On term structure of yield rates. 4. The Duffie - Kan two factor model.pdf Обычно рассматриваются модели процентной ставки, в которых краткосрочная ставка r(t) является единственной переменной состояния. Эти модели привлекательны тем, что часто дают возможность получать аналитические решения и обеспечивают относительно простой вычислительный анализ. Однако однофак-торные модели имеют определенные недостатки. Основной из них состоит в том, что вся временная структура управляется только единственным значением краткосрочной ставки, зафиксированным в начальный момент построения временной структуры. А это представляется неразумным с экономической точки зрения. Для того чтобы избежать этого недостатка авторы предлагают для моделирования неопределенности процентной ставки использовать более чем одну переменную состояния. При переходе от единственного фактора к нескольким должно быть улучшение аппроксимации временной структуры. Ценой за это в общем случае является потеря возможности получения аналитических решений, получение уравнений с частными производными с повышенной размерностью и усложнение процедуры получения результатов. Выбор подходящих факторов также важен. Здесь снова возникает проблема выполнения условий отсутствия арбитража и построения равновесных моделей. Большинство известных многофакторных моделей основываются на двух факторах. Дж. Кокс, Дж. Ингерсолл и С. Росс (CIR, 1985) и С. Ричард (1978) использовали спот-ставку и ставку инфляции, Ф. Лонгстафф и Е. Шварц (1991) - спот-ставку и ее волатильность, Д. Даффи и Р. Кан (1996) - доходность на фиксированный набор облигаций, М. Бреннан и Е. Шварц (1979) - долгосрочную и краткосрочную ставки, С. Шейфер и Е. Щварц (1987) - краткосрочную ставку и спред, Г. Фонг и О. Васичек (1991) - краткосрочную ставку и ее волатильность, С. Дас и С. Фореси (1996) - краткосрочную ставку и ее среднее и т.д. В последнее время были разработаны трехфакторные модели, из которых наиболее известными являются модель Л. Чена (1996) и модель П. Балдуччи, С. Даса, С. Фореси и Р. Сан-дарама (BDFS, 1996). В этих моделях в качестве переменных состояния используются краткосрочная ставка, ее локальное среднее и ее волатильность. Некоторые модели получаются расширением однофакторных арбитражных моделей путем предположения о том, что параметры модели могут изменяться со временем, такой параметр включается в число переменных состояния и добавляется соответствующее уравнение его динамики. Как и в случае их однофакторных версий, многофакторные арбитражные модели создают безрисковый портфель в текущем времени относительно всех рассматриваемых факторов для получения из арбитражных рассуждений уравнения в частных производных, которому должна удовлетворять стоимость актива. Общие свойства многофакторных моделей временной структуры доходностей были представлены в [1]. Там предполагалось, что динамика переменных состояния рынка может описываться многомерным стохастическим уравнением dX(t) = К(6 - X(t)) dt + a(X(t)) dW(t), гдеX(t) - n-вектор состояния; 6 - n-вектор математических ожиданий E[X]; a(X) -(яхт)-матрица волатильности; K - (пхи)-матрица коэффициентов возвращения к среднему; W(t) - m-вектор независимых стандартных винеровских процессов. Чтобы временная структура доходности была аффинной, матрица волатильности и m-вектор рыночных цен риска X(x) должны обладать свойствами n n a(x)a(x)T = а + XPi*i, a(x)X(x) = Е + ^ПХ, i=1 i=1 где а и р, - (пхп)-матрицы; Е и п - n-векторы, xi - компоненты вектора x. Указанные соотношения удовлетворяются при ct(x) = а^у + Г^, X(x) = (Vy + rx) X , где у, X - m-векторы, а - (пхт)-матрица, Г - (тхп)-матрица, а ^-Jy - диагональная (тхт)-матрица, по диагонали которой стоят квадратные корни компонент вектора у + rx. В этом случае а = а(у)аТ, Е = а(у)Х, а элементы матрицы Р, и вектора п определяются равенствами mm (вдк) = Ъакиаjurui, 1 < k j < n; (ni)k = ГиХи, 1 < k < n. u =1 u =1 В этом случае скалярная функция временной структуры А(т) и n-вектор В(т)Т = (Bj(x), В2(т), ..., Вп(т)) удовлетворяют обыкновенным дифференциальным уравнениям А'(т) = (а(у)Х - К6)ТВ(т) + В(х)Та 0, 1 < i < n; Ф1 + ф2 + ... + ф„ = 1. Заметим также, что матрицы Р;, 1 < i < n, по определению являются симметрическими. Основную трудность при определении функций временной структуры А(т) и В(т) представляет решение системы уравнений (1), которая, по существу, является системой уравнений Риккати и не имеет аналитического решения. Проблема решений таких уравнений обсуждалась Д. Даффи и Р. Каном [2], которые предложили численный метод решения с помощью конечно-разностных алгоритмов. Они проиллюстрировали свой подход на примере двухфакторной модели стохастической волатильности, являющейся двухфакторным расширением модели Кокса - Ингерсолла - Росса. Этот пример показал, что такой подход требует довольно громоздких преобразований, большого опыта при выборе параметров сетки и при оценке точности решения. Кроме того, такой метод естественно является приближенным, как и все конечно-разностные методы решения дифференциальных уравнений. Наряду с этим можно использовать другой приближенный метод, основанный на том, что для моделей процентных ставок, приводящих к аффинным временным структурам доходности, оценки параметров на основе реальных рыночных данных показывают, что волатильность в этих моделях обычно мала [3 -7]. Тогда для решения обыкновенных дифференциальных уравнений (1) можно использовать метод малого параметра А. Пуанкаре (1892), рассматривая в качестве малого параметра коэффициент, определяющий порядок малости элементов матрицы волатильности. Идея метода заключается в следующем. В правой части дифференциального уравнения выделяют часть, которую можно считать малой по сравнению с оставшейся. Считая, что эта «малая часть» несущественно влияет на решение уравнения, отбрасывают ее и получают, таким образом, более простое уравнение. Решение этого уравнения принимается за нулевое приближение к решению исходного уравнения. После этого возвращаются к решению исходного уравнения, в правой части которого в «малую часть» подставляется найденное нулевое приближение. Решение получающегося уравнения принимается за первое приближение, и процедура повторяется, пока не будет достигнута необходимая точность. Используем метод малого параметра для определения временных структур доходности для многомерных моделей динамики процентных ставок. 1. Двухфакторная модель «ставка - ее локальное среднее» Идея распространения однофакторных моделей динамики процентных ставок на многофакторный случай состоит в том, что некоторый параметр, который был постоянным в однофакторном случае, считают случайно изменяющимся и при этом предположении добавляют уравнение его стохастической динамики. Так получается двухфакторная модель. Если в качестве этого параметра выбран уровень 0, к которому возвращается процентная ставка, имеем следующую двухфактор-ную модель: dr(t) = kr(0(t) - r(t))dt + 2krDr r(t) - X dWr(t), r(0) > x; (2) V 00 - x * = 'о 1:1, а= d0(t) = k0(00 - 0(t))dt + J2k0D0 0(t) X dW0(t), 0(0) > x. (3) Здесь вектор переменных состояния Х(Г)Т = (r(t), 0(t)), вектор математических ожиданий 0Т = (00, 00). Остальные элементы модели ^2krDr/(00 - x) 0 ^ 0 ^2k0D0I(0О - x) v y=(- X), г=f 0 0 При этом если обозначить для краткости а„ = 42krDrj(00 - x), а22 = D^(00 - x), имеем - fa„i,) „ = ( 0 ) в - Га?, 0) „. = (0 0 n = I '0rJ, n = uJ, * = [7 0J, в" > а2, Kr - \ kr J, K0 - (~K 0 Параметр x определяет нижнюю границу изменения процентной ставки, поэтому он имеет одинаковое значение как в уравнении для краткосрочной процентной ставки r(t), так и в уравнении для ее локального среднего 0(t). Таким образом, уравнения (1) для функций временной структуры В(т)Т -= (Br(x), В0(т)) приобретают вид Br'(т) - Фг - (kr + anXr)Br(x) - an2Br(x)2/2, Br(0) - 0; (4) В0'(т) - Ф0 + krBr(T) - (k0 + a22^0)B0(T) - a222B0(T) 2/2, B0(0) - 0. (5) Уравнение (4) - это уравнение Риккати с постоянными коэффициентами, и его решение имеет вид В(Т) - ФГ I + V (6) где для краткости обозначено sr - V(kr +a,,Xr )2 + 2фга^ , Vr - (s, + ацХ, + kr)/2. Уравнение (5) - это тоже уравнение Риккати, у которого один из коэффициентов, ф0 + krBr(T), зависит от т. Его решение в аналитическом виде записать не удается, хотя при помощи преобразования B0(t) - ——1 его можно свести к лиа^2 Y dT нейному дифференциальному уравнению второго порядка с переменным коэффициентом: d 2Y dY — + (k0 + а22Х0) -— а^2(ф0 + krBr (т))Y - 0. d т2 d т Решение этого уравнения в аналитическом виде, к сожалению, тоже не получается из-за сложного вида B,.^). Воспользуемся методом малого параметра, предполагая, что величины а,2, и а^2 являются малыми. Поскольку процесс 0(t) имеет смысл локального среднего процесса r(t), то естественно предполагать, что k0 D0 < kr Dr. Поэтому в качестве малого параметра 5 можно принять величину 5 - а^Д . Обозначим также ю - а^2/a121 < 1, yr - kr + апХг, у0 - k0 + а22Х0. Уравнения (4), (5) можно записать в виде Br'(т) - фг - yr Br(т) - 5 Br{%)2, Br(0) - 0; (7) B0'Cr) - Ф0 - ^0 B0(т) + krBr(т) - 5 ю B0(т)2, B0(0) - 0. (8) Для успешного применения метода малого параметра обычно требуется, чтобы выражения в правых частях уравнений были аналитическими функциями. Тогда последовательность приближений будет сходиться к истинному решению. В нашем случае это выполняется. Представим функции Вг(т) и Ве(т) в виде рядов по малому параметру ад ад Вг(т) = X Щ (т), В0(т) = X SiHi (T), (9) ;=о ;=о где Gi(т) и Н;(т) - i-е приближения функций Вг(т) и В0(т) соответственно. Подставляя выражения (9) в уравнения (7), (8), получаем уравнения для определения последовательных приближений: Go ' (т) = фг - У г GoCc), G1' (т) = - у г G^) - GoCc)2, G;'(т) = - уг G; (т) - X Gj (z)Gi-(т), i > 2; j=o Ho' (т) = фе - уе Яо(т) + кг Go(т), H1 (т) = - уе Щт) + кг Gl(т) - юЯо(т)2, H (т) = - уе H (т) + кг G(z) - юХ Hj (т)Нг_^ (т), i > 2. j=o Начальные условия для всех приближений нулевые: G;(0)= 0 и Н;(0) = 0, i > 0. Как видно, уравнения для приближений всех порядков - это неоднородные линейные уравнения первого порядка, решение которых не представляет труда. При этом однородные части всех уравнений одинаковые, что тоже облегчает процедуру нахождения решений. Приведем первые приближения Go(c) = (1 -е-ут), G1(т) = -^|(1 -2у^e^ -), Уг у; Ho(т) = (^L + M-'] (1 - e-w) +-k_A-(e-w - ё-угт). We у г уе / У г (уе-у г) Оказывается, что все приближения представляются в виде взвешенной суммы экспонент, такой, что i-е приближение является суммой экспонент с показателями 0, - ут, - 2ут, ..., - (i + 1)ут, причем громоздкость взвешивающих коэффициентов с ростом i быстро растет. Поэтому приближения в аналитическом виде приводить здесь представляется неудобным. Продемонстрировать характер приближений удобнее на численном примере. Д. Ан и Б. Гао [5] приспосабливали модель Даффи - Кана для описания динамики процесса годовой ставки доходности одномесячных бумаг Казначейства США для периода наблюдения с января 1960 г. по февраль 1991 г. Они получили такой результат: dr(t) = 0,1347х (0,0762-r(t))dt + V0,0181x г(t) -0,0006 dW(t). В наших обозначениях это означает, что kr = 0,1347, е0 = 0,0762, Dr = 0,002892, стп = 0,134536, х = 0,033149. Локальное среднее e(t) по смыслу является сглаженной процентной ставкой, поэтому коэффициент возвращения ке и дисперсия De локального среднего e(t) должны быть меньше, чем kr и Dr соответственно. Выберем их равными ke = 0,1kr = 0,01347, De = 0,Шг = 0,0002892. Выберем также ХГ = хе = 0,1, фг = фе = 0,5. Тогда уг = 0,148154, уе = 0,014815, ст22 = 0,013454. В качестве малого параметра выбираем S = ст^Д = 0,009050, ю = ст^/ ct2j = 0,01. Первые три приближения функции Br(z) имеют вид GoCr) - 3,3749х(1 - е- 0,1482хт), 5 ^(т) - - 0,6957(1 - е- а2964хх) + 0,2062хте- а1482хх, 5^2(т) - 0,2867 - 0,1434е- 0,4446хт - (0,2866 + 0,08497хт)е- а2964хх + + (0,1432 - 0,04250хт - 0,006296хт2)е- а1482хх. Поскольку функция Br(т) определяется формулой (6) точно, можно сравнить полученные приближения с точными значениями. На рис. 1 представлены графики относительной погрешности приближений. На рис. 1 использованы обозначения Ц,(т) - B, (т). . G01234 - G0 - B, (т) G0 (т) + 5G, (т) + 52G2 (т) + 53G3 (т) + 54G4 - Br (т) BrCx) ' 0,2 0,15 0,1 0,05 0 -0,05 -0,1 ■ т- ~ •20 —г- 60 40 80 -G01234 ■G0 G01 G012 ■G0123 Рис. 1. Относительная погрешность первых приближений функции Br(i) по методу малого параметра Обозначим через B(1)(т) аппроксимацию функции Br(т) с помощью приближений {GI(т),0 < i < j} и через B01 )(т) - аппроксимацию функции B^) с помощью приближений {Н(т),0 < i хг ; - xr dD(t) = kD( V- D(t))dt + 4\2kDS D(t) Xd dWD(t), D(0) > хD . V - xD Однако в таком виде эти уравнения не приводят к аффинной временной структуре из-за того, что в первом уравнении под корнем появляется произведение процессов r(t) и D(t). Чтобы остаться в рамках аффинной доходности, приходится нижнюю границу процентной ставки хг удалить на бесконечность, хг ^ -ад. Тогда уравнения двухфакторной модели краткосрочной процентной ставки получаются в виде dr(t) = kr(e - r(t))dt + 42krD(t) dWr(t); (10) dD(t) = kD(V- D(t))dt + j2kDS D(t) x dWD(t), D(0) > х > 0. (11) V - x Здесь V и S - соответственно среднее и дисперсия процесса D(t), х = хD - нижняя граница процесса D(t). В этом случае вектор переменных состояния X(t)r = (r(t), D(t)), вектор математических ожиданий еТ = (e, V). Остальные элементы модели могут быть определены следующим образом: K = (kr 0 I = f 10J = f 0 I г = f0 2kr J [ 0 kD J' СТ ^0 1J , Y {-2kDSx/(V-x)J , ^0 2kDSI(V-x)J . Уравнения (1) для функций временной структуры А(т) и В(т)Т = (Br(T), Bd(t)) приобретают вид А'(т) = kreBr(x) + kDVBD(x) + ^2—DSxkD Bd(t) - kDSx Bd(t)2, V - x V - x Br' (т) = Фг - krBr(x), Br(0) = 0, (12) f 2— S I k S Bd'(t) = ФD - I 1 + I kD Bd(t) - 2—rkrBr(T) - kBr(T)2 - —D-Bd(t)2, V V - x J V - x Be(0) = 0. (13) В этой версии двухфакторной модели функция Вг(т) легко находится из уравнения (12): Br(T) = фг (1 - е-krт)/ kr, а в уравнении для функции Bd(t) в качестве малого параметра можно использовать параметр 5 = kD'S , где S - дисперсия процесса D(t), определяя Bd(t) в виде V - x разложения Bd(t) = ^ ад=0 5'BDi (т). При этом нулевое приближение Bd0(t) находится в виде Bd0(t) = /1 (1 - е~ут) + /2 (e~krT - e) + f3 - e^krT), где у = kD(1 + 2XdS/(V - х)), f = (ф0 - фr2/kr - 2Хгфг)/у, f2 = 2(Хгфг + фГ2/kr)/(у - kr), / = ф^/^Ху - 2kr)). Следующие приближения Bd,(t) находятся последовательно из линейных дифференциальных уравнений первого порядка BdI (т) = - vBd,(t) - 5 § BD] (т)Вш+} (т), Bd(t) = 0, i > 1. (14) j=0 Говоря о функции временной структуры Bd(t), следует обратить внимание на то, что с ростом дисперсии процентной ставки доходность облигации уменьшается, как это можно увидеть из анализа однофакторной доходности [8]. Поэтому функция Bd(t) должна быть отрицательной. Краткосрочная ставка доходности ранее была определена как y(x) = хтф и для нашего случая y(r, D) = гфг + DфD. Для того чтобы y(r, D) уменьшалась с увеличением D, необходимо, чтобы фD < 0. С учетом этого возникают ограничения на величину локальной по времени дисперсии краткосрочной процентной ставки, обеспечивающей положительную доходность: D < |гфг/фд|. Решения уравнения (13) оказываются монотонно убывающими функциями, при т ^ ад достигающими предельного значения Вп(ад) < 0. Это значение можно определить из уравнения (13), если учесть, что при т ^ ад в левой части уравнения Bd' (т) ^ 0. Bd(«0 = (- V + Vv2 - 45(ф2 /k, + 2Х,ф, ^d ) )/25. Приближения Bd,(t) имеют такие же свойства, что и Bd(t), а их предельные значения обеспечивают равенство Вв(ад) = § °=0 5'BDi (ад). Из уравнений (14) следует, что предельные значения Вв(ад) определяются по формулам Ва(ад) = ^ - _ = Ф < 0, Ва(ад) = аг f-k-1 Ф+1, i > 1, kD kDkr V kD J где коэффициенты а, i > 1, находятся также, как это делалось выше при анализе двухфакторной модели (2), (3). По аналогии с моделью (2), (3) для модели (12), (13) можно записать j f 5Ф Bd (ад) -Ф§ аг\-— i=0 V kD , j f 5Ф 1 В«(ад) = Ф§ аг \ - — | и В)(т) - Bd(t)| < i=0 V D что определяет верхнюю границу погрешности приближения Вj )(т) = = §i=0 5'BDi (т). Относительную погрешность приближения Bjj )(т) определим, как делалось это выше: ( bD;)(t) - Bd(t))/Bd(t). На рис. 3 эта относительная погрешность представлена для нулевого и первого приближения при следующих параметрах двухфакторной модели: kr = 0,1347, 6 = 0,0762, kD = 0,1, V = 0,002892, S = 0,00001, х = 0, Xr = XD = 0, фг = 0,5, фд = - 0,5. На рис. 4 для этих же параметров для пяти начальных приближений представлены предельные при т ^ ад относительные погрешности, которые определяют верхнюю границу относительной погрешности для всякого конечного т. Из этого рисунка видно, что для заданных параметров приближения ВDj )(т) довольно быстро сходятся к истинной функции Bd(t). 0 -0,02 -0,04 -0,06 -0,08 -0,1 ■N. —I— 20 —:— 60 0 40 80 т Рис. 3. Относительная погрешность нулевого (пунктир) и первого (сплошная линия) приближений 0,02 и 0 2 3 4 -0,02 -0,04 -0,06 -0,08 Н -0,1 Рис. 4. Предельная относительная погрешность аппроксимации функции Вв(т) как функция номера приближения J Заключение Однофакторная модель Даффи - Кана [8] может быть расширена на двухфак-торный случай дополнением второй переменной состояния. В качестве возможных версий дополнительных переменных в статье рассмотрены локальный (по времени) средний уровень процентной ставки или ее мгновенная дисперсия. Получающиеся двухфакторные модели формулируются так, чтобы обеспечить аффинную временную структуру доходности. Рассмотрены способы определения функций временной структуры, для чего используется метод малого параметра. Исследуется точность аппроксимации полученных приближений. К сожалению, из-за ограниченного допустимого объема статьи не исследованы свойства кривых доходности и форвардных кривых двухфакторных моделей. Это будет сделано в следующей статье.

Скачать электронную версию публикации