New type multiwavelets of the fifth degree orthogonal to quintic polynomials.pdf Вейвлетами называются короткие или быстро затухающие волновые функции (всплески), такие, что множество их двоичных сжатий и двоично-рациональных сдвигов в совокупности образует базис пространства L13(R) [1-3]. В случае, если волновых функций несколько, они образуют ряд мультивейвле-тов [4-8]. Одно из основных преимуществ мультивейвлетов над единичными вейвлетами состоит в том, что они ортогональны многочленам одной и той же степени при меньшей длине носителя. Например, мультивейвлеты пятой степени имеют носитель [0, 3], который значительно меньше носителя [0, 11] единичных вейвлетов пятой степени. В работе [9] были построены мультивейвлеты пятой степени, вторые производные которых ортогональны вторым производным базисных эрмитовых сплайнов пятой степени. Данные мультивейвлеты имеют носитель [0, 2]. При численном решении дифференциальных уравнений по способу Галеркина это увеличивает разреженность решаемых систем. Недостаток состоит в том, что они ортогональны многочленам не выше первой степени, что ухудшает сжатие числовых данных по сравнению с обычными вейвле-тами и мультивейвлетами. В данной работе, используя подход [10], построим базисные мультивейвлеты пятой степени с носителями [0, 2], которые ортогональны любым многочленам пятой степени. 1. Построение системы базисных сплайн-мультивейлетов на конечном отрезке Исходным для построения вейвлет-преобразования является наличие набора вложенных пространств ...VL-\cVLcVL+\.... В данном случае пространство VL является пространством сплайнов степени 5 гладкости С2 на отрезке [a,b] с равномерной сеткой узлов х, = a + (b - a) i / 2l, i = 0, 1,..., 2l, L > 0, и базисными функциями NLk (x) = фк (v - i), k = 0,1,2Vi, где v = 2L(x-a)/(b-a) + 1, с центрами в целых числах, порожденными сжатиями и сдвигами трех масштабирующих функций вида [11] (рис. 1) 13(6t2 _ 15/ +10) ФоС) ф:(/) .Ф2 (t) J _t3(3t2 _ 7t + 4) 0 < t < 1; t 2 — (t2 _ 2t +1) 2 (2 _ t)3(6t2 _ 9t + 4) (2 _ t)3(3t2 _ 5t + 2) ,1 < t < 2 (t2 _ 2t +1) Фк(t) = 0, к = 0,1,2, t g [0,2]. 2 0 0 Рис. 1. Графики масштабирующих функций ф0(/), Ф1(/), ф2(/) 0 1 t ф2(0 Фо(;) 2 2 0 Поскольку сетка получается из сетки hL посредством удаления каж дого второго узла, то базисными функциями для VL-1 будут функции Nl:_1(x), с носителями в два раза большими по ширине и центрами в четных целых числах. В соответствии с масштабными соотношениями [12] (1) >0(t)" 2 >0(2* _ к) Ф1 (t) = E Hk Ф1 (2t _ к) _Ф2 (t)_ к=0 Ф2(2/ _ к )j " 1 15 0 " 1 15 0 2 16 1 0 0 2 16 где H 0 = 5 32 7 32 3 8 , H = 0 1 2 0 , H2 = 5 32 7 32 3 8 1 1 1 0 0 1 1 1 1 _ 64 64 16 j 4J _ 64 64 16 j каждую широкую базисную функцию внутри отрезка аппроксимации можно построить из трех, а по краям отрезка из двух троек узких базисных функций. Обратное, очевидно, возможно только приближенно. Остается некоторое пространство WL-1, содержащее уточняющие подробности, которые и позволяют восстановить VL из VL_i: VL = VL_i+ WL_i. Следующим этапом является определение вейвле-тов как базиса WL-1. В классической теории вейвлетов базисные функции WL_i ортогональны всем базисным сплайнам на прореженной сетке AL-1 по отношению к некоторому скалярному произведению. Это означает, что пространство VL представляет прямую сумму VL-1 и WL-1: VL = VL-1® WL-1. В отличие от этого будем искать базисные функции пространства WL как линейные комбинации базисных эрмитовых сплайнов на сетке , удовлетворяющие условиям ортогональности всем многочленам шестого порядка, то есть fЬMLk(x)xmdx = 0, k = 0,1,2 Vi (m = 0,1,...,5). (2) J a ' Теорема 1. Пусть M0,o (x) = Mo (v), M0,i (x) = Mi (v), M0,2 (x) = M2 (v), Mf;o (x) = wo (v), MLi (x) = wi (v), ML2 (x) = w2 (v), mLl,0(x) = Wo(2L -v), mLlд(x) = -Wi(2L -v), mLl,2(x) = w2(2L -v), L > 1, ML0(x) = y0(v + 3/2-i), ML,1 (x) = y1(v + 3/2-i), ML,2(x) = у2(v + 3/2-i), i = 2,3,...,2L -1, L > 2, где v = 2L(x - a)/(b - a), и Mo (t) = Фо (2t)- 4фо (2t +1)- 4фо (2t -1) + + 84 (ф1 (2t +1) - ф1 (2t -1)) - 828 (ф2 (2t +1) + ф2 (2t -1)), M1 (t) = 35ф1 (2t) - 200 (ф1 (2t + 1) + ф1 (2t -1)) + 8ф0 (2t +1) - 8ф0 (2t -1) + 2280(ф2 (2t +1) - ф2 (2t -1)), M2 (t) = 35ф2 (2t)- 251 (ф2 (2t +1) + ф2 (2t -1)) - ф0 (2t +1) --ф0 (2t-1) + 23(ф1 (2t + 1)-ф1 (2t-1)), w0 (t) = 1296ф0 (2t +1) + (7990ф0 (2t) - 538ф0 (2t -1) - 41545ф1 (2t) --41140ф1 (2t -1) - 924040ф2 (2t) + 438040ф2 (2t -1)), w1 (t) = 432ф1 (2t +1) + (283ф0 (2t) - 12ф0 (2t -1) -1161ф1 (2t) -- 1288ф1 (2t -1) - 32372ф2 (2t) + 13520ф2 (2t -1)), w2 (t) = 2160ф2 (2t +1) + (77ф0 (2t) - 2ф0 (2t -1) - 245ф1 (2t) -- 320ф1 (2t -1) - 8900ф2 (2t) + 3320ф2 (2t -1)), у0 (t) = 164ф0 (2t) + (28ф0 (2t +1) + 28ф0 (2t -1) +115ф1 (2t +1)- 115ф1 (2t -1) - 13200ф2 (2t)), у1 (t) = 80ф1 (2t) + (-ф0 (2t +1) + ф0 (2t -1) + 37ф1 (2t +1) + + 37ф1 (2t -1) + 412ф2 (2t +1)- 412ф2 (2t -1)), у2 (t) = 464ф2 (2t) + (-4ф0 (2t) - 11ф1 (2t +1) + 11ф1 (2t -1)- -112ф2 (2t +1)- 112ф2 (2t -1)). (3) Тогда система функций { ML:k (x), i = 1, 2,..., 2L; k = 0,1,2}, удовлетворяет условиям (2) и образует базис в пространстве WL, L>0. Доказательство. Проверка условий ортогональности (2) выполняется непосредственным вычислением. Для установления базисности функций MLik (x) в случае конечного отрезка достаточно их линейной независимости, вытекающей из того факта, что они представляют собой множество сдвигов ненулевых функций с компактными носителями. При этом их количество в точности равно разности между размерностями пространств VL+1 и VL : 3 •(+1 +1)- 3 •( +1) = 3 • 2L . Теорема 1 доказана. Носители полученных функций равны носителям базисных сплайнов на сетке ДL (рис. 2). CL-1 DL1 (5) CL = [PL | Ql Рис. 2. Вид двух симметричных и одного антисимметричного «материнских» вейвлетов y0(t), y1(t), y2(t) 2. Построение и обращение блока фильтров На любой сетке Д^ L>0, интерполяционный эрмитов сплайн 5-й степени может быть представлен как SL (x) = £ ]TcL,k NLk (x), a < x < Ь, (4) k=0 i=0 где коэффициенты CL,k, k = 0, 1, 2, являются значениями и соответственно первыми и вторыми производными аппроксимируемой функции в узлах сетки. Если записать базисные сплайн-функции в виде единой матрицы-строки ФL = [

Скачать электронную версию публикации