Model predictive control of the output time-varying discrete systems with constraints on the control.pdf При синтезе управлений широко используется метод управления динамическими объектами с применением прогнозирующих моделей - Model Predictive Control (MPC) [1, 2]. Область применения метода MPC охватывает задачи управления производственными системами, управление запасами и финансовую математику [3-8]. В данной работе рассмотрено прогнозирующее управление нестационарным объектом, модель поведения которого описывается линейными разностными уравнениями. На объект наложены ограничения, которые представлены в виде неравенств. Синтез управления с прогнозирующей моделью осуществляется на основе управления выходом объекта. Целевая функция, представленная через выпуклую квадратичную функцию, предполагает отслеживание заданного сигнала и пересчитывается в каждый текущий момент времени. Настоящая статья является продолжением работ авторов [7-10]. 1. Постановка задачи Пусть модель нестационарного объекта, канала наблюдений и управляемого выхода описываются следующими соотношениями: хм = Atxt + Btut + wt, xt|t=0 = x0; (1) v = Htxt + vt; (2) yt = Gtxt, (3) где xt e Rn - состояние объекта, ut e Rm - управляющее воздействие (известный вход), vt e Rl - наблюдения, выход системы контроля, yt e Rp - управляемый выход, At, Bt, Ht, Gt - матрицы соответствующих размерностей. Уравнение (2) является моделью системы контроля за состоянием объекта. Далее будем полагать, что случайные возмущения wt и шумы измерения vt подчиняются гауссовскому распределению с нулевым средним и с соответствующими ковариациями W, V, то есть M{w,} = 0, M{Vt} = 0, M{w,wJ } = WSa , M{vV } = VtStk , M{w,vJ } = 0. (4) В (1) вектор начальных условий x0 является случайным, некоррелированным с величинами wt и vt и определяется следующими характеристиками: M{x0} = Х0, M{ (Х0 - X0)(X0 - X0)T } = Px0 . (5) Ограничения на управление представляются в виде следующих неравенств: a1(t) < Sut < a2(t), (6) где S - структурная матрица полного ранга, состоящая из нулей и единиц, определяющая компоненты вектора ut, на которые накладываются ограничения; a1 (t), a2 (t) - заданные вектор-функции соответствующих размерностей. Кроме того, предполагается, что пара матриц At, Bt управляема, а пара матриц At, Ht полностью наблюдаема. Модель (1)-(3) реализует прогноз поведения объекта на некоторый период, который называется горизонтом прогнозирования и обозначается N, используя информацию об управлении ut и векторе наблюдений до текущего момента времени t. Задача состоит в том, чтобы по наблюдениям yt определить стратегию управления, при которой вектор выхода системы yt будет близок к заданному вектору yt с учетом ограничений (6). 2. Прогнозирующая модель Поскольку случайные возмущения wt и шумы измерения vt имеют гауссовское распределение, то можно выполнить оптимальное прогнозирование поведения объекта и вектора выхода, используя экстраполятор Калмана [11]: xt+wt = Л%-1 + Btut + Kt (^t- Htxt\t-1), -Xo|-\ = x0; (7) yt+wt = GA+wt; (8) K = AtPHtT (HtPtHt T+ Vt)-1; (9) Pt+1 = Wt + AtPtAtT-AtPtHtT (HtPtHtT+ Vt)-1 HtPA , P0 = Px0, (10) где xt+1t и Xt+Vft - оценки состояния и вектора выхода в момент времени t+1, уравнение для Pt (10) известно как разностное уравнение Риккати с дискретным временем, Px - начальное значение дисперсионной матрицы. Для реализации модели прогнозирующего управления необходимо иметь возможность вычислять оценки вектора состояния на моменты времени t+1, t+2, ..., t+N, основываясь на информации, имеющейся в момент времени t. Из уравнений (7)-(10) можно получить xxt+1\t, а также оптимальные оценки для моментов t+2,., t+N: Xt+i+\\t = At+i xt+i\t + Bt+tut+t\t , x1|0 = x0 , ' = 1,N 1; (H) yt+1\t=Gt+t xM\t , i = N . (12) Здесь обозначение uM\t используется для того, чтобы отличать действующее управление в момент t+i uM от тех, которые используются с целью прогнозирования - uM\t. Управляющие воздействия, используемые с целью прогнозирования, ищутся на горизонте управления М, а прогнозирование состояния объекта проводится на большем промежутке N (M < N ). Для расчета Xt+M+2,,..., Xt+N, в (11) в качестве ut+M+1|t,..., ut+N_j|t используется ut+M,t и держится на достигнутом постоянном уровне. Уравнение (11) может быть записано через начальное состояние xt+Vf и будущие управляющие воздействия uM\t следующим образом: Xt+2|t = At+1 Xt+\\t + Bt+1ut+1|t , Xt+3|t = At+2Xt+ 2|t + Bt+ 2ut+2|t = At+2 (At+1 -^"t +1|t + Bt+1ut+1|t) + Bt+ 2ut + 2|t = = At + 2At +1 Xt+1|t + At+2Bt+1ut+1|t + Bt + 2ut + 2|t , + X In At+i _i | BM _ kuM _ k|t , i = 2, N . (13) i-1 = |П At- ^t+i\t | 11 t+i_k \л^t+\|t yk=1 J k=W l=1 Аналогично может быть преобразовано уравнение (12): yt+1t = Gt+1 ^Vf , •yt+2|t = Gt +2 Xt+2|t = Gt+2 (At+1 Xt+1|t + Bt+1ut+1|t ) = Gt+ 2At+1 Xt+1|t + Gt+ 2Bt +1ut+1|t , yt+3|t = Gt+3Xt +3|t = Gt+3 (At +2 At+1 Xt+1|t + At+ 2Bt+1ut+1|t + Bt +2ut+ 2|t ) = = Gt+3 At+ 2 At+1 Xt+1|t + Gt+3 At+ 2 Bt +1ut+1|t + Gt+3 Bt+ 2ut+2|t = , k _1 yt+i|t = Gt+i | П At+i_k | Xt+1|t +Z Gt +i | П At+i_l | Bf ,Bt+i_k«t+i_k|| , i = 2, N . (14) vk=1 J k=1 V l=1 Уравнения для прогнозируемых векторов состояния и выхода могут быть представлены в векторно-матричном виде. Для этого введем следующие обозначения: xt+1|t " -Vt+1|t " ut+1|t XXt = Xt+N|t , Y = Lyt+N|t _ , Ut = ut +M|t _ f+1 At+2 At+1 Gt+1 Gt+2 At+1 Gt+3 At + 2 At+1 * t = En A, Л, = (15) N_1 N _1 П a, L k=1 t+N _k t+N _k Gt+N П A, k=1 В случае, когда горизонт управления не равен горизонту прогнозирования (M < N ), матрицы Pt и Фt вводятся следующим образом: b, 0 t+1 4+2 B, B, t+2 t+1 M-1 Л fM-2 П At+M-k+1 I Bt+1 in A k=1 J V k=1 M Л fM-1 nAt+M-k+2 I Bt+1 i ПA k=1 J V k=1 '+M-k+1 I Bt+2 ' B+ Pt = At+M+1Bt+M t+M-k+1 I Bt+2 fN-M -1 p X nAt+N-k P k=1 П A k=1 П A k=1 '+N-k IBt+1 +N-k I Bt+2 B 't+M 0 0 Gt+3Bt+2 Gt+2 Bt+1 Gt+3 At+2 Bt+1 M -1 П At+M-k I Bt+1 Gt+M+1 k=1 k=1 f M^ (M -1 Gt+M+2 At+M+1Bt+M Gt+M+2 i ПAt+M-k IBt+1 Gt+M+2 i П At+M-k IBt+ V k=1 J V k=1 M-2 П A Gt: Gt+M+1Bt+M +M-k I Bt+2 ' . (16) Ф, = f N-M-1 4 fN-3 B 't+M Gt+N |П At+N-k IBt+1 Gt+N |П At+N-k I Bt+2 "' Gt+N X nA+N-k vk=1 J V k=1 J V P=1 k=1 В случае равенства горизонта управления горизонту прогнозирования (M = N) в качестве Pt и Фt берутся матрицы следующего вида: 0 Bt+1 At + 2 Bt+1 Pt = N-2 П A, LV k=1 N-3 П A, k=1 t+N - k I Bt+1 t+N-k I Bt+2 B, t+N-1 0 Gt + 2 Bt+1 Gt +3 At + 2 Bt+1 0 0 Gt+3 Bt + 2 Ф, = .(17) П At+N-k I Bt+1 Gt+N П A, k=1 G Gt+NBt+N-1 t+N-k I Bt + 2 k=1 Таким образом, прогнозирующая модель опишется следующей системой: *, = * tw pu ; Yt= ЛЛ+ш + . Ограничение (6) может быть также преобразовано в векторно-матричном виде: a1(t +1) 1 Г Sut+1|t ] Г a2(t +1) " :

Скачать электронную версию публикации