Correctness of Abelian torsion-free groups and determinability of Abelian groups by their subgroups.pdf Две абелевы группы называются почти изоморфными, если каждая из них изоморфна подгруппе другой группы [1]. Две абелевы группы называются почти изоморфными по подгруппам с некоторым свойством, если каждая из них изоморфна некоторой подгруппе другой группы, обладающей этим свойством. Задача об изоморфизме почти изоморфных групп привлекала внимание многих алгебраистов. В одной из тестовых проблем Капланского [2] ставится вопрос об изоморфизме абелевых групп, почти изоморфных по прямым слагаемым. Для счетных редуцированных примарных групп эта проблема имеет положительное решение [2], однако П. Кроули привел пример неизоморфных p-групп, каждая из которых изоморфна прямому слагаемому другой группы [3]. В ряде работ исследуются, когда из почти изоморфизма абелевых групп по сервантным или вполне характеристическим подгруппам вытекает их изоморфизм (например, [4-8]). Известная теоретико-множественная теорема Кантора - Шредера - Бернштей-на являлась источником постановки аналогичных задач в алгебре не только для абелевых групп. В [9] изучается теоретико-кольцевой, а в [10] - теоретико-кате-горный аналоги теоремы Кантора - Шредера - Бернштейна. Рассматриваются также почти изоморфные модули (например, [11-13]). Подобные задачи возникают и в других областях математики, в частности в топологии [14, с. 20, 21]. Существует также логический аспект задачи о почти изоморфизме, основанный на том, что если модули почти изоморфны по чистым подмодулям, то они элементарно эквивалентны [15]. Для рассмотренных аналогов теоремы Кантора-Шредера-Бернштейна характерно, в отличие от самой теоремы, наличие примеров отрицательного решения соответствующих задач, а также изучение классов объектов, для которых эти задачи имеют положительное решение. Абелева группа A называется корректной, если для любой абелевой группы B из того, что A = B' и B = A', где A', B' - подгруппы групп A и B соответственно, следует изоморфизм A = B [7]. Для абелевой группы A обозначим соответственно через S(A) и Sub(A) множества ее подгрупп и ее собственных подгрупп. Определение 1 [16]. Будем говорить, что группы A и B t-изоморфны (обознаt чение A = B), если существует биективное отображение множества S(A) на множество S(B), при котором соответствующие подгруппы групп A и B изоморфны. Определение 2 [16]. Будем говорить, что группы A и B s-изоморфны (обознаs чение A = B), если существует биективное отображение множества Sub(A) на множество Sub(B), при котором соответствующие подгруппы групп A и B изоморфны. Естественно возникает вопрос: как связаны между собой t-изоморфизм, s-изо-морфизм и почти изоморфизм. Приведем результаты о такой связи, полученные ранее. Теорема 3 [17]. Если абелевы группы A и B почти изоморфны, то они t-изо-морфны. Так как любые две t-изоморфные группы почти изоморфны, получаем Следствие 4 [17]. Абелевы группы A и B t-изоморфны тогда и только тогда, когда они почти изоморфны. Связь между t-изоморфизмом и s-изоморфизмом устанавливают следующие результаты. Теорема 5 [17]. Если абелевы группы A и B t-изоморфны, то они s-изоморфны. Теорема 6 [17]. Абелевы группы A и B, содержащие собственные подгруппы, изоморфные самим группам, t-изоморфны тогда и только тогда, когда они s-изо-морфны. Естественно возникает вопрос: в каких случаях t-изоморфные (s-изоморфные) группы изоморфны. Определение 7. Если абелева группа A такова, что для любой абелевой группы ts B из A = B (A = B ) вытекает A = B , то будем говорить, что группа A определяется своими подгруппами (своими собственными подгруппами). Вопрос об определяемости группы своими подгруппами (своими собственными подгруппами) представляет самостоятельный интерес, и как оказалось, этот вопрос тесно связан с исследованием корректных абелевых групп. Из приведенных выше теорем вытекают следующие результаты: Следствие 8 [17]. Абелева группа A определяется своими подгруппами тогда и только тогда, когда A - корректная группа. Следствие 9 [17]. Абелева группа определяется своими подгруппами, если она определяется своими собственными подгруппами. Следствие 10 [17]. Если абелева группа определяется своими собственными подгруппами, то она корректна. Заметим, что определения почти изоморфизма, t-изоморфизма, s-изоморфизма можно дать аналогичным образом для двух универсальных алгебр A и B одной и той же сигнатуры. Также аналогично могут быть определены понятия корректной универсальной алгебры и алгебры, определяющейся своими подалгебрами (своими собственными подалгебрами). В приведенных выше результатах никак не учитывается специфика абелевых групп, и поэтому эти результаты с соответствующей переформулировкой справедливы для произвольных универсальных алгебр. Для прямых сумм циклических групп критерии определяемости своими подгруппами и своими собственными подгруппами были получены в [17]. В настоящей работе исследуются корректность абелевых групп из некоторых классов и их определяемость своими подгруппами. Для полноты изложения рассмотрим сначала результаты из [17], относящиеся к группам без кручения (теоремы 11, 13, 14 и следствие 12). Теорема 11. Пусть A - абелева группа без кручения, не являющаяся делимой. Группа A определяется своими собственными подгруппами тогда и только тогда, когда A - корректная группа. Доказательство. Необходимость вытекает из следствия 10. Докажем достаточность. Пусть A - корректная абелева группа без кручения, не являющаяся деs лимой, и B - такая абелева группа, что A = B . Существует такое натуральное число n, что nA Ф A , и, так как A - группа без кручения, то nA = A . B - также группа без кручения. Действительно, если предположить, что в группе B существует ненулевой элемент b конечного порядка, то - конечная подгруппа группы B, а тогда во множестве подгрупп группы A была бы конечная подгруппа A1, такая, что A = |< b >| = o(b), чего быть не может. Если B не является делимой группой, то существует такое натуральное число m, что mB Ф B , и, так как B - группа без t кручения, то mB = B . Применяя теорему 6, получаем, что A = B , а значит, по следствию 4 группы A и B почти изоморфны. Учитывая корректность группы A, имеем A = B . Покажем, что группа B не может быть делимой группой. Пусть B - делимая группа конечного ранга и ее ранг r(B) = n, где n e N, n >1. Запишем группу A в виде A = D © R, где D - делимая часть группы A, а R - редуцированная часть этой группы, причем R Ф 0 . Пусть r(D) = m. Наибольший ранг собственных делимых подгрупп группы B равен n - 1. Наибольшая собственная делимая подгруппа группы A совпадает с D и ее ранг равен m. Из s-изоморфизма групп A и B следует, что n - 1 = m. Так как в группе A есть единственная собственная делимая подгруппа ранга m, а в группе B есть по крайней мере две собственных делимых подгруппы ранга n -1, то это противоречит s-изоморфизму групп A и B. Если же r(B) = 1, т.е. B = Q, то всякая собственная подгруппа группы B имеет ранг 1 и типы собственных подгрупп группы B пробегают множество всевозможных типов, отличных от типа, представленного характеристикой (да, да, ..., да, ...). Ясно, что тогда из s-изоморфизма групп A и B вытекает r(A)=1 и A = B = Q , чего быть не может, так как редуцированная часть группы A отлична от нуля. Пусть теперь B - делимая группа без кручения, имеющая бесконечный ранг. B = © Bi, где Bi = Q для всякого i e I, |/| >К0 . Пусть i0 e I и B1 = © Bi. B1 ieI iel\{i0} собственная подгруппа группы B, изоморфная самой группе B. Тогда, применяя теорему 6 и следствие 4, получаем A = B, чего быть не может, так как группа A не является делимой. ■ Следствие 12. Пусть A - абелева группа без кручения, не являющаяся делимой. Следующие условия эквивалентны: 1) A - корректная группа; 2) A определяется своими собственными подгруппами; 3) A определяется своими подгруппами. Доказательство. Эквивалентность условий 1) и 2) вытекает из теоремы 11. Эквивалентность условий 1) и 3) - из следствия 8. ■ Перейдем теперь к рассмотрению делимых групп без кручения. Теорема 13. Пусть A - делимая группа без кручения. Следующие условия эквивалентны: 1) A - корректная группа; 2) A определяется своими собственными подгруппами; 3) A определяется своими подгруппами; 4) A имеет конечный ранг. Доказательство. Покажем эквивалентность условий 1) и 4). а) 1) ^ 4). Пусть A - делимая группа без кручения, имеющая бесконечный ранг. A = © Ai, где Ai = Q для всякого i е I, |I| >К0. Зафиксируем индекс i0 е I iеI и выберем в группе Ai бесконечную циклическую подгруппу Q (Q = Z). Пусть Л1 = Ci © C, где C = © Ai. Aj - подгруппа группы A, и, так как Л = C, 0 iеI\{i0} то группы A и A1 почти изоморфны, однако A не изоморфна A 1. Значит, группа A не является корректной. б) 4) ^ 1). Покажем, что делимая группа без кручения A конечного ранга корректна. Пусть B - абелева группа и группы A и B почти изоморфны, то есть Л = B' и B = A', где Л', B' - подгруппы групп A и B соответственно. Так как B' - делимая группа, то имеем B = B '© B". Из почти изоморфизма групп A и B вытекает r(A) = r(B') < r(B) и r(B) = r(A') < r(A). Значит, r(A) = r(B) = r(B'), отсюда B" = 0 . Итак, B = B\ и поэтому A = B . Эквивалентность условий 1) и 3) дает следствие 8. Покажем эквивалентность условий 2) и 4). а) 2) ^ 4). Пусть делимая группа без кручения A определяется своими собственными подгруппами. Тогда по следствию 10 группа A корректна и, значит, в силу уже доказанной эквивалентности условий 1) и 4), группа A имеет конечный ранг. б) 4) ^ 2). Пусть делимая группа без кручения A имеет конечный ранг n, где s n > 1, B - абелева группа и Л = B . Понятно, что группа B также имеет конечный ранг m и m > 1. В группе A максимальный ранг собственных подгрупп равен n, а в группе B такой ранг равен m. Из s-изоморфизма групп A и B вытекает n = m. Пусть Aj - делимая подгруппа ранга n - 1 группы A. Тогда в группе B есть подгруппа Вь изоморфная подгруппе Аь Имеем В = Bj © В2, где r(Bi) = n - 1, r(B2) = 1. Если группа B2 не является делимой, то в группе B есть единственная собственная делимая подгруппа ранга n - 1, а именно, подгруппа B1, а в группе A есть по крайней мере две собственные делимые подгруппы ранга n - 1. Это противоречит s-изо-морфизму групп А и В. Значит, В2 - делимая группа, а тогда и В - делимая группа, причем r(B) = r(A). Следовательно, А = В . Если же r(A) = 1, то r(B) = 1 и, так как А и В - s-изоморфны, то А = В = Q . ■ Теорема 13 и следствие 12 показывают, что для абелевых групп без кручения справедлив такой результат. Теорема 14. Пусть A - абелева группа без кручения. Следующие условия эквивалентны: 1) A - корректная группа; 2) A определяется своими собственными подгруппами; 3) A определяется своими подгруппами. Перейдем к исследованию корректности обобщенно вполне разложимых групп и их определяемости своими подгруппами. Абелева группа A называется обобщенно вполне разложимой, если она разлагается в прямую сумму групп ранга 1 (не обязательно без кручения). Понятие вполне разложимости было распространено с групп без кручения на произвольные группы С. Меджиббеном [18]. С.Я. Гриншпон доказал, что если G - обобщенно вполне разложимая группа, то любые два разложения группы G в прямую сумму групп ранга 1 изоморфны и всякое прямое слагаемое группы G - обобщенно вполне разложимая группа. Он также получил полное описание вполне характеристических подгрупп и решетки, ими образуемой, для обобщенно вполне разложимых групп [19]. Выберем в каждом классе изоморфных абелевых групп ранга 1 по одному представителю и пусть 3 = {Ga }ае5 - множество этих представителей. 3 является максимальным множеством попарно неизоморфных абелевых групп ранга 1. Зададим отношение частичного порядка на множестве S следующим образом: a1 < a2, если группа Ga1 изоморфна подгруппе группы Ga2 . Пусть A - обобщенно вполне разложимая группа. Собирая для всякого ае S в ее разложение в прямую сумму групп ранга 1 прямые слагаемые, изоморфные Ga, получим разложение A = © A(a), где A(a) = © Ga (некоторые из групп aеS 3a A (а) могут быть нулевыми). Определение 15. Будем говорить, что для группы A = © A(a), где aеS A(a) = © Ga, выполняется условие S-максимальности, если любая цепь ai < а2 < 3a .. .К0, и для любого РеS, такого, что P 3a . Пусть Q - некоторый класс абелевых групп. Напомним, что группа A из класса Q называется корректной в классе если для любой группы B из класса Q из того, что группы A и B почти изоморфны, следует изоморфизм A = B . Если группа A из класса Q такова, что для любой группы B из класса Q из /-изоморфизма групп A и B следует A = B, то будем говорить, что группа A определяется своими подгруппами в классе Теорема 17. Обобщенно вполне разложимая группа A корректна в классе обобщенно вполне разложимых групп тогда и только тогда, когда A S-ступенчатая группа и для нее выполняется условие S-максимальности. Доказательство. Необходимость. Пусть A = © A(a), где A (a) = © Ga aеS 3a обобщенно вполне разложимая группа и A - корректная группа в классе обобщенно вполне разложимых групп. Допустим, что А не является S-ступенчатой группой, то есть существуют такие в < а из S, что За > Х0 и Зр < За . Рассмотрим два случая: а) Зр = 0 , б) Зр Ф 0 . а) Представим группу А(а) в виде А(а) = A * (а) © A * *(а), где А*(а) - группа, изоморфная Ga, А**(а) - прямая сумма За групп, изоморфных Ga. Рассмотрим подгруппу B группы А: B = А * (Р) © А (у) © А * *(а), где А*(Р) - подгруппа групуфа пы А*(а), изоморфная Gp. Так как А **(а) = А (а), то группа А изоморфна подгруппе группы B, а именно А = © А (у) © А **(а). Значит, группа А и B почти уФа изоморфны. Однако группы А и B не изоморфны, так как в группе А нет прямого слагаемого, изоморфного Gp, а в группе B есть. б) Пусть А = А(а) © А(Р) © А(у). Рассмотрим следующую подгруппу B уфа,р группы А: B = А(а) © А (у). Группы А и B не изоморфны, так как в группе B нет уфа,р прямых слагаемых, изоморфных Gp. Однако группы А и B почти изоморфны. Покажем это. Так как За > Х0 и Зр < За, то За +Зр = За и группу А(а) можно записать в виде А(а) = А *(а) © А **(а), где А*(а) - прямая сумма Зр групп, изоморфных Ga, А**(а) - прямая сумма За групп, изоморфных Ga. Имеем B = А *(а) © А **(а) © А(у) и А = А *(Р)© А **(а) © А (у), где А *(Р) = © Gp уфа,р уфа,р Зр - подгруппа группы А * (а) = © Ga. Значит, группы А и B почти изоморфны. Итак, получили, что всякая обобщенно вполне разложимая корректная группа является S-ступенчатой. Пусть А = © А(а) - корректная в классе обобщенно вполне разложимых aeS групп и S-ступенчатая группа, но для группы А не выполняется условие S-мак-симальности, то есть существует такое подмножество S1 = {а t }ieN элементов множества S, что А(аг-) Ф 0 и цепь а1 < а2 < . .. аr, имеем За < К0. Тогда А1 = А(аг) © А*, где А1* = © А (а). Рассмотрим следующую подгруппу B aeSj\{a т} группы А: B = А1* © А2. Так как ^ За = К0, а при m > r все кардинальные числа m >r За конечны, то в группе А* есть подгруппа, изоморфная группе А1. Итак, получили, что группы A и B почти изоморфны. Однако группы A и B не изоморфны, так как в группе B нет прямого слагаемого, изоморфного Ga , а в группе A есть. Достаточность. Пусть A - S-ступенчатая обобщенно вполне разложимая группа и для нее выполняется условие S-максимальности. A =© Ap ©A0, где p Ap =©A(a) = ©©Ga, Ga - коциклические р-группы и A0 =©A(a) = ©©Ga, a a 3a a a 3a Ga - группы без кручения. Пусть группа B почти изоморфна группе A . Среди подгрупп группы A, изоморфных группе B, выберем такую (обозначим ее через B), что B = © Bp ©B0 и B0 < A0, Bp < Ap для каждого простого числа р. p Среди подгрупп группы B, изоморфных группе A, выберем такую (обозначим ее через C), что C = ©Cp ©C0 и C0 < B0, Cp < Bp для каждого простого числа р. p Тогда из почти изоморфизма групп A и B следует почти изоморфизм A0 и B0, Ap и Bp для каждого простого числа р. а) Ap и Bp почти изоморфны. Покажем, что Ap = Bp . Так как для группы Ap и, следовательно, Bp выполняется условие максимальности на множестве S, получаn m ем Ap = © © Ga , Bp = © © Ga] . i =3a,. ' 1 =1a ] ] В силу почти изоморфизма групп Ap и Bp, получаем такие системы неравенств: n < m m 3n t r(At,) = r(Bt,) = r(Ct,), то аналогично доказанному показывается, что r (Bt) < r (At) + r (A 'n A *(t)). Но r (At) - бесконечный кардинал и r(At) > r(A 'n A * (t)). Следовательно, r(Bt) < r(At) + r(A П A * (t)) = r(At), то есть r (Bt) < r (At). Так как r (Ct) < r (Bt) < r (At) и r (At) = r (Ct), получаем, что r (At) = r (Bt). в) Рассмотрим ненулевой элемент а е At, где r (At) = r конечен. Так как r (At) = r (Bt), в группе Bt можно выбрать максимальную линейно независимую систему элементов b1, ., br. При доказательстве утверждения б) в пункте 1) было показано, что элементы b1, ., br имеют ненулевые координаты в компоненте At, то есть b1 = b 1 + b* , ..., br = b \ + b* , где b 1,...,b \ е At, b*,...,b* е A *(t), b 1 Ф 0, ..., b 'r Ф 0, причем b 1,..., b 'r является линейно независимой системой элементов группы At. Так как r(At) = r , b 1,...,b'r - максимальная линейно независимая система элементов группы At. Тогда существуют такие целые числа m Ф 0 , m1, ..., mr, что ma = m1b 1 + ... + mrb 'r. Тогда ma = m1(b1 - b-*) +... + mr (br - b*) = b + a*, где b = m1b1 +... + mrbr е Bt, a* = -(m1b1* +... + mrb*r) е A*(t). Покажем, что существует такое натуральное число n, что na* е B *(t). Элемент a* е A *(t), следовательно, a = a1 + ... + ak , где a1 е A^,..., ak е A^ , причем t1 > t,..., tk > t. Так как r(At) конечен, то в силу строения группы A ранги подгрупп A ,.■■, A также конечны. Тогда, согласно индуктивному предположению, существуют такие натуральные числа n1, ..., nk, что n1a1 е B(t1), ..., nkak е B(tk). Следовательно, na* е B *(t), где n = n1 •... • nk . Обозначим через m* = nm. Тогда m*a = n(b + a ) = nb + na*. Так как nb е Bt, * * na е B *(t), имеем ma е B(t). Первая часть утверждения в) доказана. Так как r(At,) = r(Bv) = r(Ct,) для любого типа t' > t, то вторая часть утверждения в) доказывается аналогично. Итак, утверждения а), б), в) верны для любого типа t е TA. Так как r(At) = r(Bt) для любого типа t е TA (утверждение б)), то для доказательства изоморфизма вполне разложимых групп A и B осталось показать, что TA = TB . Пусть t е TA , то есть r (At) Ф 0. Тогда в силу утверждения б) имеем r (Bt) Ф 0, то есть t е TB . Таким образом, TA с TB. Покажем, что TB с TA . Пусть t' е TB и тип t' больше некоторого типа из множества TA. Тогда в силу утверждения а) имеем t' е TA . Пусть t' е TB и тип t' меньше некоторого типа из множества TA. Допустим t' g TA . Рассмотрим ненулевой элемент b е Bt,. Так как b е A, то b = a1 + ... + ak , где a1 е At,..., ak е At . Имеем t1 > t',..., tk > t'. Так как t' g TA , то в силу строения группы A r(At) конечен для всех 1 < i < k . Тогда, согласно утверждению в), существуют такие натуральные числа m1, ..., mk, что m1a1 eB(t1), ..., mkak e B(tk). Следовательно, mb e B*(t'), где m = m1 •...• mk . Но также имеем, что mb e Bt' . Получили противоречие. Пусть t' e TB и тип t' не сравним с любым типом из множества TA. Рассмотрим ненулевой элемент b e Bv . Так как b e A, то b имеет ненулевую координату в некоторой компоненте At группы A. Тогда t' < t. Получили противоречие с тем, что тип t' не сравним с любым типом из множества TA. Таким образом, TB с TA . Получаем, что TA = TB . Следовательно, группы A 0 и B0 изоморфны. Итак, получили A0 = B0 и Ap = Bp для каждого простого числа р. Значит, группы A и B изоморфны и, следовательно, A - корректная группа в классе обобщенно вполне разложимых групп. ■ Используя теорему 17 и следствие 8, получаем такой результат. Следствие 18. Обобщенно вполне разложимая группа A определяется своими подгруппами в классе обобщенно вполне разложимых групп тогда и только тогда, когда A - S-ступенчатая группа и для нее выполняется условие S-максимальности.

Скачать электронную версию публикации