The joint density ofprobability intervals MAP of the flow of events and conditions of its recurrence.pdf Математические модели теории массового обслуживания широко применяют-ся при описании реальных физических, технических и других процессов и систем.В связи с бурным развитием компьютерной техники и информационных техноло-гий появилась еще одна важная сфера приложений теории массового обслужива-ния - проектирование и создание информационно-вычислительных сетей, компь-ютерных сетей связи, спутниковых сетей, телекоммуникационных сетей и т.п.Усложнение структуры информационно-телекоммуникационных систем, инте-грация различных систем связи, разнообразие программного и аппаратного обес-печения, протоколов передачи данных привели в конце 80-х - начале 90-х годовпрошлого века к созданию цифровых сетей интегрального обслуживания (IntegratedServices Digital Networks - ISDN). Данные сети характеризуются тем, что поединым аппаратным средствам совместно передаются самые разнообразные видыинформации - большие массивы данных, речь и видео в цифровой форме, факси-миле и т.д. При этом теория построения математических моделей функциониро-вания информационно-телекоммуникационных систем, существовавшая до сере-дины 80-х годов прошлого века, во многом становится непригодной для анализаинформационных процессов, протекающих в ISDN. В связи с этим в это же времябыла предпринята успешная попытка создания адекватных математических моде-лей информационных потоков в телекоммуникационных системах так называе-мых дважды стохастических потоков событий.На практике параметры, определяющие входной поток событий, известны ли-бо частично, либо вообще неизвестны, либо (что ещё больше ухудшает ситуацию)они изменяются со временем, при этом изменения часто носят случайный харак-тер, последнее приводит к рассмотрению дважды стохастических потоков собы-тий. По-видимому, одна из первых работ в этом направлении была опубликованав [1], где дважды стохастический поток определяется как поток, интенсивностькоторого есть случайный процесс. Дважды стохастические потоки можно разде-лить на два класса: к первому классу относятся потоки, интенсивность которыхесть непрерывный случайный процесс; ко второму - потоки, интенсивность кото-рых есть кусочно-постоянный случайный процесс с конечным числом состояний.Подчеркнем, что потоки второго класса впервые введены в рассмотрение практи-чески одновременно в 1979 г. в [2-4]. В [2, 3] введенные потоки названыMC (Markov chain)-потоками; в [4] - MVP (Markov versatile processes)-потоками.Последние начиная с конца 80-х годов, особенно с появлением статьи [5], носятназвание MAP (Markovian Arrival Process)-потоков событий. Отметим, что MAP-потоки событий наиболее характерны для реальных телекоммуникационных се-тей [6]. В свою очередь, в зависимости от того, каким образом происходит пере-ход из состояния в состояние, MC-потоки можно разделить на три типа: 1) син-хронные потоки событий [7, 8]; 2) асинхронные потоки событий [9, 10]; 3) полу-синхронные потоки событий [11]. Здесь указаны ссылки, в которых авторы впер-вые рассматривали MC-потоки событий в соответствии с приведенной классифи-кацией. Наиболее общая литература по рассматриваемым типам MC-потоков со-бытий приведена в [12]. В [13] введены в рассмотрение MAP-потоки событийпервого порядка (собственно MAP-потоки, введенные в [5]) и MAP-потоки собы-тий второго порядка (суперпозиция (простая сумма) двух MAP-потоков первогопорядка, отличающихся друг от друга исходными параметрами). В [13] показыва-ется, что синхронный MC-поток является частным случаем MAP-потока первогопорядка, асинхронный и полусинхронный MC-потоки являются частным случаемMAP-потока второго порядка.Режим функционирования системы массового обслуживания непосредственнозависит от параметров MC(MAP)-потока и состояний, в которых находится поток.Если система обслуживания функционирует в условиях полной (все параметрыпотока априорно неизвестны) либо частичной (часть параметров потока априорнонеизвестна) неопределенности, то возникает задача оценки параметров потока понаблюдениям за потоком (по наблюдениям за моментами наступления событий)[8, 14, 15]. Что касается состояний MC(MAP)-потока событий, то даже тогда, ко-гда поток функционирует в условиях отсутствия априорной неопределенности(параметры потока полностью известны), сказать о том, в каком состоянии нахо-дится поток в тот или иной момент времени без наблюдений за потоком, возмож-но только на основании априорных данных. В этом случае возникает задача оцен-ки состояний потока событий (задача фильтрации интенсивности потока) по на-блюдениям за моментами наступления событий [7, 9-12, 16, 17].Для решения задачи оценивания (тем или иным статистическим методом) па-раметров потока в первую очередь необходимо знание вероятностных свойств по-тока. В настоящей статье рассматривается MAP-поток событий первого порядка(далее MAP-поток, либо просто поток), находятся явные виды плотности вероят-ностей значений длительности интервала между моментами наступления сосед-них событий потока и совместной плотности вероятностей значений длительно-сти двух соседних интервалов.1. Постановка задачиРассматривается MAP-поток с интенсивностью, представляющей собой ку-сочно-постоянный случайный процесс ƒ(t) c двумя состояниями: ƒ(t) = ƒ1 либоƒ(t) = ƒ2 ( ƒ1 > ƒ2 ). Длительность пребывания процесса ƒ(t) в i-м состоянииесть случайная величина с экспоненциальной функцией распределения( ) 1 ƒitFi t = −e− , i = 1, 2. В момент окончания i-го состояния процесса ƒ(t) возмож-ны следующие ситуации, каждая из которых протекает мгновенно: 1) процесс ƒ(t)переходит из i-го состояния в i-е и наступает событие потока в i-м состоянии; со-вместная вероятность этой ситуации P(ƒi ƒi,1)=P1(ƒi|ƒi), i = 1, 2; 2) процессƒ(t) переходит из i-го состояния в j-е и наступает событие потока; совместная ве-роятность этой ситуации есть P(ƒi  ƒ j,1)=P1(ƒi|ƒ j), i, j = 1, 2; i ≠ j; 3) процессƒ(t) переходит из i-го состояния в j-е и событие потока не наступает; совместнаявероятность этой ситуации есть P(ƒi  ƒj,0)=P0(ƒj|ƒi), i, j = 1, 2; i ≠ j. Приэтом P0(ƒj|ƒi)+P1(ƒj|ƒi)+ P1(ƒi|ƒi)=1, i, j = 1, 2; i ≠ j. Блочная матрица инфи-нитезимальных характеристик процесса ƒ(t) при этом примет вид1 10 2 1 1 1 1 1 1 1 2 10 12 0 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2( | ) ( | ) (( || )) (( || )) |−ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ= =ƒ ƒ ƒ −ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒDP P PP PP DD .Элементами матрицы D1 являются интенсивности переходов процесса ƒ(t) изсостояния в состояние с наступлением события. Недиагональные элементы мат-рицы D0 - интенсивности переходов из состояния в состояния без наступлениясобытия. Диагональные элементы матрицы D0 - интенсивности выхода процессаƒ(t) из своих состояний, взятые с противоположным знаком. В сделанных предпо-ложениях ƒ(t) - марковский процесс. Заметим, что в приведенном определенииMAP-потока в явном виде не оговаривается, в каком состоянии процесса ƒ(t) на-ступает событие потока при переходе ƒ(t) из первого (второго) состояния во вто-рое (в первое). В связи с этим, во-первых, отметим, что в реальных потоках собы-тий, моделями которых являются MAP-потоки, событие потока (в момент окон-чания того или иного состояния процесса ƒ(t)) наступает с полной определенно-стью в первом либо во втором состояниях процесса ƒ(t), т.е. установлена причин-но-следственная связь: первично наступление события потока, вторичен переходпроцесса ƒ(t) из состояния в состояние либо наоборот. Во-вторых, в задачах рас-чета характеристик потока, например среднего числа событий, наступивших вединицу времени в том или ином состоянии процесса ƒ(t), в задачах оценки пара-метров MAP-потока событий данное обстоятельство необходимо учитывать, ина-че расчеты во многих случаях будут некорректными. В настоящей статье, при по-лучении аналитических результатов, данное обстоятельство является несущест-венным, так как наступление события и переход процесса ƒ(t) из i-го состояния вj-е, i, j = 1,2; i ≠ j, происходят мгновенно. Вариант возникающей ситуации приве-ден на рис. 1, где 1, 2 - состояния случайного процесса ƒ(t); t1, t2 ,…- моменты на-ступления событий. Если положить P0(ƒ2|ƒ1)=P0(ƒ1|ƒ2)=0, то имеет местосинхронный поток событий [15].Рис. 1. Формирование МАР-потока событийПроцесс ƒ(t) является принципиально ненаблюдаемым (скрытый марковскийпроцесс), а наблюдаемыми являются только временные моменты наступления со-бытий потока t1, t2 ,… . Рассматривается установившийся (стационарный) режимфункционирования потока событий. В силу предпосылок последовательность мо-ментов наступления событий t1, t2 ,…, tk,… образуют вложенную цепь Маркова,т.е. MAP-поток обладает марковским свойством, если его эволюцию рассматри-вать с момента tk (момент наступления события), k = 1,2,… . Обозначим τk = tk+1 -tk, k = 1,2,…, - значение длительности k-го интервала между соседними события-ми потока. Так как рассматривается стационарный режим, то плотность вероятно-стей значений длительности k-го интервала p( τk)=p(τ),τ≥0, для любого k.В силу этого момент времени tk без потери общности можно положить равнымнулю, или, что то же самое, момент наступления события есть τ = 0. Пусть теперь(tk, tk+1), (tk+1, tk+2) - два смежных интервала с соответствующими значениями дли-тельностей: τk = tk+1 - tk, τk+1 = tk+2 - tk+1; их расположение на временной оси, в силустационарности потока, произвольно. Тогда можно положить k = 1 и рассмотретьсоседние интервалы (t1, t2), (t2, t3) с соответствующими значениями длительно-стей: τ1 = t2- t1, τ2 = t3- t2; τ1 ≥ 0, τ2 ≥ 0. При этом τ1 = 0 соответствует моменту t1наступления события потока; τ2 = 0 соответствует моменту t2 наступления сле-дующего события потока. Соответствующая совместная плотность вероятностейпри этом есть p(τ1, τ2), τ1 ≥ 0, τ2 ≥ 0.Задача заключается в нахождении явного вида p(τ) и явного вида p(τ1, τ2), атакже в установлении условий рекуррентности MAP-потока событий.2. Вывод плотности вероятностей p(τ)Введем в рассмотрение вероятности pij(τ) того, что на интервале (0,τ) нет собы-тий потока и в момент времени τ имеет место ƒ(τ) = ƒj при условии, что в моментвремени τ = 0 значение процесса ƒ(0) = ƒi, i, j = 1, 2. Тогда для вероятностей pij(τ)справедливы следующие системы дифференциальных уравнений:p11(τ) = −ƒ1 p11(τ)+ ƒ2P0(ƒ1 | ƒ2)p12(τ), p12(τ) = ƒ1P0(ƒ2 | ƒ1)p11(τ)− ƒ2 p12(τ);p22(τ) = −ƒ2 p22(τ)+ ƒ1P0(ƒ2 | ƒ1)p21(τ), p21(τ) = ƒ2P0(ƒ1 | ƒ2)p22(τ)− ƒ1 p21(τ),с граничными условиями: p11(0) = 1, p12(0) = 0; p22(0) = 1, p21(0) = 0, решая которыенаходим1 211 2 1 2 22 1p (τ) 1 ( z )e z τ ( z )e z τz z= − ⎡⎣ƒ − − − ƒ − − ⎤⎦, 1 0 2 1 ( 1 2 )122 1( | )( ) P z τ z τp τ e ez zƒ ƒ ƒ − −= −−,2 0 1 2 ( 1 2 )212 1( | )( ) P z τ z τp τ e ez zƒ ƒ ƒ − −= −−, 1 222 1 1 1 22 1p (τ) 1 ( z )e z τ ( z )e z τz z= − ⎡⎣ ƒ − − − ƒ − − ⎤⎦,2`1` 1 2 1 2 1 2 0 2 1 0 1 21 ( ) 4 ( | ) ( | )2z= ⎡⎢⎣ƒ +ƒ − ƒ −ƒ − ƒ ƒPƒ ƒ P ƒ ƒ ⎤⎥⎦ ,22 1 2 1 2 1 2 0 2 1 0 1 21 ( ) 4 ( | ) ( | );2z=⎡⎢⎣ƒ +ƒ + ƒ −ƒ − ƒ ƒPƒ ƒ P ƒ ƒ⎤⎥⎦ 0

Скачать электронную версию публикации