы11= 1( )= ( , ) .NTn nn NN v n x U U+Α ΣПоложительные весовые функции v(n,x)на интервале [N+1,N+σ−1] , где σ -наименьшее значение 1N , для которого матрица 1 Α(N ) не вырождена, задаютсяследующим образом:( , )=1 TN n nv n x Γ U U. (4)Веса v(n,x) на интервале [ ] ,N +σ τ находятся из условийmin 2 min 2min= =( ) ( )( , ) , ( , ) , ( )= .kT Tn n n nN n N N n Nkv n xU U v n xU U Hτ+σ +συ υτ= ≥ υ τΓ ΓΣ Σ (5)Множитель NΓ используется для компенсации неизвестной дисперсии помех ивыбирается в одной из форм:0 00 02 22 212 2 4) ;) ;N NN N l N ll N l NN NN N l N ll N l Na C z C B Eb C z C B E−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜⎝= ⎟⎠−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜⎝= ⎟⎠⎛ ⎞Γ = ⎜⎜ ⎟⎟, = ε⎝ ⎠Γ = , = εΣ ΣΣ Σ{ ( ) ( )} 20 min , , , , , , .n n pz=x F nμx F nμx … (6)Из соотношений (6) следует, что22 211 1, .pn in iE b C B aC=⎛ ⎞≤ ≤ = ⎜ + λ⎟Γ ⎝ ⎠Σ (7)Затем строится оценка параметров вида* 1= 1 = 1( )= ( , ) A ( ), A( )= ( , ) T Tn n n nn N n NH v n x y U v n x U Uτ τ−+ +⎛ ⎞Λ ⎜ ⎟ τ τ⎝ ⎠Σ Σ (8)Свойства предложенной оценки определяет теорема 1 [2]:Теорема 1. Для любого значения параметра процедуры H > 0 момент пре-кращения наблюдений τ(H) конечен с вероятностью единица и средний квадратнормы отклонения оценки *Λ (H) от истинного значения вектора параметров Λудовлетворяет неравенству2*2 ( ) .H pE HH+Λ −Λ ≤3. Асимптотические свойства оценкиДля изучения асимптотических свойств оценки (8) нам понадобится следую-щий результат (аналогичные результаты для одномерного случая рассматривают-ся в [3, 4]).Теорема 2. Пусть { } 0nkkF≥- неубывающий поток σ-алгебр, такой, что{ } 0 ,n F = ∅ Ω , 1n nk kF F+ ⊆ для всех 0≤kδ⎬≤ ⎜ ξ χ ξ >δ⎟=⎪⎩ ⎭⎪δ⎝ ⎠Σ Σ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 21 11 11 1.n nn n n nk k k k k kk N k NEE k F E k E F− −= + = +=δ ⎡⎢⎣ξ χ τ≥ χ ξ >δ ⎤⎥⎦=δ χ τ≥ ⎡⎢⎣ξ χ ξ >δ ⎤⎥⎦Σ ΣИспользуя соотношения ( , ) 1 Nv k x ≤ Γ , 2kb C ≤ и 1Tk k U U ≤p+ , неравенствоКоши - Буняковского и неравенство Чебышева, имеем( ) ( )( )( )22 22 21 12 24 2 4( , ) 1( , ) ( , ) 1.1Tn n k kk k k k k kNT Tk k N k kn k nNCv k x U U C pE F E FH HCv k x U U H Cv k x U U C pE P EH Cp H H− −⎢⎣⎡ξ χ ξ >δ ⎥⎦⎤= ⎡⎢⎣ζχ⎛⎜⎝ Γ+ ζ >δ⎞⎟⎠ ⎥⎤⎦≤⎧ δ Γ ⎫ +≤ ζ ⎨ζ > ⎬≤ ζ⎩ +⎭ δΓОтсюда, учитывая (4), (5), получаем{ } ( )( )( )3 422113 4 12 213 43 21 1 1max ( , )1 1 1 1( , ) ( , )1 1.nn n Tk kkkN k NNn T Tk k k kNk N Nk NnNC p EP E v k x U UH HC p EE v k x U U v k x U UH HC p E p HEH Hτ≤ ≤τ= ++σ− τ= + = +σ+ ζ ⎛ ⎞ξ >δ ≤ δ ⎜⎜⎝Γ ⎟⎟⎠=+ ζ⎛ ⎞= δ ⎜⎜⎝Γ +Γ ⎟⎟⎠≤+ ζ + ⎛ ⎞≤ δ ⎜⎜⎝Γ ⎟⎟⎠Пусть множитель NΓ выбран в форме (6a), тогда0 03 323 2 3 2 3 2 3 21 1 1.N Nl lN N l N N l NE E z EC CC− −= =⎛ ⎞ ⎛ ⎞Γ = ⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠≤ ⎜⎜⎝ ε⎟⎟⎠Σ ΣЕсли плотность распределения величин { }lε такова, что математическое ожида-ние в правой части неравенства существует, то условие (A) теоремы 2 выполнено.Случай, когда множитель NΓ выбран в форме (6b), может быть рассмотрен ана-логично.Проверим условие (B) теоремы 2:( ) 2 2 21 12 2 2 2 211( , )1 1( , ) ( , ) .Tn n n T nk k k k k k k kT n Tk k k k k k k kE F E b v k x U U FHb v k xU U E F b v k xU UH H− −−⎡⎢⎣ξ ξ ⎤⎥⎦= ⎡⎣ ζ ⎤⎦== ⎡⎣ζ ⎤⎦=Отсюда( ) 2 211 11( , ) .n T nn n n Tn k k k k k kk N k NE F b v k x U UHτ τ−= + = +Σ = ⎡⎢⎣ξ ξ ⎤⎥⎦= Σ ΣПоскольку 2kb C ≤ , и учитывая (4), (5), получаем, что каждый элемент матрицыnΣ ограничен сверху( )2 2 2 ( )1 11, (, ) ( , ) .n nn k k kk N k N NC C p Hi j b v k x U v k x UH H Hτ τ= + = ++Σ ≤ ≤ ≤ΓΣ ΣТаким образом, ( ) n , Σ i j является ограниченным сверху субмартингалом и, какпоказано в теореме Дуба [3], имеет предел, т.е.( ) 11,n n n T n Pk k kk NE Fτ−= +⎢⎣⎡ξ ξ ⎥⎦⎤⎯⎯→Σ Σпричем ( ) , EΣ i j δ ≤PY > δH . Применяя теорему Фубиниоб изменении порядка интегрирования, получаем{ }( ){ }( ){ }2 11111 1exp2 21 1exp .2 2TTTpYY HTpYY HP Y H E Y Y dYE YY dY−+>δ−+>δ⎛ ⎞> δ = ⎜ − Σ ⎟=⎜⎝ π Σ ⎟⎠⎛ ⎞=⎜ −Σ ⎟⎜⎝π Σ ⎟⎠∫∫Поскольку матрица Σ симметрична и положительно определена, существует ор-тогональное преобразование, которое приводит ее к диагональной матрице Σ′ [5]:T T TT Σ =Σ′ =T T=I где I - единичная матрица. Делая замену перемен-ных 1 2 TS Y T − = Σ , получаем{ }( ) { } 2* 111 1( ) exp2 T 2TpYY HP H E Y Y dY −+>δΛ −Λ > δ ≤ − Σ =π Σ∫( ) { } ( ) { }( ) 201 1tr max1 1 1 1exp exp .2 T 2 2 2jj pT Tp pS S H s HE SS dS E SS dS≤ ≤+ +Σ′ >δ Σ >δ= − ≤ −π π∫ ∫Здесь 0, , pS=⎡⎣s …s ⎤⎦ - стандартный нормально распределенный вектор. Отсюда{ } ( ) ( )( )2* 2 2001( ) max 1tr tr1 2 1 .trpj jj pjpH HP H EP s E P sHE≤ ≤=+⎧ δ ⎫ ⎧ δ ⎫Λ −Λ >δ≤ ⎨ > ⎬= − ⎨ ≤ ⎬=⎩ Σ⎭ ⎩ Σ⎭⎛ ⎛ δ ⎞ ⎞= − ⎜ Φ⎜ ⎟− ⎟⎝ ⎝ Σ ⎠ ⎠ΠИспользуя свойства условных математических ожиданий и соотношения (4), (5) и(7), имеем( )( )( )( )22,0 0 = 12 2 2 2, 10 = 11, , 10 = 2 12 2 2 2,= 11tr ( , )1( , )2( , ) ( , )1( , )p pi nn n ii i n Np Tn n ni n ni nNp T nk n k n k i ni n ni nN k NTn ni n nn NEZ E b v n x uHE Eb v nxu FHE Eb b v k x v n x u u FHE bv nxu EHτ= = +τ≥ −= +−τ≥ −= + = +τ≥+⎛ ⎞Σ = = ⎜ ζ ⎟=⎝ ⎠= ⎡⎣ζ χ ⎤⎦++ ⎡⎣ ζζ χ ⎤⎦ == χ ζΣ Σ ΣΣ ΣΣ Σ ΣΣ( ) [ ]( )101, , 10 = 2 12 2,0 = 12( , ) ( , )( , ) .pnip T nk n k k i ni n n ni nN k Npn ii nN nFE bb v k x v n x u u E FHC C p HpHE v nxu EH H H−=−τ≥ −= + = +τ= +⎡⎣ ⎤⎦++ ζ χ ζ ≤+ +≤ ≤ ≤ΓΣΣ Σ ΣΣ ΣОтсюда получаем (13). Теорема доказана.4. Построение процедуры обнаружения разладкиРассмотрим процедуру определения момента разладки. Пусть матрица211 2=( , )= ( , )TTn nn TΑ T T Σv n xU U ,а ( ) min 1, 2υ T T - ее минимальное собственное значение. Весовые функции v(n,x)определяются аналогично (4), (5). Строится последовательность моментов оста-новки{ } 0 1min 1 , min : ( 1,) , 1. i i iN T T H i− −τ = τ = >τ υ τ + ≥На каждом интервале [ ] 1 1, i i −τ + τ находим оценку параметров ( )*iΔ H процесса(1), построенную по формуле, аналогичной (13). С интервалом [ ] 1 1, i i −τ + τ дляi > m связывается статистика Ji :* * * *( )( ). Ti i i m i i mJ− −= Λ −Λ Λ −Λ (16)Алгоритм определения точки изменения параметров процесса заключается в сле-дующем: значение заданной статистики (16) сравнивается с пороговым значениемδ. Решение о наличии разладки принимается при превышении значения статисти-ки Ji значения δ.Теорема 4 [2]. Пусть 0 < δ < Δ , тогда вероятность ложной тревоги P0 и веро-ятность ложного спокойствия P1 на любом интервале наблюдений [τi−1+1,τi] яв-ляются ограниченными( )0 2 1 224( ) 4( )( , ) , ( , ) .H p H pP H P HH H+ +δ ≤ δ ≤δ Δ − δ(17)Следующая теорема задает асимптотическую границу для вероятностей оши-бок процедуры.Теорема 5. Пусть 0 < δ < Δ и выполнены условия теоремы 3. Для большихзначений параметра H вероятность ложной тревоги P0 и вероятность ложногоспокойствия P1 удовлетворяют неравенствам( )( )( )11 220 1 ( , ) 1 2 1 , ( , ) 1 2 1 ,2 2ppH HP H P HH p H p+δ ≤ −⎛⎜ Φ⎛⎜ δ ⎞⎟− ⎞⎟ + δ ≤ −⎛⎜ Φ⎛⎜ Δ− δ ⎞⎟− ⎞⎟⎝⎜ ⎝⎜ +⎠⎟ ⎠⎟ ⎝⎜ ⎝⎜ +⎠⎟ ⎠⎟(18)где Φ( x) - функция стандартного одномерного нормального распределения.Доказательство. Рассмотрим вероятность ложной тревоги. В этом случаезначение статистики Ji превышает порог δ до момента разладки θ. Используясвойства нормы вектора и неравенство Чебышева, а также утверждение Теоремы1, получаем{ } 20( , ) { | } . i i i i mP H P J P−δ = >δ τ δДля нахождения вероятности ложного спокойствия рассматриваются случаи, ко-гда момент разладки уже наступил, а значение статистики (16) не превысило по-роговое значение δ. Учитывая, что ||Λ1−Λ0||2 > Δ > 0 и используя свойства нормы,получаем{ } { }{ } { }21 1 1 0 ( , ) |.i i m i i i mi i m i i mP H P J PP P− − −− −δ =

Скачать электронную версию публикации