On nonparametric estimation of hazard function and its derivatives.pdf Проектирование, изготовление и эксплуатация сложных технических и программных систем требует обеспечения их надежности как одного из свойств систем выполнять требуемые функции. С проблемой обеспечения надежности часто сталкиваются исследователи, которым необходимо оценивать надежность созданных опытных образцов приборов, установок и составляющих их элементов. В данной работе при расчете надежности элементов системы и прогнозировании отказов предлагается использовать наиболее полную характеристику надежности невосстанавливаемых элементов, которая называется функцией интенсивности отказов и имеет вид х( х)=fL = fx), (1) 1 - F (х) s(x) где F(х) - функция распределения отказов невосстанавливаемого элемента; s( х) = 1 - F (х) - функция надежности; f (х) = F' (х) = -s' (х) - плотность распределения, х > 0. Функция интенсивности X(х) характеризует локальную надежность элемента в каждый данный момент времени х и позволяет оценить вероятность отказа за некоторый промежуток времени при условии, что до этого момента отказов не было. Таким образом, величина Х(х)сЫ представляет собой условную вероятность отказа элемента в интервале (х, х + dx), при условии, что до момента х отказов не было. Заметим, что при расчете надежности системы удобно пользоваться известными значениями интенсивностей отказов элементов, так как получаемые при этом формулы просты и удобны для инженерной практики [1]. Более полной по сравнению с X( х) характеристикой надежности невосстанавливаемого элемента может служить тройка (X(х), X' (х), X "(х)}, где X '(х) -первая производная функции интенсивности, которая выражается формулой X ' (х) = f Ч хЖх) + f 2( х) (2) s 2( х) и определяет скорость изменения функции интенсивности в точке х, а производная второго порядка имеет вид r (*) = f" (*)s 2 (*) + 3f (*) f' (*) s( *) + 2 f3 (*) s3( *) и может использоваться при исследовании степени гладкости X( *). 1. Синтез оценок Пусть Xj,...,Xn - моменты отказов совокупности исследуемых элементов. Цель работы состоит в построении оценок тройки (X(*), X'(*), X''(*)} по наблюдениям {Хг > 0, г = 1, n} в условиях непараметрической априорной неопределенности, когда о функциях F(*), а следовательно, и s(*) имеются сведения только общего характера. В качестве непараметрических оценок подстановок тройки (X(*), X'(*), X''(*)} в соответствии с (1) - (3) и [2] возьмем X n (*) = Щ; (4) sn (*) Xn (*) = fn( *)sn (*) + fn2( *) ; (5) s2( *) г (*) = fn (*) sn2 (*) + 3 fn (*) f'n (*)sn (*) + 2 fn3 (*) (6) n s3( *) , 1 n f * — X \ где sn (*) = — V KI-- I; K(u) - трижды дифференцируемая, строго монотонно ni=1 \ hn J убывающая функция, такая, что K (-да) = 1, K (да) = 0; последовательность чисел hn ^ 0; (Хг > 0, г = 1, n} - выборка независимых и одинаково распределенных случайных величин из генеральной совокупности с функцией выживаемости s( *); fn (*) = 4 Vk f*-^; f'(*) = 4 Vk -f * - X nhn г=1 I hn J nh2 г =1 nh31! I hn f " () -1 V V" f * - Xг fn(*) = ~u V K г =1 Здесь sn (*) - гладкая эмпирическая функция выживаемости; fn (*) = fn(0) (*) -непараметрическая ядерная оценка плотности распределения; f'(*) = fn(1)(*) и fn"(*) = f(nT>(*) - соответственно оценки первой и второй производных плотности распределения. 2. Асимптотическая нормальность При построении интервальных оценок заданной надежности для функции интенсивности и ее производных необходимо знать предельное распределение статистик Xn (*), X'n (*) и X"n (*). Выясним, при каких условиях данные статистики имеют асимптотически нормальные распределения. Введем обозначения: ^ -символ сходимости по распределению; N{a, ст } - нормальное распределение с w 2 параметрами a, ст2; L(r) = J (((r)(м)) du. —w Теорема 1. Пусть выполняются условия: 1) s(x) > 0, X(x) > 0; для r = 1,2: 2) функции (r — 1)/(r—2) (x) + f(r—1) (x) абсолютно непрерывны на R1; 3) при x ^w, а> 0 K (x) = о (|x|~a), 1 — K(—x) = о (|x|~a); при x ^±w K(r)(x) = о (| x| ~а—r); 4) для всех x е R1 производные f ((+r)(-), j = 1,2, непрерывны; 5) sup | f(j+r)(x)|

Скачать электронную версию публикации