Asymptotic analysis incomes in a closed HM-network with a variable number of priority and no priority messages.pdf Рассмотрим замкнутую сеть, в которой циркулирует определенное число заявок первого и второго типов, причем заявки не могут менять свой тип. Однотипные заявки, стоящие в очереди некоторой системы массового обслуживания (СМО), выбираются на обслуживание в произвольном порядке, например FIFO. Заявки первого типа имеют абсолютный приоритет по отношению к заявкам второго типа. В данном случае это будет означать выполнение двух условий: а) если в момент освобождения линии некоторой СМО после обслуживания заявки в ее очереди имеются приоритетные заявки, то любая из них занимает освободившуюся линию; б) если в систему обслуживания, все линии которой заняты обслуживанием, но не только приоритетных заявок, поступает приоритетная заявка, то она вытесняет неприоритетную заявку с одной из линий и начинает обслуживаться этой линией; вытесненная заявка становится в очередь рассматриваемой СМО. Когда вытесненная заявка поступает на обслуживание повторно, она дообслуживается в течение оставшегося времени обслуживания. Поскольку время обслуживания имеет показательное распределение, то можно считать, что вытесненная заявка будет обслуживаться заново, т.е. имеем так называемое неидентичное обслуживание. Рассмотрим замкнутую экспоненциальную сеть массового обслуживания (МО) с приоритетными заявками, состоящую из n +1 систем МО (СМО) S0, S1, ..., Sn, где S0 - внешняя среда, под состоянием которой будем понимать вектор к(t) = (к,t) = (k11(t),k12(t);k21(t),k22(t);...;kn1(t),kn2(t)). Пусть K1 (t) и K 2 (t) - общее число соответственно приоритетных и бесприоритетных заявок, обслуживаемых в сети; K1 (t) + K2 (t) = K(t) - общее число обслуживаемых заявок в момент времени t. При этом Ks (t) является кусочно-постоянными функциями времени с q интервалами постоянства: Ks (t) = Ks1, t e [TO,T1) , Ks2, t e T1,T2) , Ksq , t e [т[-1, T L где Ksi - число заявок типа s в сети на l -м интервале времени [T-1, T), l = 1, q , Kt = Ku + K2l. Например, в логистических транспортных системах (ЛТС) в связи с достаточно высокой стоимостью транспортных средств и относительно долгим периодом их эксплуатации число таких средств меняется через значительные промежутки времени, т.е. интервалы постоянства достаточно велики (на практике обычно 1-2 года). Число линий обслуживания в СМО mi (t), i = 1, n, m0(t) = K1(t) + K 2(t), вероятности переходов заявок между ними Pj (t), i, j = 0, n , зависят от времени. Дисциплины обслуживания заявок обоих типов в каждой СМО - FIFO. Обозначим через цjs (t) интенсивности обслуживания заявок типа s в j -й СМО в момент времени t, j = 0, n, s = 1,2 . Введем также следующие обозначения: sji(kji(t),mj (t)) = mm{kjl(t),mj (t)} , j = 0,n , 'kj2(t), kfl(t) + kj2(t) < mj (t), mj (t) - kfl(t), kji(t) < mj (t), j(t) + kj2(t) > mj (t), j = 0,П, (1) 0, kfl(t) > mj (t). 1. Вывод уравнения для плотности распределения ожидаемого дохода отдельной системы Обозначим через vj, (k, t) полный ожидаемый доход, который получит на l -м интервале времени СМО Sc замкнутой сети с приоритетными заявками за время t, если в начальный момент интервала она находится в состоянии k . В течение малого промежутка времени At сеть может остаться в состоянии (k, t) либо совершить переход в состояние (k + Ii1 -I j1, t + At), (k + Ii2 - I j 2, t + At), при этом для простоты будем считать, что pti (t) = 0 , i = 0, n . Здесь Ios - 2n -вектор, состоящий из нулей; Iis - 2n -вектор с нулевыми компонентами, за исключением компоненты с номером 2(i - 1) + s, которая равна 1, i = 1,n, s = 1,2 [1]. Теорема. Плотность распределения дохода на l -м интервале времени p*vcl (x{, t) системы Sc сети удовлетворяет с точностью до членов порядка малости вl = K-2 дифференциальному уравнению в частных производных ^^ = -£ I As (x,, t) Ш^А + 2 I I Bttl (x,, t) ^Pc-pA + r* (xi, t) (2) dt i=1s =1 dx,si 2 i, j=1 s =1 dx,sl dxjsl ( ku n ^ K ~ ^xju V Kl j=1 j в точках существования производных, где Ai1l (xl, t) = I Ц j1 (t)Pp (t)в j1 (xj1l, ljl (t)) + Ц01 (t)P0i (t) j=1 в j 2 (kji (t), kj 2 (t), mj (t)) = < Ai 21 ( xl, t) = |Ц j 2 (t) P ji (t )B j 2 ( xj1l, xj 21, ljl (t)) + Ц 02 (t) P0i (t) j=1 (K2[ - n > K 1 x j 2l Kl j=1 (3) Byu (xl, t) = -ц j1(t)pji в fl(xfll, ljl (t)), Bml (xl, t) = I ц j1(t)q (t)B j1(xj1l, ljl(t)), (4) j=0 B ij 2l (xl, t) = -Ц j2(t)Pji B j 2 (x j1l, x j 2l, ljl (t)), Bii 2l (xl, t) = I Ц j12(t)qj (t)B j2(x j1l, xj2l, l jl (t)), (5 j=0 f Pji (t) - 1 j = i, f1 + Pji (t), j = i- i /ч mj (t) ■ Г" p-(t)=ц j ^ q*-(t)=|P, j j ij, (t)jj=1 n rcl (x,t) = Kl I [ц j1(t)B j1(xj1l, ljl (t))r% (t) + Ц j2(t)B j 2(xj1l, xj2l, ljl (t ))r$(t)] Pji (t) + rd (t), i, j=0 r(jCl(t) = K?R$(t), rcl (t) = K,Rc (t), i, j, c = , s = 1,2, l = й ■ Доходы от переходов между состояниями сети R(С (t), Rc (t) определены внутри доказательства. Доказательство. Положим, что если на интервале времени [t,t + At] сеть совершает переход из состояния (k, t) в состояние (k + 1ii -1, t + At) (это может произойти с вероятностью цj1(t)sj1(kj1(t),mj (t)) u(kj1(t))u(K1(t) - kii(t))Pji (t)At + o(At)), то доход системы Sc составит R(1(t), поэтому доход данной СМО в момент времени t + At будет равен этой величине плюс ожидаемый доход v* (k + 1i1 -1 j1, t), который она получает за оставшееся время t, если бы начальным было состояние (k + 1i1 -1 ji, t). Аналогично, если на интервале [t, t + At] сеть совершает переход из состояния (k,t) в состояние (k + 1i2 - 1j2,t + At) с вероятностью 2(t)ej2(kji(t),kj2(t),mj(t))x x u(kj2(t))u(K2(t) - kt2(t))р^ (t)At + o(At), то доход системы Sc составит R(.^(t) плюс ожидаемый доход v* (k + 1t2 -1 j2, t), который она получает за оставшееся время t, если бы начальным было состояние (k + 1t2 -1 j2, t). Кроме того, будем считать, что система Sc получает доход Rc (t) за единицу времени в течение пребывания сети в состоянии (k, t). Сеть остаётся в состоянии (k, t) в течение n времени At с вероятностью 1 -£ [ц,1 (t)sj1(kj1(t),mj(t)) + цj2(t)s,-2(k,1(t),kj2(t),mj(t))]x j =o x At + o(At), при этом доход системы Sc составит Rc (t)At + v*cl (k, t). Из вышесказанного следует, что полный ожидаемый доход v* (k, t + At) системы Sc в момент времени t + At удовлетворяет системе разностных уравнений v* (k, t + At) = ji - £[цji (t)6ji (kji (t), mj (t)) + цj2 (t)e j2 (k^ (t),kj2 (t), mj (t))]AtJ x dvci(k, t) = £ dt i, j=0 xRc(t)At + v*(k,t))+ £ [цji(t)eji(kji(t),mj (t))u(kji(t))u(Ku -kfl(t))pp(t)At x i, j=0 x(R j)(t) + v*i (k + 1ii - 1ji,t ^ + ц j 2(t )e j 2 (kji(t), kj 2(t), mj(t ))u(kj 2(t)) x x(K21 -k,2(t))pfi(t)At(Rjfc>(t) + v*(k +1,2 - 1j2,t))] + o(At). (6) В силу определения выражения e ji, e j2, согласно (i) и определению функции Хевисайда в соотношении (6) можно опустить функции u(kj2(t)). Кроме того, в дальнейшем мы будем проводить асимптотический анализ при Ks < N ^да, s = i, 2, поэтому можно считать, что u(Ku - kii(t)) = u(K2l - kt2(t)) = i. Учитывая это, при At ^ 0 из (6) получаем систему разностно-дифференциальных уравнений (РДУ) для ожидаемых доходов системы Sc цji (t)e ji (kji (t), mj (t)) (v*i (k + 1Л - 1ji, t) - v*i (k, t)) + + E i, j=0 S* (t) = +цj2 (t)ej2 (kji (t), kj2 (t), mj (t)) (v*i (k + 1i2 - 1j2, t) - v*i (k, t)) [i (t)e ji (kji (t), mj (t))R$ (t) + цj2 (t)e j2 (kfl (t),kj2 (t), mj (t))Rj2? (t)] рр (t) + Rc (t). (7) Pn (t) Перейдем к плотности распределения дохода СМО Sc pvcl (xt, t). Рассматривая случай большого числа заявок i

Скачать электронную версию публикации