Finite deformations of a toroidal shell.pdf Исследование характеристик упругих оболочек при возникновении в них конечных деформаций является перспективным направлением развития механики, что подтверждается большим количеством современных публикаций на эту тему [1-5]. В настоящей работе рассмотрена нелинейно-упругая осесимметричная модель тороидальной оболочки под действием внутреннего давления. Выбор схемы следует из распространения деталей подобного рода и внимания исследователей к соответствующей проблематике [6-9]. При этом в работе [10] рассматривается половина тороидальной оболочки, в [11] изучается оболочка с эллиптическим сечением. В публикациях [12, 13] рассматривается тороидальная оболочка при воздействии внешнего и внутреннего давлений, изучается эффект устойчивости, возникающий при превышении внешним давлением внутреннего. Постановка задачи в настоящей работе строится на определяющем соотношении в виде квазилинейной связи тензора истинных напряжений с коротационным тензором Генки, в то время как в работах [7, 9, 14, 15] используется закон Гука, не позволяющий естественным образом удовлетворить условию несжимаемости при конечных деформациях. В отличие от исследований [14, 16], в которых для решения задач с тороидальными оболочками предлагается использовать метод конечных элементов, в настоящей работе используется метод последовательных приближений [17]. 1 Работа выполнена при частичной поддержке гранта Президента Российской Федерации (проект МД-1803.2019.1, формулировка постановки задачи) и РНФ (проект № 19-71-10008, оценка напряженнодеформированного состояния оболочки). Конечные деформации тороидальной оболочки 107 1. Кинематика процесса Рассматривается напряженно-деформированное состояние оболочки, опорная поверхность которой имеет в начальном (недеформированном) состоянии форму тора и нагружается внутренним давлением P. Схема расчета представлена на рис. 1. Оболочка отнесена к цилиндрической системе координат r0, ф, z0. Радиусвекторы, соединяющие центр данной системы с материальными точками опорной поверхности, распределены по закону *0 = (a0 +p0sin Ѳ0) er +Pocos Ѳ0ёz, (1) где a0, p0 - начальные размеры тора, Ѳ0 - угол, определяющий положение точек поперечного сечения опорной поверхности. Положение точек опорной поверхности в начальный момент определяется координатами r0 , ф0 , z0 , а в деформированном состоянии - координатами r, ф , z. В силу осевой симметрии ф = ф0. В результате положения точек деформированной поверхности будут определяться радиус-векторами *0 = r (Ѳ0 ) er + z (Ѳ0 ) ?z . (12) Закон (1.2) учитывает изменение в процессе деформации поперечного сечения оболочки. Из закона движения (1.1), (1.2) следует, что движение поперечного сечения определяется двумя функциями от начальной координаты Ѳ0: Г = Г (ѳ0), z = z(ѳ0). (1.3) Положение точек оболочки, отстающих на расстояние £, , отсчитываемое вдоль нормали к опорной поверхности (ОП), в начальном состоянии определяется в виде X = *0 +^0 n 0 = *0 +^0 (sin Ѳ0 e + cos Ѳ0 £,). (1.4) Положение тех же материальных точек в деформированном состоянии имеет вид (1.5) * = *0 +^3 (Ѳ0 )§0n . В.В. Козлов, А.А. Маркин 108 Закон (1.5) предполагает выполнение обобщенной гипотезы Киргоффа - точки, лежащие на прямой вдоль начальной нормали П0, остаются на прямой вдоль текущей нормали n . При этом Х3 (Ѳ0) - относительное удлинение (укорочение) нормальных волокон. Построение аффинора деформации для закона движения (1.3) - (1.5) Как известно [18], аффинор деформации связывает материальные элементарные векторы в начальном и деформированном состоянии. Элементарный (бесконечно малый) вектор начального состояния имеет вид dx = - dѲ0 + - d%0 + дxdy. дѲ0 д%0 дф Векторы-касательные к координатным линиям, обозначим как д x ^ _ д x ^ _ д x e =5Ѳ0’^ = "дф ;ё = 5^0. Из выражений (1.1), (1.4), (1.6) получим д X "да (1.6) д x е1 =тт° + %0 т0 =(Ро + % 0 )т0 (1.7) где т0 = cos Ѳ0er - sin Ѳ0ez - единичный вектор касательной к линии Ѳ0; П0 = sin Ѳ0ёг + cos Ѳ0ёг - единичный вектор вдоль % ; д x. д ёг д ёг + %0sin Ѳ0^ = («0 +P0sin ѳ0))- + %0sin Ѳ0 ёф= „ „ч дф дф дф (1.8) = («0 +Р0 sin Ѳ0 + %0 sin ѳ0 ); д x0 e3 = -^ = sin Ѳ0 ёг + cos Ѳ0 ёг = П0 д%0 толщина оболочки, тогда Пусть h0 Так как a0 » h0, пренебрегаем слагаемым, содержащим % в формулах (1.7) и (1.8), тогда ё1 ^ Р0 (cos ѳ0ёг - sin ѳ0ёг ) = Р0т0; ё2 = («0 +Р 0sin Ѳ0 )ёф; (1.9) ё3 = sin Ѳ0ёг + cos Ѳ0 ёг = П0. Используя представление отсчетного базиса в виде (1.9), найдем его контрава-риантные компоненты из условия ?' = ё'кёк, (1.10) где g'k - компоненты обратной метрической матрицы. Для определения g'k найдем ковариантные компоненты метрической матрицы. Используя (1.9), получим Конечные деформации тороидальной оболочки 109 g11 - e ■ ej - ро , gi2 - gi3 - g23 - 0 ; g22 - e2 ■ e2 -(о +PoSin Ѳо )2 ; g33 - e3 ■ ?, - 1. Из условия gikgk - 8/ находим компоненты обратной метрической матрицы 1 11 1 1 . g ---; g 22 -- ч2 g11 Ро («о +PoSin Ѳо) ; g33 = 1 . (1.11) Из выражений (1.9), (1.1о) и (1.11) получим векторы контравариантного базиса 1 1 e1 - g11e1 --(cos Ѳо?г - sinѲоez ) = -то; ро ро -1 11 т - 2 22 -e - g e2 - 1 ао +ро sin Ѳ Ч- Г еФ; (1.12) e3 - g33e3 - e3 - по - sin Ѳоer + cos Ѳоez, Элементарный материальный вектор деформированного состояния представим в виде 5Ѳо 5ф 5^о dx -^Х dѲо +-dф+-d%0. Используя выражения (1.2) и (1.5), получим следующие представления векторов материального базиса: где r dr de” z -о dz dF о э1-д Х д Хо дѲо дѲо ■ -re+ z e; д Хо d er э2 --- - r-- - reф; 5ф 5ф ф д Х (1.13) э3 -- - X3 п, о Единичный вектор, касательный к меридиану, с учетом (1.13) принимает вид х - л/ёЦ -(r'^r + z'ez )=|Щ'l, (114) где G11 -э1 ■ э1 - (r ') +(z') -Xj2p0; X -■!-^ - относительное удлинение мери- Ро дионального волокна. Единичный вектор нормали к деформированной поверхности определяем, используя (1.15): (1.15) - э1 X э2 1 ^ ч - 1 / ч п - ймРТ -^-(r er + z ez )x ^ф -7-(r ez - z er ) |э1І |э2І X1X2 ГоРо Х1ро где X2 r --относительное удлинение окружного волокна. го В.В. Козлов, А.А. Маркин 110 С учётом данных выражений векторы материального базиса (1.13) запишем в виде =ѴоТ ; з2 = rev= г0Х2еф; ^ . (1.16) Представим тензор-аффинор Ф в следующем виде [18]: Д- -і д x ^ Ф = V x = e -= e эі . ~ д xi i В нашем случае, используя формулы (1.12), (1.16), находим разложение аффинора по векторам локальных базисов Ф = ѴТ) Т + Х2 ефеф+^з Поn . (1.17) Построение мер деформаций и тензора поворота Из определения меры деформаций Коши - Грина через тензор-аффинор находим ее диадное разложение по начальному локальному базису Q = Ф 'Ф = Я1 Т0Т0 + Я2e(pe(p + ^з ПоПо, где Фт =Х1хх0 + Я2ефеф+Я3nn0 - транспонированный тензор. Тензор деформаций Коши - Грина по определению принимает вид § = 2(Q-Е)= -22(2 - 1)т0т0 + 2(я.2 - 1)^ф?ф + 2(2 -1)/50П0. Тензор деформаций Фингера F = 2(1 -я?)тт+ 2(1 -я2)?ф?ф+1 (1 -Я32)n . (1.18) «Левая» (инвариантная относительно вращения) мера искажения принимает вид 1 и = Q 2 =Я1Х0 Т0 +я 2 бфбф + я 3П0 П0. (1.19) Из (1.19) получаем «левый» тензор Генки Г = ln и = ln Я1 т0т0 + ln Я2 ефеф + ln Я3 п0п0 . Найдем тензор поворота R , используя его определение [18]: R = U-1 -Ф . Из (1.17) и (1.19) получим R = (Я-ЧТ0 + Я-Чеф + Я-ЧП0 )-(Я1Т0Т + Я2ефеф +Я3П0П) = Т0Т + ефеф +П0П . Найдем компоненты R в локальной системе т0, еф, п0: RT0T0 = Т0 •R • *0 = * • Т0 = cos (Ѳ0 -Ѳ) ; RT0n0 = T0 •R • П0 = * • П0 = -sin (Ѳ-Ѳ0 ) ; Rn0т0 = П0 • R • *0 = П • T0 = sin (Ѳ-Ѳ0 ) ; Rn0n0 = П0 • R • П0 = П • П0 = cos (Ѳ-Ѳ0 ) . Таким образом, матрица тензора R в локальном базисе определяется углом поворота у = Ѳ - Ѳ0 .Здесь Ѳ - угол между n и ez. Конечные деформации тороидальной оболочки 111 Угол Ѳ определяется с учетом (1.14) и (1.15) по формулам r ’ cosѲ = п -e = r0^2 . sin Ѳ = n ■er = - V0 p0^1 z' (1.20) V0 2. Напряженное состояние и условия равновесия тороидальной оболочки В теории нелинейной упругости используются различные тензорные меры напряженного состояния и соответствующие уравнения равновесия. В частности, рассмотрим представление напряженного состояния в тороидальной оболочке тензором истинных напряжений - S. Пренебрегая сдвиговыми напряжениями, получим данное разложение S по материальному базису S = S Э + S Э2 Э2 + S Э3 Э3 . Заменяя векторы Эі по формулам (1.16), представим тензор напряжений разложением по текущему локальному базису: S =СТ11ТТ+СТ22ефеф+СТ33П П , (2.1) Л 2 2 11 /л \\2 22 , 2 33 где ^11 - Р0s , ^22 - ѵ^2Гз) s , ^33 - ^3 s . Распределение компонент тензора напряжений по начальным координатам х1 =Ѳ0, x2 =ф, x3 = |0 должно удовлетворять уравнениям равновесия. Используем смешанную (Лангранжево-Эйлерову) форму условий равновесия, которая имеет следующий вид в отсутствие массовых сил [19]: Э д S д xl = 0 (2.2) Векторы контравариантного материального базиса - Э1 определяем из (1.10), используя условие Э1 ^j = Sl, . В результате получим Э1 = - 1 1 ^1р0 -т ; э = ^2Г0 Ѵ Э3 =- 1 Х3 п. (2.3) h0 Полагаем оболочку тонкой: - ^ 1, а напряженное состояние однородным по Р0 толщине. При этом напряжением ст33 по сравнению с стп и ст22 пренебрегаем. В условиях равновесия производную от ст33 по |0 учитываем. В результате условие равновесия (2.2) для тензора напряжений (2.1) примет следующий вид: д(стпт т + ст22ефеф) Э1 д(СТ11ТТ + СТ22ефеф) + Э 2 дѲ0 дф ’22ефеф)_+Э3 ■_дСТ3^Й = g д^0 (2.4) 112 В.В. Козлов, А.А. Маркин Найдем производные по координате Ѳ0. Из рис. 1 следует, что n = sin Ѳег + cos Ѳё2; т = cos Ѳёг - sin Ѳёг. В результате получим дт (2.5) дѲ0 ■ = -(sinѲёг + cosѲez )Ѳ' = -Ѳ’п, (2.6) где Ѳ = d Ѳ d Ѳ0 Найдем Ѳ’. Дифференцируя cos Ѳ, запишем (cos Ѳ) =- sin Ѳ-d^. ѵ ’ dѲ0 Выражая cos Ѳ и sin Ѳ по формулам (1.20), имеем d Ѳ d Ѳ0 h f r' z ’ I h Xjr0 f ^2 h, Из определения цилиндрической системы следует, что дёф дѲ0 = 0. Используя (1.14), найдем производные по ф : д r r' д ё„ дф h1p0 дф = cos Ѳ ёф; дёф дф ■ = -ё, = - cos Ѳт-sin Ѳ n . (2.7) (2.8) (2.9) (2.10) Преобразуем слагаемые в уравнении (2.4), используя (2.3), (2.5) - (2.10): ч дст11Тт э ‘ дѲ 1 _ f „ дап дт -т-| тт--+ а h1p0 дѲ дѲ . дт дѲ 1 f дст„ h1 Р0 I дѲ -1 дст22ёфёф Л д ёф п -1 - п '---~ = 0 , так как -- = 0 , э -ёф = 0 ; дѲ0 ф дѲ 0 0 -2 дстптт 1 дф h2r0 1 f дё, дф h2r0 э2 дст22ёфёф ёф - ст11 дт. -т = - 1 дф h2 r0 дёф| 1 ■Ѵстпёфcos Ѳ = cos Ѳ h2 r0 -Ст11т; дёф ф ^ ^ '■'ф 1 ^'■'ф Ѵ°22|^ф ёф+ ёф^-|=-СТ22- - 1 дф^ h2 r0 дф h2 r0 Складывая полученные слагаемые, получим sin Ѳ 1 да 1 дстп cosѲ , , і_ і h+ 1-К -Ст22 ) Іт + | h1p0 дѲ0 h2r0 -а11 -- ■а22 (cosѲT+sinѲn). -Goo +- 33 л 11 л 22 л "-і я h1p0 h2r0 h3 д^0 n = 0. Конечные деформации тороидальной оболочки 113 Приравнивая к нулю компоненты вектора в левой части данного выражения, с учетом (1.20) имеем следующую систему условий равновесия: дстп d r r-11 +-дѲ0 дѲо -ст22 ) =0; (2.11) Х3 (Ѳ'ГСТП +X!PoSin ѲСТ22 )-^іРог = 0. (2.12) 5^0 Входящие в условия равновесия удлинения выразим через функции r (Ѳ0) и Ѳ(Ѳ0). Из (1.17) и (1.20) получим 1 r' r \\ =---; Х2 = -. (2.13) р0 cos Ѳ r0 Полагая материал несжимаемым, из условия несжимаемости [19] XjX 2Х3 = 1 находим удлинение Х3 в виде Х3 = р0r0 cosѲ/r'r . (2.14) Таким образом, условия равновесия и кинематические характеристики выражаются через две функции r (Ѳ0) и Ѳ(Ѳ0). 3. Определяющие соотношения, замкнутая система уравнений Для замыкания системы уравнений (2.11) - (2.14) необходимо определить связь между тензором истинных напряжений и соответствующей мерой деформации. В работе [20] показано, что для изотропных упругих материалов сопряженной с тензором истинных напряжений является «правая» мера искажения V , связанная с мерой Фингера F и тензором аффинором соотношением [19] F = V2 =ФT -Ф . Используя представление аффинора (1.17), получим V2 =Х2х'Е + Х^ефеф+Х^n n . Отсюда находим правую меру V = XjTx + Х2ефеф + X3n n . Энергетически сопряженным с тензором ст является «правый» тензор Генки H = ln V = ln XjTx + ln Х2ефеф + ln Х3nn . По аналогии с законом Гука запишем определяющее соотношение для несжимаемого материала в следующем виде [19]: ст = 2GlnV + ст0Е, (3.1) где G упругий модуль; Е - единичный тензор; ст0 3 (ст11 +ст 22 + ст33). В.В. Козлов, А.А. Мариин 114 В координатной форме (3.1) при условии плоского наряженного состояния, когда а зз = 0, принимает вид а 11 а 22 2G ln X1 + 3 (а„ 2G ln X 2 + 3 (а11 + а22 ), + а22 ). Разрешая данную систему относительно а11 и а22, получим а11 = 4GlnX1 - 2GlnX2 = 2G(2lnX1 - lnX2); а22 = 2G(2lnX2 - lnX1). (3 2) С целью явного введения внутреннего давления P запишем граничные условия. На внутренней поверхности тора, где n- = -n0, вектор напряжения имеет вид hi n0. 2 P ’ = Pn0 = gL= hp .П0 = -а33L ~ 5 2 На внешней поверхности тора P > = 0 = а33 |.=hp n0 . 5 2 h0 h0 Проинтегрируем уравнение (2.12) по координате §0 от -^ до . В результате данное уравнение примет следующий вид: X3h0 (Ѳ0 )(Ѳ'га11 +Xjp0 sinѲа22) = Xtp0rP. (3.3) Уравнения (3.3), (2.11), условия (2.13), (2.14) с определяющими соотношениями (3.2) образуют замкнутую систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций ап (Ѳ0), а22 (Ѳ0), Ѳ (Ѳ0), r (Ѳ0), Xj (Ѳ0), X3 (Ѳ0). Полагая r = r0X2, приведем данную систему: r0XдаП , дr0X2 дѲ0 дѲ0 (аП - а22 )=0; X3h0 (Ѳ0 ) (r0X2Ѳ'а11 + X1P0 sinѲа22 ) = Р0r0X1X2P '; ап = 2lnX1 -lnX2; а22 = 2lnX2 -lnX1; (3.4) (3.5) (3.6) X1 = 1 р0 cos Ѳ Здесь а11 - au!2^j , а22 - а22 внутреннее давление. д ^ ; X3 = Р0cos дѲ0 /2G, P = P/2G - X д r0X2 X-, - • дѲ0 (3.7) безразмерные напряжения и 4. Оценка напряженно деформированного состояния оболочки. Система уравнений (3.4) - (3.7) представляет сложную нелинейную систему из 6-ти уравнений. Точное аналитическое решение не может быть найдено. Для оценки напряженного и деформированного состояния используем метод последовательных приближений [17]. В начальном приближении линеаризуем систему Подставляя значение r0 = a0 +р0 sinѲ0 и интегрируя (4.3) по Ѳ0 от 0 до Ѳ0. находим закон изменения стп (Ѳ0) в квадратурах: -Ѳ0 P P f -cos Ѳ0 (a0 +р0 sinѲ0 )dѲ0 (4.4) ей, = Конечные деформации тороидальной оболочки 115 уравнений равновесия (3.4),(3.5). Без учета геометрической нелинейности полагаем, что в (3.4), (3.5) Х1 = X2 = Х3 = 1, Ѳ = Ѳ0, Ѳ' = 1. В результате приходим к следующим уравнениям равновесия: -|г(Г0в11 )-Ро C0sѲ0е22 =0; d Ѳ0 (4.1) р Г /ѵ r0еП +P0sin Ѳ0е22 = -0±P . (4.2) Домножим уравнение (4.1) на sinѲ0, а (4.2) на cosѲ0 и сложим. В результате получим sin Ѳ0 -d- (r06n) + cos Ѳ0г0 d Ѳ, 0 11 P0 r0 cos Ѳ0P. ^0 "0 Преобразуя левую часть данного уравнения, приходим к выражению [sinѲ0 (оеп)] = ^т0-Cos Ѳ0P. d Ѳ h0 (4.3) 0 h0_ sinѲ0 (a0 +р0 sinѲ0) В случае постоянной толщины из (4.4) приходим к известному закону распределения мембранных усилий [21]. Подставляя (4.4) в (4.2), находим закон распределения окружных напряжений: р0 P V h0 -се, Л р0 sin Ѳ0 (4.5) Рассмотрим распределение напряжений при постоянной начальной толщине оболочки (h0 = const). Интегрируя (4.4), получим закон изменения меридиональных напряжений a0 + -sin Ѳ0

Скачать электронную версию публикации