Guaranteed estimation of parameters of threshold autoregressive process with conditional heteroskedasticity.pdf Модель пороговой авторегрессии (TAR) относится к классу нелинейных авторегрессионных моделей. Основным ее свойством является зависимость параметра авторегрессии от предыдущих значений процесса, в результате чего модель даже первого порядка хорошо описывает процессы с явно асимметричным относительно нуля распределением. В работе [1] рассмотрен процесс TAR(1), в которой значение параметра процесса зависит знака предыдущего наблюдения. Найдена область эргодичности процесса и доказана состоятельность оценок параметров, построенных с использованием метода наименьших квадратов, при условии существования момента выше второго порядка для распределения шумов. При этом дисперсия шума предполагалась постоянной. В [2] предложена последовательная оценка для параметров процесса TAR(1) с неизвестной дисперсией, где в качестве критерия останова используется сочетание двух факторов: качества оценивания и требуемое число наблюдений. Свойства оценок изучаются в асимптотической постановке. В [3] условия эргодичности были найдены для процесса TAR(1) с задержкой, а в [4] аналогичная задача была рассмотрена для процесса с несколькими порогами. Позже были предложены и исследованы пороговые авторегрессионные модели с переменной дисперсией, которые применяются для описания случайных процессов с эффектом кластерности. В частности, в [5] получены условия эргодичности для широкого класса нелинейных моделей, дисперсия шума которых зависит от предыдущих значений шумов. В данной работе рассмотрена модель пороговой авторегрессии с условной неоднородностью TAR/ARCH. Для нее найдены достаточные условия эргодичности и предложены последовательные оценки параметров, обладающие гарантированным качеством и не требующие наличия у шумов моментов выше второго порядка. Исследованы асимптотические свойства построенных оценок. 1. Модель Рассматривается случайный процесс пороговой авторегрессии с ARCH-шумами *n+1 =Х1 x-+CTnen+1; CTn =Vro+a2; x+ = max{0,xn} = min{0,xn}. (1) где {£„} - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевым средним, единичной дисперсией и известным распределением. Плотность распределения шумов положительна на всей числовой прямой, симметрична относительно нуля не возрастает на промежутке [0, . 2. Область эргодичности процесса В случае, когда дисперсия шума в модели (1) постоянна, т.е. стп = ст, область эргодичности процесса имеет следующий вид [1]: Я < 1, Я2 < 1, 2 < 1. (2) Согласно [6], достаточным условием для эргодичности марковского процесса является существование неотрицательной измеримой функции g (х) и компакта K, таких, что a) E [g (хп+1 )1 хп = х]< g (х)- c c >0, х йК; (3) b) E[g(Xn+1 )Хп = х]4 = P { >л/5} = IX { Xn2 } J : P {Х\X+-\ +Х2 X_\ + Vю + ax2-\ Sn > = Имеем для случая i = \ P {У2\>5} = P >/5-(Х\X+-\ +Х2 X_\ ) 'I 4 = P1 en >ю + ax2_\ Поскольку плотность распределения величин {en} отлична от нуля на всей числовой прямой, и процесс является эргодическим, эта вероятность не стремится к нулю. Случай i = 2 рассматривается аналогично. Рассмотрим оценку (8). Из уравнения (7), учитывая, что уп \уп 2 = 0, получаем - \ т \ т ЕХ1 =ГНE X уп,гуп,1уп+\ =ГНE X уп,,уп,1 (Х\ Уп,\ + Х 2 Уп,2 + YnSn+\ ) = 1 NH n=N+\ 1 NH n=N+\ = г нЕ X' Vn,iyn,i +г нЕ X' Vn,iyn,iY n 'n+\. 1 NH n=N+\ 1 NH n=N+\ Из определения весовых коэффициентов (Ш) следует, что первое слагаемое равно Х, . Рассмотрим второе слагаемое. Введем усеченный момент остановки Т = min {т,, T} и обозначим через Fn =ст(х°, S\,..., en} сигма-алгебру, порожденную случайными величинами {х°,S\,...,en}. Используя свойства условных математических ожиданий, получаем, что Т t Е X vn,iyn,i Y nSn+\ = Е X Е [ Wn,i Y n en+\Xnп2; supЕmax.|^nkГ , 5>0; \n2 верно ф^ (х) > ф^ (х), получаем, что j ((х)xn28H х2 >8H Рассмотрим второе слагаемое правой части (14). Используя неравенство (13) и условие Y9 > ю + а , имеем P {> *}-P {тг'2 }=P {£ у2 < 2 б2 б2 < 1 < P {£Y 2 бП+1 < ^ J< P i £Б;+1 < {п=1 d CN J {п=1 Отсюда и из (15) следует утверждение теоремы. Заключение В работе рассмотрен процесс пороговой авторегрессии первого порядка с условной неоднородностью. Найдены достаточные условия эргодичности процесса. Получены последовательные оценки авторегрессионных параметров при условии, что все параметры процесса неизвестны. Предложенные оценки являются несмещенными и обладают ограниченной дисперсией, зависящей от выбора параметра процедуры оценивания. Исследованы асимптотические свойства предложенных оценок.

Скачать электронную версию публикации