On term structure of yield rates. 5. The Duffie-Kan two factor model (continuation).pdf Напомним, что для n-факторной модели аффинной доходности предполагается, что вектор состояния финансового рынка X(t) = (X1, X2, ..., Xn)T следует однородному по времени марковскому процессу, порождаемому стохастическим дифференциальным уравнением dX(t) = |(X(t)) dt + a(X(t)) dW(t) с n-вектором дрейфа |(х), (пхт)-матрицей волатильности а(х), и m-вектором W(t) независимых стандартных винеровских процессов [1]. При этом вектор дрейфа |(х) и матрица диффузии ст(х)ст(х)Т должны быть аффинными функциями, а рыночные цены риска такими, что ст(х)Х(х) - n-вектор с аффинными компонентами, nn |(х) = К(6 - х), ст(х)ст(х)Т = а + £ р, х, , ст(х)Х(х) = + £ цх. (1) i=1 i=1 Здесь K, а и Р, - (пхп)-матрицы; 6, и п - n-векторы, хi - компоненты вектора х. Эти свойства для n-факторной модели аффинной доходности приводят к следующим обыкновенным дифференциальным уравнениям для функции А(т) и компонент вектора В(т) = (В1(т), В2(т), ..., Вп(т)), т - срок до погашения финансового актива: А'(т) = й - К6)ТВ(т) + В(т)Та В(т)/2, А(0) = 0; (2) В/(т) = ф, - В(т)Т(п + К) - В(т)Тр, В(т)/2, В(0) = 0. (3) В уравнении для В,(т) символ К, обозначает i-й столбец матрицы К, 1 < i < п. Кривая доходности у(т, х) и форвардная кривая /т, х) определяется через функции А(т) и В(т) по формулам у(т, х) = хТВ(т) - А(т), /(т, х) = хт ^ -dAT). т d т d т 1. Двухфакторная модель «ставка - ее локальное среднее» Двухфакторная модель «ставка - ее локальное среднее» конструируется как расширение однофакторной модели Даффи - Кана [2] при помощи предположения о том, что уровень 9, к которому возвращается процентная ставка r(t) (в однофакторной модели он совпадает с ее стационарным средним), рассматривается как стохастический процесс диффузионного типа 9(t), подобный процессу краткосрочной ставки одномерной модели, но с меньшей волатильностью D9 < Dr, меньшим коэффициентом скорости возвращения k9 < kr и фиксированным уровнем возвращения 90 [3]: dr(t) = kr(9(t) - r(t))dt + l2krDr r(t) X dWr(t), r(0) > x; (4) d9(t) = k9(90 - 9(t))dt + J2keD99(t) X dW9(t), 9(0) > x. (5) V 90 - X Уравнения (2), (3) в этом случае приобретают вид А'(т) = - СТ„ХГ XBr(T) - (k990 + СТ22^9 X^(т) - X (стП2Вг(х)2 + ct222B9(x)2)/2, А(0) = 0; (6) в; (т) = фг - (kr + CT11Xr)Br(T) - CT112Br(T)2/2, Br(0) = 0; (7) B9 ' (т) = Ф9 + krBr(T) - (k9 + CT22^9)B9(T) - стАС*)2^, B9(0) = 0. (8) Здесь фг > 0, ф9 > 0, фг + ф9 = 1 и для краткости обозначено ст11 = ,/2krDr/(90 - x) , ст22 = -\j2k9D91(90 - х). Проблемы решения этих уравнений обсуждались в [3]. Функция А(т) находится из равенства (6) простым интегрированием, если найдены функции Br(T) и B9(t). Уравнение (7) - это уравнение Риккати и его решение находится в виде Д-(т) = фг + V j , Sr = V(kr +^r 0„)2 +2ст121фг , Vr = (Br + kr + XrCTn)/2. В частности, отсюда следует, что 1 1 (i BrBr т = —ln I 1 + - r r Br l Фг - VrBr Основную трудность представляет решение уравнения (8), которое в аналитическом виде найти не удается и его приходится решать численно или использовать приближенные решения, описанные в [3]. Здесь мы рассмотрим свойства кривых доходности и форвардных кривых. Согласно определению и уравнениям (6) - (8), кривые доходности _у(т, r, 9) и форвардные кривые fix, r, 9) определяются через функции А(т), Br(т) и B9(т) по формулам _у(т r 9) = rBr ^ + 9B9 (т) - А(т) iln(1 + - BrBr (т) фг - VrBr (т)у f (т, г, 9) = гфг + 9ф9 + (kr(9 - х) - (r - х )(kr + CTnX^BXx) + + k (90 - X) - (9 - х)(k9 + CT22X9)) B9(т) - (r - x)au2BXx)2/2 - (9 - х^ЛСт)2^. Их предельные свойства такие: при т ^ 0 обе кривые стремятся к одинаковому пределу >-(0, r, 9) = f(0, r, 9) = гфг + 9фе; при т ^ + ж обе кривые также стремятся к общему пределу >(ж, r, 9) = /(ж, r, 9) = х + k9 (90- х)В9(ж), где В9(ж) = у^Ф9+ФгЩ , ^9 = (S9+ k9+X9CT22)/2, 69 = yj(k9 +X9CT22)2 + 2ст22(ф9 + krBr (ж)), Вг(ж) = фЖ. Как видно из этих формул, кривые доходности >(т, r, 9) и форвардные кривые /(т, r, 9) можно рассматривать как сложные функции, зависящие от срока погашения т только через функции аффинной структуры Вг(т) и В9(т), т. е. у(т) = Y(Br(x), В9(т)) и f (т) = F(Br(x), В9(т)). Поскольку функции Вг(т) и В9(т) принимают значения в конечных интервалах, свойства функций Y(Br, В9) и F(Br, В9) можно иллюстрировать наглядно с помощью графиков на всем интервале возможных значений сроков погашения т. При этом, поскольку эти функции связаны параметрически параметром т, то его можно исключить, выбрав значения одной из {Br, В9} в качестве независимой переменной. Если выбрать в качестве переменной функцию Br = В, тогда получим кривые доходности >(т, r, 9) и форвардные кривые /(т, r, 9) в виде Y(B, В9(В)) и f (т) = F(B, В9(В)). На рис. 1 эти кривые представлены для набора параметров, соответствующих найденных Д. Аном и Б. Гао [4], приспосабливавшим модель Даффи - Кана для описания динамики процесса годовой ставки доходности одномесячных бумаг Казначейства США для периода наблюдения с января 1960 г. по февраль 1991 г. Рис. 1. Кривые доходностей Y(B) (штриховые линии) и форвардные кривые F(B) (сплошные линии) для различных значений краткосрочной ставки r: r = х = 0,033 (нижняя пара кривых); 0,05; 0,075; 0,1 (верхняя пара кривых). Круглый маркер показывает предельное значение, одинаковое для всех кривых. Ромбовидные маркеры показывают метки реального времени Т через каждые 2 года для первых 20 лет. Другие параметры принимали следующие значения: kr = 0,1347; k9 = 0,01347; 90 = 0,0762; 9 = 0,07; Dr = 0,002892; D9 = 0,0002892; х = 0,033149; Xr = 0,1; Х9 = 0,1; ф, = 0,6; ф9 = 0,4 Заметим, что выбор Br = B в качестве независимой переменной не всегда удобен, так как при фг ^ 0 длина интервала изменения переменной B е (0, Br(o>)) сужается до нуля, так как Br(x) ^ 0 при фг ^ 0. Поэтому при при преобразовании временной переменной т в качестве независимой переменной B можно брать независимое от модели преобразование B(t) = 1 - е~кт, когда при изменении т в интервале (0, да) переменная B изменяется в интервале (0, 1). Значение параметра к определяется в зависимости от того, начальный или конечный участок временной структуры является интересным. На рис. 2 представлены графики кривых доходности Y(B) и форвардных кривых F(B) с использованием такой переменной B для следующих случаев: 1) две пары кривых, характеризующих двухфакторную модель при весовых коэффициентах {фг = фе = 0,5} и {фг =1, фе = 0}; первая пара стартует из начальной точки Y(0) = F(0) = 0,06 и стремится при т ^ да к предельному значению Y(B()) = F(B()) = 0,060, а вторая - из начальной точки Y(0) = F(0) = 0,05 Рис. 2. Кривые доходностей Y(B) (штриховые линии) и форвардные кривые F(B) (сплошные линии) для двух случаев двухфакторных моделей краткосрочной ставки и одного случая однофакторной модели. Круглый маркер показывает предельные значения. Ромбовидные маркеры показывают метки реального времени Т через каждые 5 лет до 50 лет и далее через 10 лет. Процентная ставка r = 0,05; параметр к = 0,03. Другие параметры принимали те же значения, что и для рис. 1 и стремится к предельному значению Y(B(o>)) = F(B(o>)) = 0,055; заметим, что вторую пару кривых можно было бы рассматривать как порождаемую однофактор-ной моделью, так как из-за значений весовых коэффициентов {фг =1, фе = 0} краткосрочная ставка доходности y(r, е) = гфг + ефе = r зависит только от одной переменной r; 2) поэтому для сравнения с кривыми Y(B) и F(B) в этом случае на рисунке приведена пара кривых, порождаемых однофакторной моделью с совпадающими параметрами уравнения (4); эта пара кривых стартует тоже из начальной точки Y(0) = F(0) = 0,05, но при т ^ да стремится к другому предельному значению Y(B(o>)) = F(B(o>)) = 0,067. Действительно, предельной точкой кривых однофакторной модели [2] является значение к Y(B(o>)) = F(B(o>)) = х +(е0 - x), в то время как предельное значение кривых двухфакторной модели при весовых коэффициентах (фг=1, ф0 = 0} вычисляется по формуле ¥(Б(ю)) = F(B(ж)) = х + (0о- x). VeVr Поскольку имеют место неравенства k0 < V0, kr < Vr, предельные значения кривых однофакторной модели всегда больше предельных значений двухфакторной модели при принятых весовых коэффициентах. Заметим, что вид кривых Y(B) и F(B) для выбранных параметров различается в зависимости от количества факторов. Для однофакторной модели кривые монотонно возрастают и для любых сроков погашения форвардная кривая F(B) выше кривой доходности Y(B), в то время как для двухфакторной модели кривые имеют максимумы, причем для малых сроков погашения форвардная кривая F(B) выше кривой доходности Y(B), а для больших сроков погашения - наоборот, кривая доходности Y(B) лежит выше форвардной кривой F(B). 2. Двухфакторная модель «ставка - ее мгновенная дисперсия» В двухфакторной модели с переменными состояния краткосрочной ставкой r и мгновенной дисперсией D краткосрочной ставки процентная ставка аффинной доходности до погашения (кривая доходности) и форвардная процентная ставка определяются формулами у(т, r, D) = - ln Р(т, r, D)/t = [rBr(T) + DBd(t) - А(т)]/т; fx, r, D) = r dBr(T)/dт + D dBD(x)/dт - dA(x)/dт. По экономическому смыслу доходность до погашения растет с увеличением краткосрочной ставки r и падает с увеличением дисперсии краткосрочной ставки D. Последнее не является очевидным. Поэтому продемонстрируем влияние изменения дисперсии D на кривые доходностей Y(B) и форвардные кривые F(B) на примере однофакторной модели Даффи - Кана, рассмотренной ранее в [2]. Кривые Y(B) и F(B) стартуют при B = 0 (т = 0) из точки Y(0) = F(0) = r (будем называть ее исходной точкой). Заметим, что положение исходной точки не зависит от величины дисперсии D и при ее изменении остается неизменной. С увеличением срока до погашения т кривые сначала расходятся, но затем при т ^ + ж стремятся к одному и тому же пределу (назовем его предельной точкой) Y(B(m)) = F(B(m)) = = V 0 + -V j x. При этом В(ж) = V ~1 Явное представление отношения k/V имеет f k 1 вид = V 2 4k (0- x) + ——- - (8- x) + . При малых D — (0- х) + XJ— D V D k k (0- x) ^ это выражение может быть записано в виде — =-, + O(D). Таким V k (0- x) + Х\ 2kD образом, с увеличением дисперсии D параметр k/V монотонно уменьшается от k/V = 1 при D = 0 до k/V = 0 при D ^ + ж. Следовательно, предельная точка с увеличением дисперсии D монотонно уменьшается от Y(B^)) = F(B(ж)) = 0 при D = 0 до нижней границы процентной ставки x при D ^ + ж. Предельное значение дю-рации процентной ставки B^) также уменьшается с ростом дисперсии D от B^) = k-1 при D = 0 до 0 при D ^ + ж. Здесь уместно заметить, что при D ^ 0 аналитические выражения для кривых У(В) и ДВ) упрощаются: Y(E) ^ 9 + (9 - r)kB/ln(1 - kB), F(E) ^ r + (9 - r)kB, B = B(t) ^ (1 - ехр(- kt))/k, B e (0, k"1). Ввиду справедливости неравенства z > 1 + z/ln(1 - z) для z e (0, 1) при малых дисперсиях форвардная ставка F(E) для любых B e (0, k_1) больше доходности до погашения Y^), если 9 > r. При 9 < r справедливо обратное. Для произвольных D форвардную кривую F(E) можно представить в форме с явной зависимостью от D как F(E) = r + (9 - r)kB - r—X (XV2kD + 2kDB). 9-X Отсюда видно, что с ростом D форвардная ставка уменьшается на всем интервале изменения B. Аналогично ведет себя кривая доходности Y^). На рис. 2 представлено семейство пар кривых Y^) и F^) для различных значений стационарной дисперсии D, иллюстрирующее зависимость доходности от дисперсии. Рис. 3. Кривые доходностей Y(B) (штриховые линии) и форвардные кривые F(B) (сплошные линии) для однофакторной модели Даффи - Кана при различных значениях дисперсии D краткосрочной ставки: D = 0 (верхняя пара кривых); 0,25; 0,375; 0,5; 0,75; 1,0 (нижняя пара кривых). Другие параметры принимали следующие значения: k = 0,5; 9 = 0,0721; r = 0,06; х = 0; X = 0,01. Круглые маркеры показывают предельные значения кривых при B ^ B(ro), т.е. при т ^ + 0. Чтобы это имело место, весовой коэффициент фд должен быть отрицательным. Когда в качестве второй переменной состояния выбрана мгновенная дисперсия краткосрочной процентной ставки, уравнения двухфакторной модели переменных состояния имеют вид [3] dr(t) = kr(9 - r(t))dt + ^2krD(t) dWr(t); (9) dD(t) = kD(V- D(t))dt + . 2kDS D(t) - X dWD(t), D(0) > x > 0. (10) V V - X Здесь x - нижняя граница для дисперсии D процентной ставки r; V - стационарное среднее процесса дисперсии D(t), а S - стационарная дисперсия процесса дисперсии D(t). Для удобства записи в дальнейшем изложении удобно ввести обозначение 5 = kDS /(V - х). Однако в этом случае значение кривых у(т, r, D) и _Дт, r, D) в исходной точке, с экономической точки зрения, безусловно, положительное, определяется равенством y(0, r, D) = f(0, r, D) = гФг + Рфр, где фр, как указано выше, из экономических соображений должно быть отрицательным. Поэтому для того чтобы описанная модель с фиксированными весовыми коэффициентами {ф„ фр} имела экономический смысл, должно выполняться неравенство гФг + DфD > 0, т.е. D = D(0) < гФг/|Фд|. Вместе с тем процесс D(t), как это следует из уравнения (10), является стационарным диффузионным процессом «с квадратным корнем» и имеет сдвинутое распределение гамма с параметром масштаба S/(V - х), параметром формы (V - x)2/S и параметром сдвига х. Поэтому с положительной вероятностью указанное неравенство в описанной модели будет нарушаться. Для того чтобы эта модель имела экономический смысл с вероятностью единица, необходимо установить следующие весовые коэффициенты модели {Фг =1, фр = 0}. В этом случае краткосрочная ставка доходности в исходной точке определяется только процентной ставкой r: y(r, D) = гФг + DфD = r. Уравнения для функций временной структуры A(t), Br(x) и Bd(t) в этом случае имеют вид A' (т) = - kr9Br(T) - (kDV + 2Xp x5)Bd(t) - 5xBd(t)2; (11) Br'(t) = 1 - krBr(T), Br(0) = 0, Br(T) = (1 -e~kr%)/kr; (12) BD'(t) = - (kD + 2Xp 5)Bd(t) - 2X,krBr(T) - krBr(T)2 - 5Bd(t)2, Bd(0) = 0. (13) Функция A(t) по-прежнему находится через Br(T) и Bd(t). Функция Br(T) легко находится в простом виде, но функция Bd(t), к сожалению, определяется уравнением Риккати с переменным коэффициентом и не может быть выражена в аналитическом виде. При т ^ + ю функции Br(x) и Bd(t) стремятся к пределам Br(«) = 1/kr, Bd(») = -(kD + 2XD5) W(kD + 2XD5)2 - 45(2Xr + 1/kr ) . 25 Заметим, что предельное значение BD(x) принимает вещественные значения только в случае, когда параметры модели удовлетворяют неравенству (kD + 2Xp 5)2 > 45(2Xr + 1/kr). (14) Если это неравенство не удовлетворяется, правая часть дифференциального уравнения (13) для функции Bd(t) ни для каких т не обращается в нуль, являясь все время отрицательной. А это приводит к тому, что функция Bd(t) неограниченно убывает с ростом т, в связи с чем при достаточно больших т кривые доходности и форвардные кривые становятся отрицательными, что противоречит экономическому смыслу этих кривых. Таким образом, неравенство (14) определяет область возможных значений параметра 5 = kDS/(V - х), определяющего волатильность в уравнении (10), когда имеет смысл использовать рассматриваемую двухфактор-ную модель динамики процентной ставки. В явной форме это ограничение имеет вид 5 < 2Xr +1/kr - kDXd -V(2Xr +1/kr )2 - 2(2Xr +1/kr )kDXp (15) 2XD Кривые доходности у(т, r, D) и форвардные кривые fix, r, D) определяются через функции А(т), Вг(т) и Bd(t) по формулам у(т, r, D) = Y(Br(T), Bd(t)) = kr[A(x) - rBr(x) - DBD(x)]/ln[1 - krBr(x)]; fix, r, D) = F(Br(T), Bd(t)) = r - (r - 9 + 2XrD)krBr(x) -- [(kD(D - V) + 2Xd 5(D - x)]Bd(t) - krDBr(x)2 - 5(D - x)BD(x)2. Предельные свойства этих кривых такие: при т ^ 0 обе кривые стремятся к одинаковому пределу y(0, r, D) = f(0, r, D) = r ; при т ^ + ж обе кривые также стремятся к общему пределу у(ж, r, D) = f(, r, D) = 9 + kD(V- x)BD(x>) - x(2Xr + 1/kr). Для того чтобы предельные доходности были положительными, должно выполняться неравенство 9 - x(2Xr + 1/kr) > - kD(V- x)BD(rc), 9-x(2Xr +1/kr) >_V-x_ (i6) или ---— >-. =. (16) 2kD(2^r +1/kr) (kD + 2Xd5) + 4{kD + 2Xd5)2 - 45(2Xr +1/kr) Это неравенство следует рассматривать как условие, накладываемое на другие параметры уравнения (10), чтобы обеспечить разумные результаты для долгосрочных доходностей. В этом случае в качестве варьируемого параметра модели можно выбрать стационарное среднее V процесса D(t). Когда при описании динамики процентной ставки используется нейтральная к риску вероятностная мера (Xr = 0, XD = 0), неравенства (15) и (16) существенно упрощаются: Л 1 + 1 -. 2 M 4 k k2 5 < krkD2 /4, V < x + (kr9 - x) На рис. 4 приведены графики функций Y(Br(T), Bd(t)) и F(Br(T), Bd(t)) от аргумента B = Вг(т) с учетом того, что т = - ln[1 - krB]/kr и Bd(t) = BD(- ln[1 - krB]/kr). Рис. 4. Кривые доходностей Y(B) (штриховые линии) и форвардные кривые F(B) (сплошные линии) для различных значений дисперсий D: 0,01 (нижняя пара кривых); 0,005; 0 (верхняя пара кривых). Круглый маркер показывает предельное значение, одинаковое для всех кривых. Ромбовидные маркеры показывают метки реального времени Т через каждые 2 года для первых 20 лет. Другие параметры принимали следующие значения: kr = 0,1347; kD = 0,01347; r = 9 = 0,0762; V = 0,002892; x = 0,0001; S = 1,88x10-7; Xr = 0,1; XD = 0,01. Вмакс = B/ю) = 7,424 Когда весовые коэффициенты модели установлены так, что фг =1, фд = 0, краткосрочная ставка доходности в исходной точке y(r, D) = гфг + Дфд = r определяется только процентной ставкой r, а модель становится похожей на однофакторную. Но отличия от однофакторной модели при этом сохраняются, так как даже при фд = 0 функция временной структуры Bd(t) не равна нулю. На рис. 5 это различие иллюстрируется графиками. Рис. 5. Кривые доходностей Y(B) (штриховые линии) и форвардные кривые F(B) (сплошные линии) для двухфакторной модели (верхняя пара кривых) при {фг =1, фд = 0} и однофакторной модели (нижняя пара кривых). Круглый маркер показывает предельные значения (0,0475 для двухфакторной и 0,0343 для однофакторной модели). Ромбовидные маркеры показывают метки реального времени Т через каждый год до 10 лет и далее через 5 лет. Процентная ставка r = 0 = 0,0762; B^c = Br(

Скачать электронную версию публикации