On term structure of yield rates. 2. TheCox - Ingersoll - Ross model.pdf Исторически первой популярной моделью динамики процентной ставки явля-ется модель Васичека (1977 г.), рассмотренная в предыдущей статье [1]. Онапредполагает, что стохастическая процентная ставка следует процессу Орнштейна- Уленбека, в финансовом анализе обычно называемому «процессом с возвраще-нием к среднему». В этой модели процентная ставка имеет нормальное распреде-ление, что очевидно является экономически несостоятельным, так как по смыслупроцентная ставка не может принимать отрицательных значений. Вместе с темэта модель использовалась многими по той причине, что во многих случаях соот-ношение между средним значением и дисперсией реальных ставок таково, что ве-роятность появления их отрицательных значений оказывается очень малой. В тоже самое время анализ модели Васичека и цен активов, основанных на ней, оченьпрост, так как приводит к линейным задачам. Позже, в 1985 г. Коксом, Ингерсол-лом и Россом была предложена другая модель, называемая еще «моделью с квад-ратным корнем», в условиях которой процентная ставка принимает только неот-рицательные значения и имеет распределение гамма. Однако анализ процентныхставок и цен активов, основанных на этой модели, хотя и приводит к аналитиче-ским результатам, но они существенно сложнее, так как предполагают решениенелинейных задач. Возможность получения аналитических результатов − главноепреимущество аффинных моделей. Аналитические результаты важны, потому чтоиначе доходности должны вычисляться либо методами Монте-Карло, либо мето-дами решения уравнений с частными производными. Оба эти подхода являются ввычислительном отношении трудоемкими, особенно когда параметры моделинужно оценивать, используя выборочные данные доходностей облигации. Поэто-му литература по определению цен облигаций, начиная с работ Васичека и Кокса,Ингерсолла и Росса (далее CIR), сосредоточивала внимание на решениях в замк-нутой форме. Безрисковая процентная ставка в этих первых однофакторных по-становках была единственным параметром состояния финансового рынка, а этоприводило к тому, что доходности облигаций всех сроков погашения были полно-стью коррелированы. Последовали многие расширения этих постановок как сточки зрения числа переменных состояния, так и с точки зрения процессов, поро-ждающих эти переменные. В [2] предложена полная характеризация моделей саффинными доходностями облигации. С практической точки зрения интереснорассмотреть проблему, насколько сильно различаются результаты, полученные спомощью этих моделей при согласованных процессах безрисковой процентнойставки. Основной целью настоящей статьи является получение аналитическихрешений при анализе временной структуры процентных ставок доходности бес-купонных облигаций, использующей модель Кокса - Ингерсолла - Росса в одно-факторном и многофакторном варианте, а также сравнение кривых доходности ифорвардных кривых, вытекающих из описанных выше моделей поведения крат-косрочной процентной ставки.1. Однофакторная модель Кокса - Ингерсолла - РоссаВ однофакторном случае в качестве состояния рынка обычно принимаетсякраткосрочная ставка X(t) = r(t), а соответствующее стохастическое уравнениеимеет вид [3, с. 391]dr(t) = k(θ − r(t))dt + σ r(t) dW(t), (1)где k, θ, σ − скалярные константы, т.е. K = k, α = 0, β = σ2, ξ = 0, η = σλ.В этом случае принимается, что y(r) = r, т.е. φ = 1. Уравнения для определенияфункций A(τ) и B(τ) (см. формулы (4) - (5) в [1, с. 3]) приобретают видA′(τ) = − kθB(τ), A(0) = 0,B′(τ) = 1 − (σλ + k)B(τ) − σ2B(τ) 2/2, B(0) = 0.Решения этих уравнений выражаются в видеA(τ) = − 22kθσ[vτ − ln(1 + vВ(τ))], В(τ) =1,1Ve−ετ⎛⎜ ε + ⎞⎟⎝ − ⎠(2)где для краткости обозначено2 2 ε = (k+σλ)+2σ , v = (ε − σλ − k)/2, V = (ε + σλ + k)/2.Заметим, что v + V = ε, vV = σ2/2, V − v = σλ + k, τ = [ln(1 + vВ) − ln(1 − VВ)]/ε.Кривая доходности y(τ, r) и форвардная кривая f(τ, r) определяются соответст-венно выражениямиy(τ, r) = ( ) ln(1 ( ))1B k vBrV vτ+ θ⎛⎜− + τ⎞⎟τ ⎝ τ ⎠τ→∞→ y(∞) = ,kVθf(τ, r) = r + [kθ − (V − v)r]B(τ) − vVr[В(τ)] 2τ→∞→kVθ= y(∞).Функция B(τ) в этом случае является монотонно возрастающей функцией от 0до 1/V при увеличении τ от 0 до ∞. B(∞) = 1/V. Поскольку B(τ) - монотоннаяфункция, определяющая дюрацию процентной ставки, ее значения и в этом слу-чае могут быть использованы в качестве значений аргумента для кривой доходно-сти y(τ, r) и форвардной кривой f (τ, r) вместо срока до погашения τ, так чтобыy(τ, r) ↔ Y(B, r), f (τ, r) ↔ F(B, r). Аналитические выражения для функций Y(B, r)и F(B, r) имеют вид [4, с. 116]Y(B, r) = ln(1 )ln(1 ) ln(1 )k rB k vB vVV vB VBθ − θ ++ ε+ − −, F(B, r) = r + [kθ − (V − v)r] B − vVr В 2.Как видно, выражения для функций y(τ, r) и f(τ, r), а следовательно, и дляY(B, r) и F(B, r) рассматриваемой модели Кокса - Ингерсолла - Росса (моделиCIR) существенно отличаются по внешнему виду от соответствующих выражений вмодели Васичека [1, с. 4]. В связи с этим интересно сравнить поведение этих функ-ций для согласованных процессов безрисковой процентной ставки (1), которые какв модели Васичека, так и в модели CIR задаются тремя параметрами: k, θ и σ.В обоих процессах параметр θ - стационарное математическое ожидание процесса,а параметр k определяет функцию корреляции процесса ρ(τ) = ехр{− k |τ|}. Вола-тильностью σ определяется стационарная дисперсия D процессов по следующимформулам: для модели Васичека D = σ2/2k, для модели CIR D = σ2θ/2k. Согласо-ванными процессами безрисковой процентной ставки будем называть такие, у ко-торых стационарные математические ожидания θ, стационарные дисперсии D, атакже функции корреляции ρ(τ) одинаковы. Чтобы сами модели были согласова-ны, добавим к этому требование, чтобы значения функции рыночной ценой рискаλ(r) для обеих моделей были одинаковы при r = θ.Можно сразу указать на следующее очевидное различие в моделях Васичека иCIR. Предельные ставки доходности y(∞) в рассматриваемых моделях различные:для модели Васичека y(∞) = θ − σλ/k − σ2/2k2, а для модели CIR y(∞) = 2kθ/(ε ++ σλ + k). Поскольку по определению ε > 0, предельная доходность в модели CIRвсегда положительна, в то время как при достаточно большой волатильности σ >k(λ2+2θ −λ) предельная доходность в модели Васичека становится отрицатель-ной, что противоречит экономическому смыслу доходности. На рис. 1 это иллю-стрируется численными расчетами.-0,4-0,200,20,40,60,80 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1Волатильность, σY_Vas Y_CIRРис. 1. Поведение предельной доходности в зависимости от волатильностидля моделей Васичека и CIR при θ = 0,7; k = 0,8; λ = 0,25На рис. 2 для сравнения представлены два способа изображения кривой до-ходности y(τ, r) и форвардной кривой: как функций f (τ, r) и y(τ, r) от срока до по-гашения τ (рис. 2, а) и как функций F(B, r) и Y(B, r) от дюрации B(τ) процентнойставки r (рис. 2, б). Из рисунков видно, что первый способ позволяет изображатьфункции только для ограниченного интервала времени (на рисунке до 10 лет), вто время как второй способ показывает зависимости для всего интервала сроковдо погашения от 0 до ∞. Для выбранных параметров на рисунках кривые, соответ-ствующие модели CIR, располагаются выше, чем соответствующие кривые моде-ли Васичека.0,0500,0550,0600,0650 5 10 ♦y(t) Vas f(t) Vas y(t) CIR f(t) CIR T0,0500,0520,0540,0560,0580,0600,0620,0640 0,5 1 1,5 2 BY(B) Vas F(B) Vas Y(B) CIR F(B) CIR T Vas T CIRабРис. 2. Графики функций f(τ, r) и y(τ, r) - а и F(B, r) и Y(B, r) - б в случае однофакторныхмоделей Васичека и CIR для согласованных процессов безрисковой ставкиПри построении графиков на рис. 2, а и б были выбраны следующие значенияпараметров: k = 0,5; σВасичек = 0,1; σCIR = 0,3724; λ = 0,01; θ = 0,0721; r = 0,06.Маркерами на горизонтальной оси рисунков отмечены обычно используемыесроки до погашения бескупонных облигаций: 0,25, 0,5, 1, 2, 3, 5, 7, 10, 20 и 30 лет(на рис. 2, б квадратные метки соответствуют модели Васичека, а круглые - моде-ли CIR). На рис. 2, а по горизонтальной оси показаны сроки до погашения τ в го-дах; на рис. 2, б по горизонтальной оси отложена дюрация B(τ). Заметим, что пре-дельные значения дюраций безрисковой процентной ставки B(τ) для различныхмоделей различаются. В частности, из выражения (2) следует, что для модели CIRпри τ → ∞ дюрация B(τ) → B(∞) = 1/V, в то время как для модели Васичека приτ → ∞ дюрация B(τ) → B(∞) = 1/k. Если σCIR + kλ > 0, то V > k и интервал измене-ния дюрации безрисковой процентной ставки для модели CIR будет короче, чем умодели Васичека. Для выбранных параметров на рисунках BCIR(∞) = 1,623, в товремя как BВасичек(∞) = 2.2. Обобщение модели CIR на многофакторный случайВ многофакторном случае при m = n (размерность вектора винеровских про-цессов m совпадает с размерностью вектора состояния n) уравнение для состояниярынка приобретает видdX(t) = K(θ − X(t))dt + σ(X(t))dW(t).Здесь предполагается, что K − (n.n)-матрица, θ − n-вектор, матрица волатильно-сти σ(x) = σ〈 x 〉, σ − (n.n)-матрица, а вектор рыночных цен риска тоже зависитот состояния рынка λ(x) = 〈 x 〉λ; 〈 x 〉 − диагональная (n.n)-матрица, по диаго-нали которой стоят квадратные корни компонент вектора x. Таким образом,σ(x)σ(x)Т =1,ni iix=Σβ σ(x)λ(x) =1.ni iix=ΣηДифференциальные уравнения для функции A(τ) и компонент вектора B(τ) бу-дут иметь видA′(τ) = − (Kθ)ТB(τ), A(0) = 0, (4)Bi′(τ) = φi − B(τ)Т(ηi + Ki) − B(τ)ТβiB(τ)/2, Bi(0) = 0; 1 ≤ i ≤ n. (5)В системе уравнений (5) символ Ki обозначает i-й столбец матрицы K, 1 ≤ i ≤ n,а элементы вектора ηi и матрицы βi определяются выражениями(βi)kj = ki ji ,σ σ 1 ≤ k, j ≤ n; (ηi)k = ki i ,σ λ 1 ≤ k ≤ n; 1 ≤ i ≤ n.Функция A(τ) достаточно просто определяется из уравнения (4), если векторB(τ) известен. Однако решение системы уравнений (5) для B(τ) в аналитическомвиде получить не удается, и B(τ) определяется только численно. Рассмотрим этупроблему для частного случая n = 2 в предположении, что состояние рынка опи-сывается не только краткосрочной ставкой, но также экспоненциально сглажен-ным ее средним значением [3, c. 398]. Состояние рынка X(t) в этом случае харак-теризуется двумя компонентами, одной из которых r(t) является наблюдаемаякраткосрочная ставка, а другой s(t) - экспоненциально сглаженное ее среднее зна-чение. Уравнения состояния рынка приобретают видdr(t) = k1(θ − r(t))dt + σ1 r(t) dW1(t),ds(t) = k2(r(t) − s(t))dt + σ2 s(t) dW2(t).Параметры модели в этом случае задаются соотношениямиK = 12 2k 0k k⎛ ⎞⎜⎝− ⎟⎠, θ =⎛θ⎞⎜⎝θ⎟⎠, σ = 1200⎛σ ⎞⎜⎝ σ ⎟⎠, φ = 12⎛φ ⎞⎜⎝φ ⎟⎠, λ = 12⎛λ ⎞⎜⎝λ ⎟⎠.Винеровские процессы W1(t) и W2(t) предполагаются независимыми. Уравне-ния (4) и (5) для функций временной структуры A(τ) и B(τ) получаются такими:A′(τ) = − k1θB1(τ), A(0) = 0; (6)B1′(τ) = φ1 − (σ1λ1 + k1)B1(τ) + k2B2(τ) − σ12B12(τ)/2, B1(0) = 0; (7)B2′(τ) = φ2 − (σ2λ2 + k2)B2(τ) − σ22B22(τ)/2, B2(0) = 0. (8)Решение этой системы следует реализовывать в следующей последовательно-сти. Сначала решается уравнение Риккати (8), его решение можно представить вявной форме, подобной (2):В2(τ) =2122 ,1Ve−ε τ⎛ ε ⎞⎜ + ⎟⎝ − ⎠где для краткости обозначено2 22 2 2 2 2 2 ε = (k +σ λ) +2φ σ , V2 = (ε2 + σ2λ2 + k2)/2.Затем следует решать уравнение Риккати (7) относительно дюрации B1(τ), ко-торое отличается от уравнения (8) тем, что не все его параметры являются кон-стантами, а это не позволяет представить решение в явном виде. Однако для вы-числения B1(τ) может быть использована следующая приближенная формула:1B (τ) =111( ) 1( )( ) ,1Ve−τε τ⎛ ε τ ⎞⎜ + τ⎟⎝ − ⎠(9)где использованы обозначения2 21 1 1 1 1 2 2 1 ε (τ) = (k+σλ ) +2(φ +kB (τ))σ , V1(τ) = (ε1(τ) + σ1λ1 + k1)/2.Определим точность δ(τ) аппроксимации функции B1(τ) по формуле (9) разно-стью δ(τ) = 1B (τ)− B 1(τ). На рис. 3 представлен пример точности δ(τ), вычислен-ной для следующих значений параметров:φ1 = 0,5; φ2 = 0,5; k1 = 0,5; k2 = 0,4; λ1 = 0,02; λ2 = 0,01;θ = 0,0721; σ1 = 0,3724; σ2 = 0,0372.00,10,20,30 4 8 12 16 τδ(τ)Рис. 3. Точность δ(τ) аппроксимации функции B1(τ)При известной функции B1(τ) третье уравнение (6) может быть проинтегриро-вано.Получив таким образом функции A(τ) и B(τ), для определения кривой доход-ности y(τ, r) и форвардной кривой f(τ, r) можно использовать формулы [1, с. 3]T ( ) ( )( , )x B Ay xτ − ττ =τ, T ( ) ( )( , )dB dAf x xd dτ ττ = −τ τ.Затем переходя к новой временной переменной B1(τ), получаем функцииF(B1, r, s) и Y(B1, r, s).На рис. 4 представлены графики этих функции для двухфакторных моделейВасичека и CIR.0,0350,0450,0550,0 0,5 1,0 1,5 BY B ( ) Vas F B ( ) Vas Y B ( ) CIR F(B) CIR T Vas T CIRРис. 4. Графики функций F(B, r, s) и Y(B, r, s) в случае двухфакторных моделейВасичека и CIR для согласованных процессов безрисковой ставки, r < θПри построении графиков на рис. 4 выбирались следующие значения парамет-ров: φ1 = 0,5; φ2 = 0,5; k1 = 0,5; k2 = 0,4; λ1 = 0,02; λ2 = 0,01; θ = 0,0721; r = 0,02;s = 0,058; из условия согласования процессов безрисковой ставки для модели Ва-сичека: σ1 = 0,1; σ2 = 0,01; для модели CIR: σ1 = 0,3724; σ2 = 0,0372. По горизон-тальной оси отложена дюрация B1(τ). Маркерами на горизонтальной оси отмече-ны обычно используемые сроки до погашения бескупонных облигаций (квадрат-ные метки соответствуют модели Васичека, а круглые - модели CIR). Видно, чтопредельные значения дюраций безрисковой процентной ставки B1(τ) для различ-ных моделей различаются. В частности, для модели Васичека при τ → ∞ дюрацияB1(τ) → B1(∞) = 1/k1. Однако для модели CIR предельное значение при τ → ∞ дю-рация B1(τ) стремится к значению B1(∞), которое выражается через параметры до-вольно громоздко:B1(∞) = 2 2 21 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 [ (σ λ +k) +2(φ +kB (∞))σ −σ λ −k ]/σ ,где в свою очередь B2(∞) определяется формулойB2(∞) = 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 [ (σ λ +k) +2φ σ −σ λ −k]/σ .Для выбранных параметров рис. 3 дюрация B1CIR(∞) = 1,6123, в то время какB1Васичек(∞) = 2.На рис. 5 представлены графики функций F(B, r, s) и Y(B, r, s) для таких жезначений параметров, что и в случае рис. 4, за одним исключением: значение без-рисковой процентной ставки в дату определения цены бескупонной облигацииr = 0,12 больше среднего значения безрисковой процентной ставки θ = 0,0721(для рис. 3 эта ставка r = 0,02). Как видно, изменение процентной ставки r можетсущественным образом изменять картину поведения кривой доходности и фор-вардной кривой.0,0950,0 0,5 1,0 1,5 BY B ( ) Vas F B ( ) Vas Y B ( ) CIR F(B) CIR T Vas T CIRРис. 5. Графики функций F(B, r, s) и Y(B, r, s) в случае двухфакторных моделейВасичека и CIR для согласованных процессов безрисковой ставки, r > θНе анализируя подробно полученные с помощью численных расчетов графикифункций F(B) и Y(B), отметим их следующие особенности. Кривая доходностиY(B) в окрестности предельной доходности при B1(∞) имеет неограниченную поабсолютной величине производную. Для использованных значений параметровмодели можно отметить следующее. При малых значениях безрисковой процент-ной ставки в момент определения цены бескупонной облигации, r < θ, форварднаяставка F(B) больше ставки доходности до погашения Y(B) для любых значенияхдюрации безрисковой ставки B1. При больших значениях безрисковой процентнойставки в момент определения цены бескупонной облигации, r > θ, форварднаяставка F(B) наоборот меньше ставки доходности до погашения Y(B) также длялюбых значениях дюрации безрисковой ставки B1. Кроме того, в первом случае(r < θ) доходности для модели CIR больше соответствующих доходностей моделиВасичека, а во втором случае (r > θ), наоборот, доходности для модели Васичекабольше соответствующих доходностей модели CIR. Эти особенности функцийF(B) и Y(B) можно уточнить аналитически, но из-за ограничения объема статьимы оставляем это для будущего.Заметим, что используя систему уравнений (4), (5) форвардную кривую длямодели CIR можно записать в векторной формеT ( ) ( )( , )dB dAf x xd dτ ττ = −τ τ== хТφ − B(τ)Т[σ(x)λ(x) − K(θ − х)] − B(τ)Тσ(x)σ(x)ТB(τ)/2 ≡ F(B, х).Отсюда следует, что вторая производная форвардной кривой F(B, х) по состав-ляющим вектора B дюраций компонент состояния финансового рынка являетсяотрицательно определенной матрицей (вектор состояний здесь рассматриваетсякак вектор параметров)22d F(B,x)dB= − σ(x)σ(x)Т.Это, в частности, означает, что форвардные кривые в моделях CIR всегда яв-ляются вогнутыми функциями.ЗаключениеВ известной литературе по моделям временной структуры доходности обычноконстатируется, что кривая доходности и форвардная кривая расходятся с увели-чением времени до погашения. Однако это имеет место только для области малыхсроков до погашения. В предыдущей [1] и настоящей статьях показано, что длябольших сроков до погашения эти кривые стремятся к одному общему предель-ному значению. Это предельное значение определено в явной аналитическойформе.Как следует из аналитического вида кривой доходности и форвардной кривой,эти кривые при τ = 0 стартуют из точки, определяемой состоянием рынка в мо-мент определения цены бескупонной облигации. Для однофакторных моделей -это значение безрисковой процентной ставки, для многофакторных моделей - этовзвешенная сумма компонент вектора состояния. В свою очередь, предельноезначение этих кривых при τ → ∞ совершенно не зависит от состояния рынка вмомент определения цены бескупонной облигации, а зависит только от парамет-ров модели и, в первую очередь, от математических ожиданий компонент векторасостояния. Поэтому можно было бы ожидать, что на доходность долгосрочныхоблигаций состояние рынка в момент определения цены бескупонной облигациипрактически не влияет. Однако это не так. Как показали численные результаты,проведенные для моделей Васичека и Кокса - Ингерсолла - Росса, состояниерынка в момент определения цены бескупонной облигации может существеннымобразом изменить картину поведения этих кривых даже в области продолжитель-ных сроков до погашения.

Скачать электронную версию публикации