Researching of Retrial Queueing system MMPP|GI|1 by using asymptotic analysis method on heavy load condition.pdf В связи с бурным развитием информационно-вычислительных систем, систем коммуникаций, появлением и усложнением разнообразных технологических систем особый интерес с середины прошлого века получили исследования нового класса систем массового обслуживания - системы с источником повторных вызовов (И! 1В) или Retrial Queuing System (RQ-системы). Особенность таких систем [1] заключается в том, что имеют место ситуации повторного обращения требований к обслуживающему прибору, если при входе в систему попытка встать на обслуживание была неудачной (так как прибор был занят). В реальных информационных и экономических системах достаточно часто встречаются такие процессы. Предположим, что на телефон (единственный) некоторого учреждения в случайном порядке поступают вызовы. Если в момент поступления вызова телефон свободен, то абонент обслуживается, причем разговор длится в течение случайного времени, которое необходимо для обслуживания. Если же телефон занят, тогда клиент через некоторое время пытается повторно дозвониться в фирму. Первые системы такого рода были рассмотрены Р.И. Вилкинсоном [2] и Дж. Коэном [3]. Основные подходы к описанию систем с ИПВ были описаны Г. Гош-тони [4] и А. Элдином [5]. Наиболее полное и глубокое исследование различных процессов в системах с повторными вызовами проведено в работах Г. И. Фалина и Дж. Артолехо [6, 7]. Ими получены характеристические функции для RQ-систем M|M|1, M|GI|1, М|М|С и других систем с пуассоновским входящим потоком, а также рассмотрены разнообразные методы для исследования таких систем. Многие из поставленных задач в моделях RQ-систем решались численно белорусскими учеными [8, 9]. В данной же работе применяется метод асимптотического анализа для исследования таких систем с непуассоновским входящим потоком. 1. Математическое описание Рассмотрим (рис. 1) однолинейную RQ-систему с источником повторных вызовов, на вход которой поступает MMPP-поток (Markov Arrival Poisson Process) заявок с матрицей условных интенсивностей рЯ, где параметр р и значения элементов матрицы "к будут определены ниже, и матрицей Q инфинитезимальных характеристик цепи Маркова n(t), управляющей MMPP-потоком, время обслуживания каждой заявки имеет произвольную функцию распределения B(x). Если поступившая заявка застает прибор свободным, то она занимает его для обслуживания. Если прибор занят, то заявка переходит в ИПВ, где осуществляет случайную задержку, продолжительность которой имеет экспоненциальное распределение с параметром с. Из ИПВ после случайной задержки заявка вновь обращается к обслуживающему прибору с повторной попыткой его захвата. Если прибор свободен, то заявка из ИПВ занимает его для обслуживания, в противном случае заявка мгновенно возвращается в источник повторных вызовов для реализации следующей задержки. Пусть i(t) - число заявок в ИПВ, n(t) - цепь Маркова, управляющая MMPP-потоком, z(t) - оставшееся время обслуживания, а k(t) - определяет состояние прибора следующим образом: (0, если прибор свободен если прибор занят. Обозначим P{k(t)=0, n(t)=n, i(t)=i}=P(0,n,i,t) - вероятность того, что прибор свободен в момент времени t, управляющая MMPP-потоком цепь Маркова находится в состоянии n ив источнике повторных вызовов находится i заявок; а P{k(t)=1, n(t)=n, i(t)=i, z(t)

Скачать электронную версию публикации