Motion group of the simplicial plane as a solution of a functional equation.pdf Метрическая точка зрения на геометрию, возникшая в XIX веке, отраженная в работах Г. Гельмгольца [1] и А. Пуанкаре [2], тесно связанная с групповой концепцией Ф. Клейна [3], позволила Ю.И. Кулакову создать достаточно общую концепцию расстояния - теорию физических структур [4], основу которой составляет так называемая феноменологическая симметрия. Сущность феноменологической симметрии состоит в том, что в n-мерном пространстве между всеми взаимными расстояниями для n+2 произвольных точек имеется функциональная связь [5]. Г.Г. Михайличенко [6, 7] установлена эквивалентность групповой и феноменологической симметрий, позволившая ему построить полную классификацию двумерных феноменологически симметричных геометрий [8]. В этой классификации наряду с хорошо известными двумерными геометриями (плоскость Евклида, плоскость Лобачевского, плоскость Минковского, симплектическая плоскость, двумерная сфера, двумерный однополосный гиперболоид) представлены плоскость Гельмгольца, в отношении которой проводились исследования В.А. Кыровым [9], псевдогельмгольцева плоскость и симплициальная плоскость, которая также была отмечена и использована геометрами А. А. Александровым [10] и Р.И. Пименовым [11]. Целью данного исследования является нахождение локальной группы множества всех движений симплициальной плоскости как решение функционального уравнения. Определение множества всех движений плоскости, сохраняющих метрическую функцию [7] как функцию пары точек, приводит к разработке аналитических методов решения соответствующих функциональных уравнений, что позволит дополнить теорию функциональных уравнений, поскольку в ней известно немного общих методов их решения [12-15]. Пусть имеется множество M2, являющееся гладким двумерным многообразием, а также отображение некоторого множества Gf IM2 х M2 в R , сопоставляющее каждой паре точек (A,B) IGf вещественное число f (A,B) IR . Если x, y - локальные координаты двумерного многообразия М2, то для отображения f (A,B) можно записать его локальное координатное представление (сохранив функциональный символ f): f (A, B) = f ( Xa , Уа , Xb , Ув), (1) где xA, yA, xB, yB - локальные координаты текущих точек А и В пары (A, B) е Gf. Следуя [8], будем точки многообразия М2 обозначать i, j, k, l и соответственно их координаты xi, yi и т.п. Здесь и везде далее поскольку i = (xi, yi), j = (xj,y^), то f (i, j), согласно (1), есть некоторая функция f (xi, yi, x}-, y}-) и, в частности df (i, j) = fxi^jj) (2) dxi dxi В отношении метрической функции f (A,B) будем предполагать выполнение следующих аксиом: А1. Область определения Gf функции f (A,B) есть открытое и плотное множество в М2 х M2 . А2. Функция f в локальных координатах имеет гладкость того порядка, который достаточен для наших целей. А3 (Аксиома невырожденности). Для координатного представления функции f (A,B) выполняются следующие неравенства: dfj * о, dfj * о, (3) d( xt, y) d( Xj, y j) где xi, yi и Xj, yj - локальные координаты текущих точек i и j пары (i, j) е Gf (следует учитывать правила обозначений, принятые нами в (2)). Заметим, что при условии (3) ранг касательного отображения для отображения (1) равен 2, то есть максимален. Рассмотрим гладкое отображение Fv : U ^EсR6, где U сM2 хM2 хM2 хМ2, сопоставляющее четверке (ij,k,l) точку z = (f (i, j), f (i,к), f(i, l), f(j, к), f (j, l), f (k,l)) е R6, область определения которого U, очевидно, открыта и плотна в М2 х М2 х М2 х М2. Далее, пусть имеется ещё одно гладкое отображение Ф: E ^ S с R , где E с R6, которое сопоставляет точке z е R6 число Ф(z) е R . Определение 1. Будем говорить, что функция f(i, j) задает на гладком двумерном многообразии М2 двумерную феноменологически симметричную геометрию ранга 4, если кроме аксиом А1, А2, A3 выполняется аксиома А4. А4 (Аксиома феноменологической симметрии). Существует плотное в U с М2 х М2 х М2 х М2 подмножество, для каждой точки Т которого, то есть четверки (i, j, k, l) и некоторой ее окрестности е((i, j, k, l)), найдется такое достаточно гладкое отображение Ф: E ^ S с R , определенное в некоторой области E с R6, содержащей точку z = (F (е((i, j, k, l)))), что в ней grad Ф* 0 и множество F((е(i, j, k, Pf)) является подмножеством множества нулей функции Ф , то есть Ф( f (i, j), f (i, k), f (i, l), f (j, k), f (j, l), f (k, /)) = 0 (4) для всех упорядоченных пар четверки (i, j, k, l) из e((i, j, k, l)). Данные построения поясняет рис. 1: феноменологически симметричной геометрии ранга 4 Если данная аксиома выполнена для отображения Ф (f (i, j), f (i, k), f (i, l), f (j, k), f (j, l), f (k, l)), то на множестве E величины f (i, j), f (i, k), f (i, l), f (j, k), f (j, l), f (k, l) связаны независимым функциональным соотношением (4). Функциональная матрица отображения Fv: (df (i, j) df (i, k) df (i, l) 0 0 0 dxi dxi dxi df (i, j) df (i, k) df (i, l) 0 0 0 dy, dy dxi df (i, j) 0 0 df (j, k) df (j, l) 0 dXj df (i, j) dx}-df (j, k) dx}-df (j, l) 0 0 0 dy} dyf dyf 0 df (i, k) 0 df (j, k) 0 df (k, l) dxk dxk dxk 0 df (i, k) 0 df (j, k) 0 df (k, l) dyk dyk dyk 0 0 df (i, l) 0 df (j, l) df (k, l) dxl dxl dxl 0 0 df (i, l) 0 df (j, l) df (k, l) V dyt dyt dyt имеет 8 строк и 6 столбцов, а ранг этой матрицы есть ранг касательного отображения. Определенная выше двумерная феноменологически симметричная геометрия ранга 4 наделена групповой симметрией [8]. Определение 2. Гладкое локальное взаимно однозначное (обратимое) отображение x'=X( x, y), y'=X( x, y), (6) удовлетворяющее условию d(X( x, y), ст( x, y) * 0, (7) d( x, y) называется движением, если оно сохраняет метрическую функцию f (МО, X(j), ст(0, ст( j) ) = f (i, j), (8) где X(i) = X( x,, y,), X (j) = X( x}, y}), a(i) = a( x,, yt), j) = ст(xj,y} I f (i, j) = f (x,yl, xj,y}). Здесь и в последующем изложении материала будем использовать эти обозначения. Рассмотрим симплициальную плоскость, которая задается на гладком двумерном многообразии метрической функцией f (i, j) = (x - xj )m (y - yj)n , (9) где m, n - отличные от нуля различные целые числа. Условия m * 0, n * 0 делают функцию, в которую координаты x,, yi и xj, yj точек i и j входят существенным образом в соответствие с аксиомой А3, невырожденной, а условием m * n исключается двумерная геометрия плоскости Миньковского, явный вид метрической функции которой приведен в работе [8, с. 13]. Для любых четырех точек i, j, к, l симплициальной плоскости шесть взаимных расстояний связаны уравнением (4), выражающем ее феноменологическую симметрию, явный вид которого для целых чисел m, n неизвестен. Наличие связи (4) подтверждается непосредственным вычислением в программе Matlab ранга функциональной матрицы (5), который равен 5. Преобразование (6) сохраняет метрическую функцию (9): (X(i) - X( j))m (CT(i) - ст( j))n = (x,. - xj )m (у, - yj )n . (10) Равенство (10) является функциональным уравнением на множество движений (6). Теорема. Множество всех движений симплициальной плоскости есть трехпа-раметрическая группа ее преобразований x' = ax + у, y ' = Py + 5, (11) где a mpn = 1. Доказательство. Заметим, что в отношении преобразования (6), определяющего движение, предполагается только его гладкость и обратимость, выражаемая условием (7). Аналитический метод решения функциональных уравнений типа (10) состоит в сведении их к алгебраическим и дифференциальным уравнениям [16]. Продифференцируем функциональное уравнение по координатам x}-, y}- точки j и разделим на него результаты дифференцирования: da( j) dX( j) m m X(i) -X(j) dXj a(i) -a(j) dxf (12) dX( j) m да( j) X(i) -4j) dyt a(i) -a(j) dyf y - yt Полученные два равенства (12) рассмотрим как систему алгебраических уравнений относительно дробей-1-, -1-. X(i) -X( j) a(i) -a(j) Определитель этой системы (12) m dX( j) n дст( j) m- n dx] dX( j) m-- n dXj da( j) fd(X( j), ст( j)) d(x,, yj) A(j) = dy] dyj в котором A(j) = A(xj, yj), вследствие условия (7) отличен от нуля, и поэтому она может быть решена методом Крамера: mn da(j) 1 da(j) 1 1 Mi) -X( j) A(j) dyj xl - x} A( j) dx} yl - y} m2 dX(j) 1 mn dX(j) 1 (13) 1 ^(i) -CT(j) A(j) dyj xt - x, A(j) Sx, y - y, Для сокращения записи последующего изложения материала представим решения (13) в виде =b+h 1 - * 1 - - (14) . = - + * X (i) -X( j) u 3 ст(/) -ст( j) и 3 введя следующие обозначения для переменных и коэффициентов соответственно: m2 dX(j) A(j) dy( ; mn дст(j) 3 = У - у, b =u = x - x. A(j) dy; mn dX(j) А = A(j) A(j) Согласно этим обозначениям, переменные u, 3 независимы, а коэффициенты a, b, g, h могут зависеть от точки j, причем в силу условия (7) ha - bg Ф 0 . Из решений (14) найдем разности u3 . ч u3 ^(i) -ст( j) = ■ (15) X (i) -X( j) = gu + a3 hu + b3 и подставим их в исходное функциональное уравнение (10): da( j) um3m un3n (16) ■ = um 3n (gu + a3)m (hu + b3)n откуда после простых преобразований получаем тождество (gu + aЗ)m (hu + ЬЗ)п = unSm . После дифференцирования этого тождества по переменной u получим выражение mg (gu + a&)m (hu + ЬЗ)п + nh (gu + a&)m (hu + ЬЗ)п = nu"3m gu + a3 hu + ЬЗ u которое с учетом тождества (gu + a3)m (hu + ЬЗ)" = u"3m примет следующий вид: mg + nh n gu + aЗ hu + ЬЗ u Преобразуем последнее выражение: mghu2 + (m - n)ЬguЗ - naЬЗ2 = 0 u( gu + aЗ)(hu + ЬЗ) откуда mghu 2 + (m - n)ЬguЗ-naЬЗ2 = 0. (17) Переменные u = xi - x,, З = yi - y, как функции координат точки i независимы. Дважды дифференцируя тождество (17) по переменным u и З, получим следующие ограничения на коэффициенты выражений (15): hg = 0, Ьg = 0, aЬ = 0, которые имеют место одновременно с неравенством ha - Ьg Ф 0. Из того что Ьg = 0 , с учетом неравенства следует, что ha Ф 0 , откуда h Ф 0, a Ф 0 , и поэтому g = 0, Ь = 0 . Но тогда значительно упрощаются выражения (15) для разностей с учетом введенных обозначений u = xi - x ■, З = yi - y,: xi - X,■ yi - y, X(i) -Ц j) = ^-■, a(i) -CT( j) =, (18) a h в которых, напомним, a = a(j) Ф 0, h = h( j) Ф 0. Дифференцируя результат (18) по координатам точки i, разделяем переменные: dk( xi, yi) 1 до( xi, yi) 1 - 1 =-= const = a, - 1 =-= const = p . dxt a(xj, yj) dyi h(x, , y,) Введение констант a и p позволяет в выражениях (18) осуществить дополнительное разделение переменных: Х(xi, yi) - axi = Х(x,, y,) - ax, = const = у, CT( xt, yi) - Py = a( x,, y,) - Px, = const = 5, то есть X( x, y) = ax + у, ст( x, y) = Py + 5. (19) Дополнительная связь на константы выражений (19) возникает при их подстановке в исходное функциональное уравнение (10): a mpn = 1. (20) Функции (19) со связью (20) как полное решение функционального уравнения (10) по формулам (6) определяют трехпараметрическое множество всех движений (11) симплициальной плоскости. Это множество является группой по композиции движений, причем выполнение всех аксиом группы очевидно. Теорема полностью доказана. Дополнительно отметим, что метрическая функция симплициальной плоскости (10) является двухточечным инвариантом группы преобразований (11). С другой стороны, каждый такой инвариант f (i, j) = f (xi, y, Xj, y}-) является решением функционального уравнения f (X( x, у, X ст( x, у, X X( xj, y}X ст( xj , y})) = f (x, Уг, xj, y}) для группы преобразований (6), определяемой выражениями (19) функций X и ст . Общее решение этого уравнения f(i, j) = x((x-x})m(y,-y] )n) совпадает с метрической функцией (9) с точностью до гладкого преобразования X (f) ^ f и замены локальных координат x, y. Автор выражает глубокую благодарность д.ф.-м.н., профессору Г.Г. Михайли-ченко за постановку задачи и многочисленные полезные замечания и обсуждения.

Скачать электронную версию публикации