The joint probabilitydensity of duration of the intervals in a generalized semi-synchronous flow.pdf В настоящей статье проводится дальнейшее исследование обобщенного полу-синхронного потока событий, начатое в работах [1, 2]. Обобщенный полусин-хронный поток событий (далее - поток ) относится к классу дважды стохастиче-ских потоков и является одной из адекватных математических моделей информа-ционных потоков заявок, функционирующих в ЦСИО [3]. С одной стороны, па-раметры потока событий и его состояния оказывают непосредственное влияние напроцесс функционирования системы массового обслуживания. С другой стороны,в реальных ситуациях параметры, задающие входящий поток событий, известнылибо частично, либо вообще неизвестны, либо (что еще более ухудшает ситуа-цию) изменяются со временем. Вследствие этого возникают задачи: 1) оценки со-стояний потока (задача фильтрации интенсивности потока) по наблюдениям замоментами наступления событий [1, 2]; 2) оценки параметров потока по наблюде-ниям за моментами наступления событий [4].Для решения задачи оценивания (тем или иным статистическим методом) па-раметров потока в первую очередь необходимо знание вероятностных свойств по-тока. В настоящей статье находятся явные виды плотности вероятностей значенийдлительности интервала между моментами наступления соседних событий потокаи совместной плотности вероятностей значений длительности двух соседних ин-тервалов.1. Постановка задачиРассматривается обобщенный полусинхронный поток событий, интенсивностькоторого есть кусочно-постоянный случайный процесс λ(t) с двумя состояниямиλ1 и λ2 (λ1 > λ2). В течение временного интервала, когда λ(t) = λi , имеет место пу-ассоновский поток событий с интенсивностью λi , i = 1,2. Переход из первого со-стояния процесса λ(t) во второе возможен только в момент наступления события,при этом переход осуществляется с вероятностью p (0 < p ≤ 1); с вероятностью 1 -p процесс λ(t) остается в первом состоянии. Тогда длительность пребывания про-цесса λ(t) в первом состоянии будет распределена по экспоненциальному закону спараметром pλ1. Переход из второго состояния процесса λ(t) в первое состояниеможет осуществляться в произвольный момент времени. Длительность пребыва-ния процесса λ(t) во втором состоянии распределена по экспоненциальному зако-ну с параметром α. При переходе процесса λ(t) из второго состояния в первоеинициируется с вероятностью δ (0 ≤ δ ≤ 1) дополнительное событие в первом со-стоянии (т.е. сначала осуществляется переход, а затем инициируется дополни-тельное событие). При этом блочная матрица инфинитезимальных коэффициен-тов примет вид1 1 10 12 20 (1 ).(1 ) ( )p pD D D−λ − λ λ= =−δ α − λ +α δα λЭлементами матрицы D1 являются интенсивности переходов процесса λ(t) изсостояния в состояние с наступлением события. Недиагональные элементы мат-рицы D0 - интенсивности переходов из состояния в состояние без наступлениясобытия. Диагональные элементы матрицы D0 - интенсивности выхода процессаλ(t) из своих состояний, взятые с противоположенным знаком. В сделанных пред-положениях λ(t) - марковский процесс. Вариант возникающей ситуации приведенна рис. 1, где 1,2 - состояния случайного процесса λ(t); t1 , t2 ,… - моменты насту-пления событий; t4 ,… - моменты инициирования дополнительных событий с ве-роятностью δ. Если δ = 0, то имеет место обычный полусинхронный поток собы-тий [4].p p12tt1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t t 101 - p 1 - p 1 - p…α αРис. 1. Формирование обобщенного полусинхронного потокаПроцесс λ(t) и типы событий (события пуассоновских потоков и дополнитель-ные события) являются принципиально ненаблюдаемыми, а наблюдаемыми яв-ляются только временные моменты наступления событий t1 , t2 ,… . Рассматрива-ется установившийся (стационарный) режим функционирования потока событий.В силу предпосылок последовательность моментов наступления событий t1 , t2 ,…,tk , … образует вложенную цепь Маркова, т.е. обобщенный полусинхронный по-ток обладает марковским свойством, если его эволюцию рассматривать с моментаtk (момент наступления события), k = 1, 2, … . Обозначим τk = tk+1 - tk (k = 1, 2, …)- значение длительности k-го интервала между соседними событиями потока. Таккак рассматривается стационарный режим, то плотность вероятностей значенийдлительности k-го интервала p(τk) = p(τ), τ ≥ 0, для любого k. В силу этого моментtk без потери общности можно положить равным нулю, или, что то же самое, мо-мент наступления события есть τ = 0. Пусть теперь (tk , tk+1), (tk+1 , tk+2) - два смеж-ных интервала с соответствующими значениями длительностей: τk = tk+1 - tk ,τk+1 = tk+2 - tk+1; их расположение на временной оси, в силу стационарности потока,произвольно. Тогда можно положить k = 1 и рассматривать соседние интервалы(t1, t2), (t2, t3) с соответствующими значениями длительностей: τ1 = t2- t1 , τ2 = t3- t2; τ1 ≥ 0, τ2 ≥ 0. При этом τ1 = 0 соответствует моменту t1 наступления события по-тока; τ2 = 0 - моменту t2 наступления следующего события потока. Соответст-вующая совместная плотность вероятностей при этом есть p(τ1 , τ2), τ1 ≥ 0, τ2 ≥ 0.Задача заключается в нахождении явного вида p(τ) и явного вида p(τ1,τ2), атакже в установлении условий рекуррентности обобщенного полусинхронногопотока событий.2. Вывод плотности вероятностей p(τ)Введем в рассмотрение вероятности ти pij(τ) того, что на интервале (0, τ) нет со-бытий потока и в момент времени τ имеет место λ(τ) = λj при условии, что в мо-мент времени τ = 0 значение процесса λ(0) = λi (i, j = 1,2). При этом, в силу пред-посылок, 12p (τ)=0для любого τ. Тогда, в соответствии с определением потока,p11(τ)λ1Δτ(1- p) + o(Δτ) - совместная вероятность перехода на интервале (0, τ)процесса λ(τ) из первого состояния в первое, наступления события потока на по-луинтервале [τ. τ + Δτ), где Δτ - достаточно малая величина, и перехода на этомполуинтервале процесса λ(τ) из первого состояния в первое. Аналогичные совме-стные вероятности примут видp11(τ)λ1Δτp + o(Δτ); p22(τ)λ2Δτ + o(Δτ); p22(τ)αΔτδ + o(Δτ);p21(τ)λ1Δτ(1- p) + o(Δτ); p21(τ)λ1Δτp + o(Δτ).Соответствующие плотности вероятностей выпишутся в виде11 1 11 12 1 1121 1 21 22 22 1 21 2 22( ) (1 ) ( ); ( ) ( );( ) (1 ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( ).p p p p p pp p p p p p p pτ = − λ τ τ = λ ττ = − λ τ +αδ τ τ = λ τ +λ τ (1)Составляя дифференциальные уравнения относительно неизвестных ( ) pij τ ,i, j = 1,2 , ( 12p (τ)=0) и решая полученные уравнения с соответствующими гра-ничными условиями: p11(0) = p22(0) = 1, p21(0) = 0, находим111p ( ) e−λ ττ = , ( 2)22p ( ) e− α+λ ττ = , ( 2) 1211 2(1 )p( ) (e e )− α+λ τ −λ τ α −δτ = −λ −λ −α. (2)Подставляя (2) в (1), получаем явный вид плотностей вероятностей ( ) pij τ ,i, j = 1,2.Введем в рассмотрение вероятность πi(0) - условную стационарную вероятностьтого, что процесс λ(τ) в момент времени τ = 0 находится в i -м состоянии приусловии, что в момент τ = 0 событие потока наступило, i = 1,2 (π1(0) + π2(0) = 1).Тогда, так как моменты наступления событий образуют вложенную цепь Марко-ва, справедливы следующие уравнения для вероятностей πi(0):π1(0) = π1(0)p11 + π2(0)p21; π2(0) = π1(0)p12 + π2(0)p22 , (3)где pij - переходная вероятность того, что за время, которое пройдет от моментаτ = 0 до наступления следующего события потока, процесс λ(τ) перейдет из i-госостояния в j-е (i, j = 1,2). При этом вероятности pij определятся в видеp p d p p d p p d p p dp p d p p d p dp p d p p d p d∞ ∞ ∞ ∞∞ ∞ ∞∞ ∞ ∞= τ τ = − λ τ τ = τ τ = λ τ τ= τ τ = − λ τ τ + αδ τ τ= τ τ = λ τ τ + λ τ τ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ (4)где pij(τ) определены в (1), ( ) pij τ - в (2). Подставляя (2) в (4), находимp11 = 1 - p; p12 = p; p21 = α(1 - p + pδ)/(α + λ2); p22 = [λ2 + pα(1 - δ)]/(α + λ2). (5)Подставляя (5) в (3), получаемπ1(0) = α(1 - p + pδ)/[α + (λ2 + αδ)p]; π2(0) = p(α + λ2)/[ α + (λ2 + αδ)p]. (6)Тогда плотность вероятностей p(τ) примет вид2 21 1( ) (0) ( ) i iji jp p= =τ =Σπ Σ τ , τ ≥ 0. (7)Подставляя в (7) сначала (1), затем (2) и (6), проделывая при этом необходи-мые преобразования, получаем явный вид плотности вероятностей p(τ):1 2 ( )1 2 p( ) e (1 )( )e−λ τ − α+λ ττ =γλ + −γ α+λ , τ ≥ 0;12 1 2(1 )1( )ppα ⎡ λ −δ⎤γ = α + λ +αδ ⎢⎣ − λ −λ −α⎥⎦, (8)где λ1 - λ2 - α ≠ 0. Для случая λ1 - λ2 - α = 0 имеем11 11(1 )( ) 1 (1 )(1 ) ( )pp ep p−λ τ ⎡ α − δ ⎤τ =λ⎢⎣− − α+ λ +αδ −λ τ⎥⎦, τ ≥ 0. (9)Отметим, что если δ = 0, то получаем (8) и (9) для обычного полусинхронногопотока [4].3. Вывод совместной плотности вероятностей p(τ1,τ2)В силу того, что последовательность моментов наступления событий потокаобразует вложенную цепь Маркова, совместная плотность вероятностей p(τ1,τ2)примет вид2 2 21 2 1 21 1 1( , ) (0) ( ) ( ) i ij jki j kp p p= = =τ τ =Σπ Σ τΣ τ , τ1 ≥ 0, τ2 ≥ 0, (10)где 1 ( ) pij τ , 2 ( ) pij τ определены в (1). При этом в выражениях для ( ) pij τ , i, j = 1,2,нужно произвести замену τ на τ1 и τ на τ2. Тогда подставляя в (10) сначала 1 ( ) pij τ ,2 ( ) pij τ , определенные в (1), затем 1 ( ) pij τ , 2 ( ) pij τ , определенные в (2), для τ =τ1 иτ = τ2, затем πi(0), определенные в (6), i, j = 1,2, и проделывая необходимые преоб-разования, находим2 2 1 1 ( 2)11 2 1 2 1 22( )( , ) ( ) ( ) (1 ) ( )pp p p e e−λ τ − α+λ τ λ − λ +αδτ τ = τ τ + α +λ γ −γ ⎡⎣λ − α+λ ⎤⎦.1 2 ( 2)21 2 e ( )e ,Ѓ~⎡⎣λ −λ τ − α+λ − α+λ τ ⎤⎦ τ1 ≥ 0, τ2 ≥ 0, (11)где p(τ1), p(τ2), γ определены в (8) для τ =τ1 и τ = τ2 и λ1 - λ2 - α ≠ 0. Для случаяλ1 - λ2 - α = 0 имеем[ ] 1 2 1 2 1 1 ( , ) ( ) ( ) (1 ) pτ τ =pτ p τ +λ α −p+ pδ −λ (1−p) .1 1 22( )1 1 1 21(1 )(1 )(1 )(1 ) ( )pep p−λ τ +τ ⎡ α − δ ⎤.⎢⎣α − + λ +αδ⎥⎦−λ τ − λ τ, τ1 ≥ 0, τ2 ≥ 0, (12)где p(τ1), p(τ2) определены формулой (9) для τ =τ1 и τ = τ2.Нетрудно получить вероятностные характеристики потока, такие, как матема-тическое ожидание длительности интервала между событиями, дисперсию и ко-вариацию.1. Вариант λ1 - λ2 - α ≠ 0:1 21Mτγ − γ= +λ α+λ,22 21 2 1 21 12( )Dτ⎡γ − γ ⎤ ⎡ γ − γ ⎤= ⎣⎢λ+α+λ ⎦⎥−⎢⎣λ+α+λ ⎥⎦,2 2 21 2 1 2 2 31 2( )cov( , ) (1 )( )( )λ − λ +αδ pτ τ =γ −γ λ −λ −αλ α+λ.2. Вариант λ1 - λ2 - α = 0:1 M (1 C) /τ= + λ , 2 21 D (1 2C C ) / τ= + − λ ,[ ] 2 31 2 1 1 cov(τ ,τ )=C α(1−p+δp)−λ (1−p) /λ ,[ ]11 C p (1 ) (1 p) p( )− = α −δ α − + λ +αδ .В рассматриваемом потоке присутствуют события трех типов:1) события пуас-соновского потока интенсивности λ1; 2) события пуассоновского потока интен-сивности λ2; 3) дополнительные события. Типы событий являются неразличимы-ми. Обозначим qj - стационарные вероятности того, что наступившее событие по-тока есть событие j-го типа, j = 1,2,3. Тогда, используя вышеприведенные резуль-таты, нетрудно получить явные выражения для qj :12 ( )qpα=α + λ +αδ, 222 ( )pqpλ=α + λ +αδ, 32 ( )pqpαδ=α+ λ +αδ.Отметим, что π1(0) = q1(1 - p)+ q3 , π2(0) = q1p+ q2 . Полагая в (11), (12) δ = 0, полу-чаем формулы p(τ1,τ2) для обычного полусинхронного потока [4].4. Условия рекуррентности обобщенного полусинхронногопотока событийРассмотрим частные случаи, при которых обобщенный полусинхронный потокстановится рекуррентным.1. Вариант λ1 - λ2 - α ≠ 0. Тогда для ситуаций: а) γ = 1 (данное условиереализуется, если λ1 - λ2 - αδ = 0); б) γ = 0 (данное условие реализуется, еслиλ1(1 - p + pδ) - λ2 - α = 0); в) λ2 - (λ2 + αδ)p = 0; г) p = 1, δ = 0, совместная плот-ность (11) факторизуется. Так как последовательность моментов наступления со-бытий есть вложенная цепь Маркова, то нетрудно показать, что факторизуется исовместная плотность p(τ1,…,τk). Последнее означает, что для этих ситуацийобобщенный полусинхронный поток является рекуррентным [5]. При этом из (8)вытекает, что:для ситуации а)1p( ) 1e−λ ττ =λ , τ ≥ 0, λ1 = λ2 + αδ;для ситуации б)( 2)2 p( ) ( )e− α+λ ττ = α+λ , τ ≥ 0, α + λ2 = λ1 (1 - p + pδ);для ситуации в)1 2 ( )1 1 1 2 p( ) e (1 )( )e−λ τ − α+λ ττ =γ λ + −γ α+λ , τ ≥ 0, α + λ2 = α(1 - p - δp)/(1 - p),γ1 = (1 - p) (λ1 - α -pλ1)[(1 - p)( λ1 - α) - αδp]−1 ;для ситуации г)1 2 ( )2 1 2 2 p( ) e (1 )( )e−λ τ − α+λ ττ =γ λ + −γ α+λ , 2 1 2 γ = −α/(λ −λ −α).2. Вариант λ1 - λ2 - α = 0. Тогда для ситуаций: а) δ = 1; б) p = 1, δ = 0;в) α(1 - p + pδ) = λ1(1 - p), p ≠ 1, совместная плотность (12) факторизуется. По-следнее означает, аналогично варианту 1, что факторизуется и совместная плот-ность p(τ1,…,τk), так что для перечисленных ситуаций поток является рекуррент-ным. При этом из (9) вытекает, что:для ситуации а) 11 p( ) e−λ ττ =λ , τ ≥ 0, λ1 = α + λ2;для ситуации б) p(τ) = 11 1 ( )e−λ τλ −α+λ ατ , τ ≥ 0, λ1 = α + λ2;для ситуации в) [ ] 11 1 p( ) p(1 )(1 ) e−λ ττ = λ −α −δ −λ τ , τ ≥ 0, λ1 = α + λ2.При нижеследующем обсуждении условий рекуррентности необходимо ис-пользование результатов, приведенных в [1].1. Вариант 1 (λ1 - λ2 - α ≠ 0):1.а. Апостериорная вероятность w(λ1 | t) первого состояния процесса λ(t) (несмотря на то, что поток рекуррентный и плотность p(τ) экспоненциальная) зави-сит от предыстории, т.е. зависит от моментов наступления событий t1, …, tk . Еслиздесь ввести дополнительное ограничение λ2 = pλ1 (p ≠ 1), то вероятность w(λ1 | t)не будет зависеть от предыстории, а будет зависеть только от её значения в мо-мент наступления события потока, т.е. от w(λ1 | tk + 0) = 1 - p, k = 1, 2, …; так чтопри дополнительном ограничении имеется некоторая близость обобщенного по-лусинхронного потока к простейшему потоку.1.б. Вероятность w(λ1 | t) = π1 , t ≥ 0, где π1 = α/(α + pλ1) - априорная стационар-ная вероятность первого состояния процесса λ(t). То есть для этой ситуации апо-стериорная вероятность w(λ1 | t) вообще не зависит от моментов наступления со-бытий, так что здесь имеет место наибольшая близость обобщенного полусин-хронного потока к простейшему потоку.1.в. Вероятность w(λ1 | t) не зависит от предыстории, а зависит только от еёзначения в момент наступления события, т.е. от w(λ1 | tk + 0) = 1 - p, k = 1, 2, … ,так что для этой ситуации, аналогично ситуации а), имеется некоторая близостьобобщенного полусинхронного потока к простейшему потоку.1.г. Вероятность w(λ1 | t) не зависит от предыстории, а зависит только от еёзначения в момент наступления события, т.е. от w(λ1 | tk + 0) = 0, k = 1, 2, … , такчто и для этой ситуации обобщенный полусинхронный поток в некоторой степениблизок к простейшему потоку.2. Вариант 2 (λ1 - λ2 - α = 0):2.а. Вероятность w(λ1 | t) = π1 , t ≥ 0. То есть для этой ситуации апостериорнаявероятность w(λ1 | t) вообще не зависит от моментов наступления событий иобобщенный полусинхронный поток наиболее близок к простейшему потоку.2.б. Вероятность w(λ1 | t) не зависит от предыстории, а зависит только от еёзначения в момент наступления события, т.е. от w(λ1 | tk + 0) = 0, k = 1, 2, … , такчто для этой ситуации наблюдается некоторая близость обобщенного полусин-хронного потока к простейшему потоку.2.в. Вероятность w(λ1 | t) не зависит от предыстории, как и для ситуации 2.б.,при этом w(λ1 | tk + 0) = 1 - p, k = 1, 2, … . При этом имеется некоторая близостьобобщенного полусинхронного потока к простейшему потоку.ЗаключениеПолученные результаты делают возможным решение задачи оценки неизвест-ных параметров, задающих поток.В общем случае для коррелированного обобщенного полусинхронного потокадля оценки неизвестных параметров можно использовать метод моментов; для ча-стных случаев, когда обобщенный полусинхронный поток становится рекуррент-ным - метод максимального правдоподобия.

Скачать электронную версию публикации