The properly helmholtz plane as Finsler geometry.pdf Г.Г. Михайличенко в начале 80-х годов 20 века была построена полная классификация двумерных феноменологически симметричных геометрий [1], то есть геометрий, для которых шесть взаимных расстояний между четырьмя произвольными точками функционально связаны. В таких геометриях расстояние понимается в обобщенном смысле как значение некоторой функции, называемой метрической. Выполнение метрических аксиом не предполагается. Все эти геометрии наделены максимальной подвижностью, то есть для них существуют группы движений максимальной размерности, равной трем [2, 3]. Классификация таких двумерных геометрий содержит как хорошо известные геометрии (евклидову, псевдоевклидову, симплектическую, сферическую и т.д.), так и неизвестные (собственно гельмгольцеву, псевдогельмгольцеву, дуальногельмгольцеву и симплици-альную). В данной работе применяются методы изучения финслеровых пространств для исследования собственно гельмгольцевой двумерной геометрии. 1. Собственно гельмгольцева плоскость Рассмотрим арифметическую плоскость R2 и метрическую функцию в ней [1]: 2 2 X - y 2Y arctg 1 ^ f (X, y) = [(X1 - y1)2 + (X2 - y2)2]e X-y , X2 » где y = const, y ф 0, функция arctg-- принадлежит классу Cш, причем при X X2 X2 x1 > 0, arctg- е (-п/2,п /2), а при X1 < 0, arctg- е (-п /2, п /2). Рассмотрим X X касательную плоскость TX (R2) к R2 в произвольной точке х = (x1, x2) . Обозначим через T(R2) касательное расслоение. Зададим в прямом произведении R2 х T(R2) метрическую функцию _u2 1---- Y arrtg- f (u) = 4 (u1)2 + (u2)2 e u, (1) где u e Tx (R2). Касательный вектор u e Tx (R2) называется неизотропным, если для него определено значение метрической функции (1). Множество неизотропных касательных векторов в точке х обозначим через Dx(R2) с Tx(R2). Пусть D(R2) с T(R2) - расслоение неизотропных касательных векторов. Очевидно, метрическая функция (1) определена в прямом произведении R2 х D(R2). Определение 1. Тройка (R2, D(R2), f) задает собственно гельмгольцеву двумерную геометрию (плоскость). Теорема 1. Метрическая функция (1) положительно однородна. Доказательство. Действительно, Xu2 I- yarctg-f (Xu) =4 (Xu1)2 + (Xu 2)2 e Xu = Xf (u) для любого X > 0 . □ Таким образом, собственно гельмгольцева двумерная геометрия принадлежит классу финслеровых пространств [4]. Очевидно, метрическая функция (1) положительна, то есть f (u) > 0, где (u1)2 + (u2)2 Ф 0, u e D(R2). Теорема 2. Собственно гельмгольцева плоскость является положительно определенным двумерным финслеровым пространством. Доказательство. Вычисляем производные первого и второго порядков: u2 u2 df2 1 2 2yarctguT df2 2 1 2yarctg ^ = 2(u'-yu2)e u , = 2(u2 +yu')e u , du du 2 d2f 2(х, u) = 2(u')2 + (1 + 2y2 )(u2)2 - 2yu'u2 ur dw'du1 (u1)2 +(u2)2 ' 2 d2f 2(х,u) = 2 y((u1)2 -(u2)2) -2y2u'u2 e2^arctgur ди1ди2 (u1)2 +(u2)2 ' 2 d2f 2(х, u) = 2 (1 + 2y2)(u' )2 + (u2)2 + 2yu'u2 ^^ ди 2du2 (u1)2 +(u2)2 ' ,,2 Затем вычисляется определитель д 2 f 2 (х, u) д 2 f 2( х, u) duldul дu1дu2 д 2 f 2 (х, u) д 2 f 2( х, u) 4yarctg- = (1 + y2)e u > 0. Д = дн 2дul ды 2ды 2 Элемент в левом верхнем углу данного определителя, очевидно, положителен: 2 д2 f 2(х, u) = 2(u' -yu 2)2 + (1 + y2)(u 2)2 e2^ 7 > 0 duldul (u1)2 + (u2)2 ' Из полученных результатов следует, что квадратичная форма % %1 = 2g, % %1 (2) du ouJ положительно определена. □ 2. Собственно гельмгольцево двумерное многообразие Это многообразие определено в работе автора [5], и локальное его изучение было темой кандидатской диссертации. В этом пункте все индексы принимают значения 1 и 2. Рассмотрим касательную плоскость TX (M) к двумерному многообразию M в произвольной точке х и касательное расслоение T (M). В прямом произведении M х T (M) зададим метрическую функцию, которая в координатной окрестности U с M имеет явный вид: bu' -- yarctg-!- f (X, u) =y](aiui )2 + (by )2 e a'u' , (3) где u e TX (M), а ai = ai (х), bi = bi (х) - функции класса C3, y = const, y Ф 0 . В каждой точке х векторы a,u1, biu1 линейно независимы, то есть a1b2 - a2b1 Ф 0 . Касательный вектор u e Tx (M) называется неизотропным, если для него определено значение метрической функции (3). Множество неизотропных касательных векторов в точке х обозначим через Dx (M) с Tx (M). Пусть D(M) с T(M) -расслоение неизотропных касательных векторов. Очевидно, метрическая функция (3) определена в прямом произведении M х D(M). Определение 2. Тройка (M, D(M), f) задает геометрию двумерного собственно гельмгольцева многообразия. Заметим, что для собственно гельмгольцевой плоскости a1 = 1, a2 = 0, b1 = 0, b2 = 1. Теорема 3. Метрическая функция (3) положительно однородна. Доказательство. Действительно, bXu1 -- Yarctg -г f (х, Xu) = у (a, Xu1 )2 + (b, Xu1 )2 e a'xu = Xf (х, u), для любого X > 0 . □ Итак, геометрия двумерного собственно гельмгольцева многообразия принадлежит классу финслеровых пространств [4]. Метрическая функция положительна, то есть f (х, u) > 0, где (a1u' )2 + (b1u' )2 Ф 0, u e Dx (M). Терема 4. Собственно гельмгольцево двумерное многообразие (M, D(M), f) является положительно определенным двумерным финслеровым пространством. Доказательство. Сначала вычисляем производные первого порядка: 2 „ (2) f 2( Xu ) 2yarctg^^ = 2[( a + Yb )(1)+(b - Ya )(2)]e (1), du где для удобства введены обозначения (1) = akuk ,(2) = bkuk. Потом вычисляются компоненты финслерова метрического тензора . . 1 д2 f2 (x, u) gj (x, u) =--:-:- собственно гельмгольцева двумерного многообразия: 2 du1 du1 A (1)2 + B: (2)2 + Cj (1)(2) 2Yarctg^-) (1) 11 (1)2 + (2)2 где введены сокращающие обозначения: A, = aa1 +Yabi +Yba, +(1 + 2 y 2) bb1, B11 = (1 + 2Y2)aiai -Yaibj -Ybiaj + bibi, Cj = -2Y(aiai +Yaibi +Ybiai - brbi). Затем вычисляется определитель u2 4Yarctg- = g11g22 - g12g21 = (1 + Y2)(a1b2 - a2b1 )2 6 u > Д = g11 g12 g 21 g 22 Нетрудно также доказать, что gn > 0. Из полученных результатов следует, что квадратичная форма (2) положительно определена. □ Очевидно, метрический тензор положительно однороден степени 0 и симметричен по индексам. Предложение 1. Контравариантный финслеров метрический тензор собственно гельмгольцева двумерного многообразия задается формулой 1 О (2) у = A11 (1)2 + B11 (2)2 + C1 (1)(2) -2yarctg-(1^ g "(1 + y2)(axb2 -a2bj)2((1)2 +(2)2) 6 , где A11 = A22, A21 =-A,2, A22 = Au, B11 = B22, B21 =-Bu, B22 = B„, C11 = C22, 21 22 C = -C12 , C = C11 . Доказательство. Контравариантный финслеров метрический тензор g 1 определяется из формулы g: g1k = 5 k, где 5k - символ Кронекера. Тогда 22 = An(1)2 + Bn(2)2 + Cu (1)(2) ^«g g (1 + y2)( ab -abfd1 +(2)2)6 , ,1 = A2j(1)2 + B21 (2)2 + C21 (1)(2) „-2Yarctg^ 6 (1), (1 + y2)( ab - a2b)2((1)2 +(2)2) 11 - Ац(1)2 + БцО2 + Сц (1)(2) ^«g (1 + у2)(ab - fl,1Й1)1((1)1 +(2)2) ' Если ввести обозначения: A11 - A A21 -- A A22 - A 22 12 11 11 21 22 Б - Б11, Б --Б11, Б - Б11, 11 21 22 С - С22 , С - -С12 , С - С11 , то для компонент контравариантного метрического тензора получим исходную формулу. □ Основной финслеров тензор [4] определяется формулой C, (X,u) -1 j?- -1 , lk 2 duk 4 du1 du13uk а дополнительный тензор - формулой Aj (x, u) - f (x,u)Cjk (x,u). Очевидна полная симметрия по индексам: Cjk - C1k - Cki - C 11k и A)k - A1k - Ak1 - Alik . Предложение 2. Основной и дополнительный финслеровы тензоры собственно гельмгольцева двумерного многообразия задаются формулами 2 (2) 2 (2) C - 2Y(1 + Y)Pijk «(J . - 2у(1 + Y2)Pijk «(7 (4) 1 ((1)2 + (2)2)2 ^ , Alk ((1)2 + (2)2)3/2 ^ , () где введено обозначение pijk - (bk (1) - ak (2))(b1 (1) - a 1 (2))(b1 (1) - a1 (2)). Доказательство. Для доказательства необходимо вычислить производные от компонент метрического тензора и привести подобные. □ Определим единичный вектор, а также ковариантный нормальный к нему вектор: п u k ( о -ТК\ l --, mi - -sikl , где eik - I _ I. f(x,u) 1 lk ' lk |^VA 0 J Точные вычисления приводят к выражениям для собственно гельмгольцева двумерного многообразия: (2) (2) . -yarrtg- I-- yarctg--- 1 - u.e (1) m ^(1 + Y2)(bi (1) - a. (2))e (1) V(1)2 + (2)^ 1 л/(1)2 + (2)2 В финслеровой геометрии доказано соотношение Ak - Jmim,mk, (5) где J - скаляр [4]. Предложение 3. Финслеров скаляр J собственно гельмгольцева двумерного многообразия вычисляется по формуле 2у J - . - const. V1+ Y2 Доказательство. Найдем сначала тройное произведение: о „ (2) (1 + у2)3/2(b (1) - at (2))(й; (1) - a] {2)){bk (1) - ak(2))e (1) MM Mi, ---------г j k ((1)2 + (2)2)3/2 о t (2) = (1 + y2)3/2 p1]ke (1) ((1)2 + (2)2)3/2 Подставляя найденное произведение и выражение для тензора Ajk, вычисленное в предложении 2, в формулу (5), получаем выражение для скаляра J . □ Следует отметить, что в теории двумерных финслеровых пространств этот скаляр является важной характеристикой, который для двумерного собственно гельмгольцева многообразия принимает постоянное значение. Заметим, что для римановых двумерных многообразий этот скаляр равен нулю. По вышенайденным тензорам (4) строим новые тензоры Cjk - gllCflk , Ajk (x,u) - f (x, u)Cjk (x,u). В явном виде для двумерного собственно гельмгольцева многообразия они имеют вид Ci - -2Y(bk (1) - ak (2))(bj (1) - а} (2))((а1 + jb1 )(1) + (b1 - ja' )(2)) ]k (ab -a2bl)((1)2 + (2)2)2 , A = -2 у (bk (1) - ak (2))(b j (1) - a} (2))(( a1 + jb1 )(1) + (b1 - ja1 )(2)) ee^ (6) A ik - т TTTt e , (6) j (ab -a2bl)((\)2 + (2)2)3/2 где a1 - a1, b1 - b1. С помощью последнего тензора можно определить финслеров специальный тензор кривизны [4]: S jkh - AkrAjh - ArhAjk. 3 Теорема 5. Финслеров специальный тензор кривизны для собственно гельмгольцева двумерного многообразия равен нулю. Доказательство. Действительно, воспользуемся выражением (6) для тензора Ajk при вычислении финслерова специального тензора кривизны (7): Автором [5] проводилось исследование кривизны двумерного собственно гельмгольцева многообразия, построенной через согласованную связность. Найден соответствующий тензор кривизны: дГ1 ЗГ':, pi _ ik |_1_т'1 г5 ,т5 Rjkl - , + х Г 5kГ jl 5,Г jk , где символы Кристоффеля согласованной связности определяются по формуле г: - 2 ^ (£-i (X jk,+Xkj-Xj), 3a 3b причем h'j -a^j + b'bj +Y(aibj -j), X'jk -bj 3-k-^ зх^ . Оказaлось, что j Ф0 . ил ил Заключение В классификации Михайличенко двумерных феноменологически симметричных геометрий [1] кроме собственно гельмгольцевой геометрии получены еще две на тот момент неизученные геометрии с однородными метрическими функциями: 2 - 2 2 - 2 2рЛг(С)йх1-т f (х, У) - [(х1 - у1)2 - (х2 - y2)2]e х-у , f (х, у) - (х1 - yV-y , где р - const, Рф 1,0 . Эти геометрии называются соответственно псевдогельмгольцевой и дуальногельмгольцевой. Они также принадлежат классу финслеро-вых пространств. В работе В.Х. Льва [6] приводится классификация трехмерных феноменологически симметричных геометрий, среди которых есть собственно гельмгольцева геометрия с метрической функцией: 2 - 2 2 Y arctg х 1 y1 + 2 z1 + 2 z2 f (х,y) - [(х1 - y1)2 + (х2 - y2)2]e х-y . Для этой метрической функции не выполняется основное свойство финслеровой геометрии - свойство однородности, то есть данная геометрия не принадлежит классу финслеровых пространств.

Скачать электронную версию публикации