Ergodicity of one server queuing systems in random environment.pdf Математическим моделям систем и сетей массового обслуживания в случайной среде уделяется большое внимание в теории массового обслуживания (см., например, [1, с. 76] и содержащиеся в статье ссылки) в связи с обилием разнообразных приложений к транспортным моделям [2, с. 430-432, 438], и системам с гистерезисной стратегией управления [3, с. 42-61; 4, с. 24, 25]. Однако вопросы эргодичности в моделях этого типа как правило получили решение в виде только достаточных, а не необходимых и достаточных условий [1, теорема 1, формула (2)]. Поэтому работа в данном направлении остается актуальной, несмотря на обилие результатов, в которых даются формулы и алгоритмы вычисления предельных распределений в данных системах. В настоящей работе вопросы получения критериев эргодичности решаются не усилением известных результатов по расчету предельных распределений для систем обслуживания в случайной среде, а построением достаточно общих стохастических моделей этих систем обслуживания, которые удобно сводить к известным теоремам эргодичности для одноканальных моделей обслуживания типа цепочки Линдли [5, с. 20-36]. В рамках этого подхода рассматриваются жидкостные модели обслуживания [6, с. 3-5], [7, с. 8-12], для которых определяется количество жидкости в системе в моменты изменения режима ее функционирования или строится модель обслуживания с дискретным временем, описываемая числом заявок в системе. При таком подходе вместо времени ожидания начала обслуживания в моменты прихода заявок удобным оказалось моделировать и анализировать на эргодичность динамику числа заявок, находящихся в системе. Данная модель может быть легко распространена на случай, когда случайная последовательность t1,t2,., характеризующая интервалы между приходом заявок в систему, является стационарной и известно математическое ожидание Mt. 1. Жидкостная одноканальная модель обслуживания в случайной среде В этом разделе будет рассматриваться следующая жидкостная модель однока-нальной системы массового обслуживания M|M|1. Разобьем неотрицательную полуось t > 0 на полуинтервалы [70,7!), T0 = 0, T1 = T0 +11, [T1,T2), T2 = T1 +12,... . Здесь независимые случайные величины tj,t2 ,..., имеют показательное распределение P (tn > t) = exp(-Xt), t > 0, n > 0. Предположим, что на полуинтервале [Tn-1, Tn), n > 0, в некий резервуар закачивается жидкость с интенсивностью an > 0 и выкачивается жидкость с интенсивностью bn > 0, если объем жидкости больше нуля. Если объем жидкости равен нулю, то при an < bn интенсивность оттока жидкости становится равной интенсивности ее притока an, причем начальное количество жидкости в системе равно w0 > 0. Далее полагаем, что характеристики случайной среды {(an, bn), n > 0} образуют последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин. Обозначим wn > 0, n > 0, объем жидкости в момент Tn, тогда в силу сделанных предположений объем жидкости в резервуаре в момент Tn+1 удовлетворяет равенству Wn+1 = (w +5n)+ , d+ = max d) -»< d 0. (1) Далее полагаем, что независимые последовательности независимых случайных векторов {(an, bn), n > 0}, {tn, n > 0} с неотрицательными компонентами удовлетворяют равенствам P [an =a, bn =Pi j = p, , a,. > 0, Pi > 0, i = 1,..., I, n > 0, jp, = 1. По аналогии с [8, гл. II, §4,лемма 3] определим I an - bn = jx(an =a,, bn = Р, )(a, -Р, ). k=1 Здесь %(C) - индикаторная функция случайного события C. В силу [5, § 3, теорема 7] необходимым и достаточным условием эргодичности случайной последовательности wn, n > 0, является неравенство щ„=ip (a:) < 0. (2 ,=1 X Замечание 1. В случае системы G1|M|1, если случайная последовательность {tn, n > 1} состоит из независимых и одинаково распределенных случайных величин и, следовательно, порождает рекуррентный входной поток, а случайные последовательности {tn, n > 1}, {(an - bn), n > 1} независимы, то условие эргодичности (2) должно быть заменено на мIn = Mtn jp (a,. -р, )< 0. (3) i =1 Причем, пользуясь формулами (1), удобно марковскую цепочку wn, n > 0, промоделировать методом Монте-Карло и исследовать на устойчивость ее предельные и допредельные распределения при вариации закона распределения случайных величин tn, n > 1. 2. Одноканальная модель обслуживания с дискретным временем в случайной среде Перейдем теперь к одноканальной системе массового обслуживания с дискретным временем. Пусть в моменты времени t = 0,1,... в системе находится xt заявок, x0 > 0. Пусть в момент t система массового обслуживания функционирует m в режиме yt, где yt = i с вероятностью ni >0, i = 1,...,m, Хп = 1 , а случайные i=1 величины Yt, t > 0, независимы. Замечание 2. События, связанные с пребыванием процесса Yt в состоянии i, удовлетворяют равенствам P( = i,...,Yt+k-\ = i) = , к> 0. Если Yt = i, то полагаем, что с вероятностью p1 i в момент времени t+1 в систему поступит одна новая заявка входного потока и с вероятностью qXi = 1 - p1 i никаких заявок не поступит. Наряду с этим в момент t+1 с вероятностью p2 i из системы уйдет одна (фиктивная, если в системе заявок нет) заявка, а с вероятностью q2i = 1 - p2 i этого не произойдет. Приход новой заявки входного потока и уход из нее заявки (быть может, фиктивной) предполагаются независимыми событиями. Определим независимые случайные последовательности {п+г-, t > 0}, {n—, t > 0}, i = 1,..,m , состоящие из независимых случайных величин с распределениями: + Г1, с вероятностью pXi, _ Г-1, с вероятностью p2 i, nt,г [0, с вероятностью q1 i, n,г [ 0, с вероятностью q2 i, тогда сумма независимых случайных величин nt i = П+г- + П- имеет распределение +1, с вероятностью p1 iq2 i, nti = [-1, с вероятностью p2 iq1 i, 0, с вероятностьюp1 ip2 i + q1 iq2 i, А случайная последовательность xt, t > 0, удовлетворяет рекуррентному соотношению xt+1 = ( +nt)+ , t > 0, nt =£x(Yt = i )nt,i . (4) i =1 Предположим, что случайные последовательности { Y t, t > 0} , {(п+г, n-i), t > 0} , i = 1,..., m, независимы. Тогда в силу [5, §3, теорема 7] необходимым и достаточным условием эргодичности случайной последовательности xt, t > 0, является неравенство m M nt = Хп (,^2,г - pi^i ) < (5) i=1 Замечание 3. Условие на случайную последовательность yt, t > 0, при котором справедлив критерий эргодичности (5), можно ослабить, полагая последовательность Yt, t > 0, стационарной в узком смысле. В частности, можно предположить, что yt, t > 0, является эргодической обратимой [9, p. 6, Definition 1.4] цепью Маркова с предельным распределением п,, , = 1,...,m , причем P(a0 =,) = п,, , = 1,...,m . Замечание 4. Еще одним обобщением данной модели является предположение, что определенные выше случайные вектора (п+г-, П-), s > 0, r > 0, t > 0, , = 1,...,m , имеют распределения P(К-,П-, ) = (s,r)) = U (s,r), t > 0 , , = 1,...,m . Замечание 5. Рассмотренная в настоящем параграфе модель массового обслуживания может быть также распространена на случай, когда вместо моментов времени t = 0,1,. берутся случайные моменты 0, T1 =т1,Т2 = T1 +т2,..., где случайные величины Tt, t > 0, независимы, неотрицательны и одинаково распределены, а случайная последовательность xt, t > 0, определяется в не в моменты t = 0,1,..., а в моменты Tt, t > 0. Причем случайные последовательности {, t > 0}, {Tt, t > 0} независимы. В этом случае случайная последовательность {, t > 0} может рассматриваться как цепь Маркова, вложенная в случайные моменты времени {Tt, t > 0}. Заключение Предлагаемые в статье приемы получения критериев эргодичности для систем массового обслуживания в случайной среде можно распространить с одноканаль-ной системы на другие системы. К ним можно, в частности, отнести многофазную систему массового обслуживания. Такие способы переопределения моделей обслуживания также позволяют существенно расширить ограничения на модель од-ноканальной системы в случайной среде. Более того, появляется возможность не только сконструировать критерии эргодичности, но и построить удобные алгоритмы расчета предельных распределений в этих моделях как аналитическими методами, так и методом Монте-Карло.

Скачать электронную версию публикации