Investigation of an approximate solution of some classes of surface integral equations of the first kind.pdf 1. Введение и постановки задачи Известно, что одним из методов решения внешних краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца является их приведение к интегральным уравнениям первого рода. Так как интегральные уравнения в замкнутом виде решаются лишь в очень редких случаях, первостепенное значение приобретает разработка приближенных методов решения интегральных уравнений с соответствующим теоретическим обоснованием. Пусть D с R3 - ограниченная область с дважды непрерывно дифференцируемой границей S, f и g - заданные непрерывные функции на S, C2 (Q) - пространство всех дважды непрерывно дифференцируемых функций в области QcR3, а C(Q) - пространство всех непрерывных функций в области Q . Рассмотрим следующие краевые задачи для уравнения Гельмгольца. Внешняя краевая задача Дирихле. Найти функцию и е C2 (r3\\d)^C(r3\\d) , удовлетворяющую уравнению Гельмгольца Ди + k2и = 0 в R3 \\ D, условию излучения Зоммерфельда равномерно по всем направлениям x /| х| и граничному условию и = f на S, где k - волновое число, причем Im k > 0 . Э.Г. Халилов 44 Внешняя краевая задача Неймана. Найти функцию u е С2 (R3\\D)nC(R3\\d), обладающую нормальной производной в смысле равномерной сходимости, т.е. предел du(Х) = lim (nix),gradu(x + hn(x))), x е S, dn (x) h^O V ' h>0 существует равномерно на S, удовлетворяющую уравнению Гельмгольца в R3 \\ D, условию излучения Зоммерфельда на бесконечности и граничному условию du / dn = g на S, где n (x) - единичная внешняя нормаль в точке x е S. В работе [1, с. 115] показано, что если решение уравнения Гельмгольца u (x), удовлетворяющее условиям излучения имеет нормальную производную в смысле равномерной сходимости, то это решение можно представить в виде u (x ) = fL (,)(x-y > R-URl ф k (x, y )\\dS„ , x е R3\\D , ’ f 1 dn(y) dn(y) k' ylj y , , где Фk (x,y) - фундаментальное решение уравнения Гельмгольца, т.е. exp(ik\\x- y\\) з Фк (x, y) = 7 1 P1, x, y е R3, x * y. 4n| x - y| Используя это представление, в работе [1, с. 116-117] доказано, что функция u (x) =f"l^( y )5 0 , обратные операторы T-1 и L-1 выражаются через обратные операторы (I - ft) 1 и (I - ft) 1, явные виды которых неизвестны, где I - единичный оператор в пространстве C (S). Настоящая работа посвящена исследованию приближенных решений интегральных уравнений первого рода (1) и (2). 2. Исследование приближенного решения интегрального уравнения (1) Отметим, что оператор T является неограниченным в пространстве N( S). Однако в работе [1, с.102] показано, что если Im к > 0 , то оператор T обратим, причем оператор T-1, обратный к оператору T , дается соотношением T-1 =-L (I - ft) (I + ft )-1. Следовательно, при любой правой части f е C (S) гиперсингулярное интегральное уравнение (1) однозначно разрешимо в пространстве N( S), причем решение интегрального уравнения (1) имеет вид у = -L (I - ft) (I + ft) (I + ft)g = - L (I - ft) g . (3) Используя формулу (3), дадим метод вычисления приближенного решения гиперсингулярного интегрального уравнения (1) в определенных точках. N Разобьем S на «регулярные» элементарные части: S = ^ St . Под «регуляр- і=1 ной» элементарной частью условимся понимать множество точек, подчиненных следующим требованиям: (1) для любого і е{1,2,...,N} элементарная часть Sl замкнута и его множество 00 внутренних относительно S точек Sl не пусто, причем mes Sl = mesSl и при 0 0 j е {1,2,...N}, j ф l, S{nS} =0 ; (2) для любого l е{1,2,...,N} элементарная часть Sl представляет собой связный кусок поверхности S с непрерывной границей; Э.Г. Халилов 46 (3) для любого l е{1,2,...,N} существует так называемая опорная точка x(l) = (x1 (l),x2 (l),x3 (l)) e Sl, такая, что xGdSi xsdSi (3.1) r (N)~ Rj (N)l, где (N) = min |x-x(l)| и Rl (N) = max|x-x(l)|; (3.2) ■slRl (N) < d/2 , где d - радиус стандартной сферы (см.[7, с.400]); (3.3) для любого j e{1,2,..,N} г. (N) ~ r (N). Очевидно, что r(N)~R(N) и lim r(N)= lim R(N)=0, где R(N)=maxRl(N), N ^w N^w l=1,N t=1, N r(N) = minr (N). Кроме того, в работе [8] доказано, что при разбиении поверхности S на «регулярные» элементарные части имеет место соотношение R (N) 1 VN' с элементами Рассмотрим матрицу KN =(clj- ). = klj = 0, при l Ф j, дФк (x(l),x(j)) 2-к\\ W-V )) mesS., при l Ф j. dn (x (l)) 1 Кроме того, пусть [0, при l Ф j, f"l] [2Фк (x(l),x(j))mesSj, при l Ф j, и для функции g e C (S) вводим модуль непрерывности вида ю(g,т) = max |g(x) - g(y)|, 5 > 0. |x - y\\ 0 и g е C (S). Тогда последовательность N ( N vN (x (l))=-Y fij IY kjng(x (n)) j=1 \\ n=1 сходится к значению решения у)x) уравнения (1) в опорных точках x(l), l = 1, N, причем max I y(x(l))-yN )x(l)) I < M l=1, n' ' ln N llgl Ljn + ro)g ,1/x/N ) Доказательство. Принимая во внимание оценку погрешности кубатурной формулы (4) и лемму 2, получаем |v(x (l ))-VN (x (l ))j< ( (I - K)-1 g )x (l ))-Y flj gl - K )-1 g ) (j)) Y flj j=1 (g - K ) g ))x )j ))-Ykjng)x (n)) n=1 < M )I - K )-1 g |[ R (N )| ln R (N )|+ю()і - K )-1 g, R (N)) N +M [||g|LR(N)|lnR(N)| + a(g,R(N))]Y| flj ] j=1 (5) Э.Г. Халилов 48 Известно, что, если Imк > 0 , то уравнение (см. [1, с. 92]) Р-КР=g имеет единственное решение р* =( I - K) g е C (S). Тогда, принимая во внимание неравенство ю( ftр*, h)< M||р*||ад h |ln h|, находим ю ((I -K) g,R(N)) = ю(р*,R(N)) = ю (g + (Kр*,R(N)) <

Скачать электронную версию публикации