Principle of energies of partial motions for mechanical, electrical and electromechanical holonomic systems with multipl.pdf При решении задач динамики механических систем с несколькими степенями свободы для составления уравнений движения (УД) традиционно используются либо принцип Германа - Эйлера - Даламбера - Лагранжа, известный сегодня как принцип кинетостатики (ПК) - принцип Даламбера (ПД) для системы, либо общее уравнение динамики (ОУД), либо ковариантные формы УД типа уравнений Лагранжа, Нильсена, Аппеля, Гамильтона... [1-6]. Получив любым способом УД, перед их решением часто возникает вопрос о динамическом анализе взаимодействий движений системы или взаимодействий какого-либо тела с остальной частью системы. Для этого авторами [4, 7] были введены формы записи УД в виде «Представления взаимодействующих движений» (ПВД) и «Представления взаимодействующих тел» (ПВТ). Суть этого заключается в том, что в ПВД в левые части уравнений переносятся члены, описывающие кинематически чистое парциальное движение (ПД) по одной из обобщённых координат qj [4, 7]. В правой же части остаются все остальные силы (пары сил), включая и сторонние по отношению к данному движению силы инерции. Эти силы инерции являются динамическими реакциями внутренних инерционных связей по отношению к данному j-му парциальному движению. ПВТ есть аналог второго закона Ньютона для каждого тела. «Представления» позволяют понимать процесс взаимодействия движений разных степеней свободы и взаимодействия тел. После этого анализа решается система уравнений и находится закон движения системы (ЗДС). Рассматривается пример для механической системы с двумя степенями свободы без трения. Исходная расчётная схема изображена на рис. 1. А.И. Родионов, С.Р. Кравцов 128 Рис. 1. Исходная расчётная схема скользящего без трения бруска по горизонтальной поверхности с прикреплённым к его центру масс метаматематическим маятником (m1 - масса бруска; т2 - масса маятника; l - длина нити; F(t) - внешняя сила; xO, yO, zO - система координат; x, ф - обобщённые координаты; mig, m2g - силы тяжести первого и второго тела) Fig. 1. Initial design model of a bar sliding without friction on a horizontal surface with a simple pendulum attached to its center of mass (m1 - mass of the bar; m2 - mass of the pendulum; l - length of the pendulum; F(t) -external force; xO, yO, zO - coordinate system; x, ф - generalized coordinates; m1g, m2g - gravity forces of the first and second bodies) Выведенные УД, например по Лагранжу, представлены в виде ПВД (m1 + m2 )x = F(t) + (Ф2т )x + (Ф2п )x , (1) m2l 2p + m2 gl sin(p) = M2fz (m2x) и в виде ПВТ mix = F(t) + K), + (ф?п ) x +И), • (2) m2l 2p = Mp (m2 x) +M2z (m2 g), где Ф - силы инерции и далее их проекции на координатные оси: K)x = -m2lp cos(p), (Ф2п) = m2p2l sin(p), Mp (m2x) = -m2lxcos(p), (ф2, ) = -m2x , Mp (m2g) = -m2glsin(p). Левые части (1) являются уравнениями чистых парциальных движений. При нахождении ЗДС на основе ПК недостатком является то, что приходится определять и реакции всех связей. С учётом этого задачи для нескольких степеней свободы в целом становятся весьма громоздкими. Предлагаемая теорема (далее Th) позволяет как составлять УД, так и исследовать перетоки энергии в системе между степенями свободы и телами системы, что весьма актуально для понимания физики процесса взаимодействия парциальных подсистем. Теорема об изменении энергий парциальных движений 129 Таким образом, Th сегодня становится весьма актуальной при чтении современных очень кратких курсов «Теоретическая механика», в которых есть только ПД - ПК и нет общего уравнения динамики, уравнений Лагранжа, Нильсена.... Следует заметить, что применение Th при составлении уравнений движения, например, уменьшает число дифференциальных операций до s по сравнению с уравнениями Лагранжа (3s) и уравнениями Нильсена (2s + 1). Здесь s - число степеней свободы. Это также является преимуществом в учебном процессе изложения курса «Теоретическая механика» (ТМ). 1. Теорема об изменении энергий парциальных движений механической системы С учётом наличия кратких курсов ТМ в современных российских ВУЗах достаточно ограничиться выводом Th исходя из ПК. Разумеется, возможен вывод Th исходя из общего уравнения динамики, уравнений Лагранжа II-го рода и т.д. [1-6]. В последнем случае это возможно в силу того, что для голономных систем со стационарными связями действительные перемещения и скорости являются подмножеством возможных. Вывод Th производится в дифференциальной форме. Предварительно вводится удобная терминология. Назовём силы инерции на парциальном j-м движении системы - парциальными (собственными) силами инерции Фпарц j . Все остальные, не парциальные силы инерции, назовём сторонними по отношению к этому движению Фсторі- . «Эйлероподобные» [4-8] сторонние силы инерции и их моменты становятся активными по отношению к данным j-м парциальным движениям. Они являются реакциями динамических инерциальных связей как следствий неизменности расстояний между точками модели «Твёрдое тело» в процессе движения [4, 7, 8]. Очевидно, что мощности Фпарц j с учётом знака можно представить для каждого парциального движения как производные по времени от кинетической энергии парциального движения (3) Конкретное парциальное движение может определяться не только кинетической Tj, но и потенциальной П энергией, а также диссипативными силами, включаемыми в правую часть теоремы Ej=Tj+ Пj, где Ej - полная механическая энергия j-го парциального движения. Это породит для всей механической системы ряд Th об изменении механической энергии парциальных движений в дифференциальной форме записи. Эти Th-мы будут сформулированы так: «Быстрота изменения энергии Ej каждого j-го ПД системы равна сумме мощностей на этом движении задаваемых сил и пар сил, реакций неидеальных связей и сторонних для j-го ПД сил инерции». Ф хторк «к, (4) -(Ek ) = MF • «k + M . j + k = s. А.И. Родионов, С.Р. Кравцов 130 Здесь F,-, Фстор j - главные векторы непотенциальных задаваемых сил на j-м поступательном парциальном движении, в которые включены реакции неидеальных связей и сторонних по отношению к j-му движению сил инерции; MF, Мфтор к -соответствующие главные моменты на k-м вращательном движении; j + к = s -число степеней свободы системы. В данной работе для вывода Th за основу берётся ПК с учётом реалий современных кратких курсов теоретической механики. Выделяется в системе подсистемы кинематически чистых движений, соответствующих q и в общем случае динамически связанных. Это позволит получить уравнения движения системы в обобщённых координатах в ПВД (или ПВТ) и проанализировать переток энергии из одной степени свободы в другую, и от к-го тела к другим телам системы. После анализа всех сил и пар сил на j-м движении как задаваемых, включая в них реакции неидеальных связей, так и реакции идеальных связей и даламберо-вых сил инерции, действующих в системе, составляются уравнения кинетостатики системы в виде [F+ R+ Ф= 0; 1 ' F ' R ' ф (5), [mF + mR + мф = о. Здесь Rj, Ф,- - главные векторы j-х реакций идеальных связей и даламберовых сил инерции поступательных парциальных подсистем, а MR, МФ - соответствующие силам и парам сил главные моменты к-х вращательных парциальных подсистем. Систему уравнений (5) ПК следует переписать в виде -Ф = F ■ + R ■ + Ф , Ф = г 1 е парц j J J стор j’ стор j V j парц j j > -мФ = mF + mR + мФ кпарц к к кстор , м Ф стор =(МФ - 2... имеет место аналогичная механической Th с учётом первой электромеханической аналогии Максвелла [1, 2, 4]. Она доказывается аналогично приведенной выше Th но уже на основе метода контурных токов (МКТ). Последний базируется на 1-м и 2-м законах Кирхгофа. Известно, что 2-й закон Кирхгофа [9-11] исторически является в теории электричества аналогом принципа Даламбера в механике. На основе Th могут Теорема об изменении энергий парциальных движений 131 исследоваться перетоки энергии между степенями свободы электрических систем. Также могут составляться уравнения движения таких систем. Объединяя законы и уравнения теоретической механики с теоретическими основами электротехники на основе постулата Максвелла [1, 2], получим Th об изменении энергии взаимодействующих парциальных движений электромеханических систем. Подводя итоги, подчеркнём, что Th становится весьма актуальной при преподавании укороченных сегодня российских курсов ТМ, теоретических основ электротехники, электромеханики, в которых не читаются ковариантные формы уравнений движения. Далее рассмотрен ряд простых примеров составления уравнений движения механических, электрических и электромеханических систем с несколькими степенями свободы на основании предложенной Th. 3. Примеры Пример № 1. Составим уравнения движения быстровращающегося диска на упругом валу массы m и моментом инерции Jc относительно центра масс смещённого по отношению к исходному положению вала O при t = 0. Вал вращается под действием момента M(t). Сила тяжести диска, находящегося в невесомости, не учитывается. Упругость вала определяется двумя жёсткостями к по осям x и у. В момент движения вал проходит через диск в точке А(х, у). Исходная расчётная схема системы с тремя степенями свободы по х, у, ф изображена на рис. 2 и 3 в двух видах: сверху и спереди. Рис. 2. Исходная расчётная схема Рис. 3. Исходная расчётная схема диска (вид свер-диска (вид сбоку) (т - масса диска; ху) (x, у, ф - система координат и обобщённые ко-Jc - момент инерции; M(t) - вра- ординаты; xK, yK - оси Кёнига; x', у' - подвижные щающий момент) оси; к - жёсткость пружины) Fig. 2. Initial design model of a disk on Fig. 3. Initial design model of the disk on the elastic an elastic shaft (side view) (m - mass shaft (top view) (x, у, ф - coordinate system and of the disk; Jc - moment of inertia; generalized coordinates; xK, ук - Kenig’s axes; x', у'-M(t) - external torque) moving axes; к - longitudinal rigidity of a spring) А.И. Родионов, С.Р. Кравцов 132 Изобразим и проанализируем все действующие в рассматриваемой системе силы, как показано на рис. 4. Упругие силы представлены пружинами. Силы упругости будут определены через парциальную энергию. Инерциальные силы на рис. 4 распишутся в виде Фх = mx, Фу =my , Фпф = тю2/ = тф2/, Фтф = тфl, Mf = Jcф. Исследуем парциальные движения этой системы по обобщённым координатам (рис. 5 - 7). При рассмотрении парциального движения по координате х любое движение по координате у и ф «замораживается» и наоборот. Рис. 4. Силы и пары сил, действующие на диск Fig. 4. Active forces exerted on the disk Рис. 5. Расчётная схема сторонних сил инерции на парциальном движении по координате х Fig. 5. Design model of external inertial forces at partial motion of the system along x-coordinate Рис. 6. Расчётная схема сторонних сил инерции на парциальном движении по координате у Fig. 6. Design model of external inertial forces at partial motion of the system along у-coordinate Рис. 7. Расчётная схема сторонних сил инерции на парциальном движении по координате ф Fig. 7. Design model of external inertial forces at partial motion of the system along ф-coordinate Теорема об изменении энергий парциальных движений 133 Запишем для каждого парциального движения энергию этого движения _ mx2 kx' E = + 1 2 2 2 E2 = my ky2 E =( jc + ml 2 )p2 E3 = 2 На основе (4) получаются выражения d-E = ( Vx ) + ( Vx); dtE2 = ( Vy ) + (( Vy); (7) (8) (9) d-E = ( (Фx)• ю) + (Мz(Фу)• ю) + (M(f)• ю), (10) где Vx = x, Vy = y, ro = p, Mz (Фх ) = mxl sin p, Mz (фу ) = myl cos p. Раскрывая (8) - (10) и сокращая в каждом выражении общие множители, запишем УДС в ПВД: mx + kx = mlp2 cos p + mlp sin p, < my + ky = mlp2 sin p-mlp cos p, (11) (Jc + ml2 )p = mil sin p - myl cos p + M(t). Уравнения движения (11) рассматриваемой системы идентичны уравнениям движения, полученным из уравнений Лагранжа II рода. Пример № 2. На рис. 8 представлена электрическая схема из двух связанных контуров. Покажем, что уравнения электрических движений этой системы могут быть получены не только на основе метода контурных токов [11] или уравнений Лагранжа - Максвелла [2, 4], но также и на основе предложенной Th. Рис. 8. Электрическая схема с двумя связанными контурами (R, r - сопротивления резисторов; С - ёмкость конденсатора; L\\, L2 - индуктивности катушек; U(t) - заданное напряжение на внешнем контуре; ib i2 - контурные токи) Fig. 8. Electrical diagram with two coupled circuits (R, r -resistors; С - capacity of a condenser; Lb L2 - inductance of coils; U(t) - given voltage on the outer circuit; ib i2 - cyclic currents) А.И. Родионов, С.Р. Кравцов 134 Парциальные движения в данном случае будут определяться контурными парциальными токами і\\ и i2. За обобщённые координаты примем заряды, производные по времени от которых дадут соответствующие контурные токи: . . d ii(t)=т q(t). dt Энергии этих электрических парциальных движений примут вид E = Lql 1 q1 E = L2q2 1 2 2C ’ 2 2 ' (12) А мощности на каждом парциальном движении выразятся через ЭДС, действующие в замкнутом контуре, и падения напряжений на резистивных элементах в каждом контуре. На первом контуре UR = R (q1 q2 ) . (13) На втором контуре UR = (R + r )q2 - Rq1 . (14) Тогда для рассматриваемой системы (рис. 5) Th (4) примет вид (15) dE =(и • )+(u R • i, )+(uc • І!), dtE2 =(U R • І 2 ). Расписывая (15) и сокращая в каждом выражении общие множители контурных токов іі, уравнения движения контурных парциальных токов с учётом диссипативных членов примут вид Aq + Rq 1 + C = и (t)+Rq 2, L2q2 + (R + r )q 2 = Rq,, где Rq2 для первого движения есть падение напряжения от второго контурного тока, выполняющего роль сторонней ЭДС по отношению к первому парциальному движению. Эта система уравнений тождественна ПВД-уравнениям, полученным с помощью уравнений Лагранжа - Максвелла или методом контурных токов. Пример № 3. Рассмотрим электромеханическую систему типа датчика ускорений или вибростенда с двумя степенями свободы: одной механической по х и одной электрической по і, изображённой на рис. 9. Система имеет две степени свободы - механическую и электрическую: движение якоря датчика по координате х и ток i(t) в контуре. Причём i(t) = q, где q - заряд в контуре. Уравнения движения получим на основе Th для каждого парциального движения (17) -(E ) = У P(k), -(Eq) = У P(k). dt ^ dt q ^ q Индуктивность устройства L(x) зависит от положения якоря x в зазоре магнитопровода. В результате этого возникает динамическая связь между степенями свободы по х и q. И, как следствие, появляется второе слагаемое в Ех, выполняющее роль потенциальной энергии для якоря датчика массы т. При этом ток i считается фиксированным. Заметим, что в сильно связанных динамических системах, например в ядрах атомов, разделение на кинетическую и потенциальную энергию вообще невозможно. В таких случаях говорят об энергии как единой мере. Это также имеет место и в выражении для Ех. На якорь датчика ускорений или стол вибростенда массы т будут действовать возбуждающая сила F(t), и потенциальные силы: тяжести Fg = mg и упругая сила ^упр = kx, а также градиентная сила Fgrad(x), возникающая из-за зависимости Ex от х. При выполнении (17) получим систему дифференциальных уравнений, описывающих динамику электромеханической системы в ПВД. 1 dL(x) ,2 mx + kx = mg + F (t) - q , (18) 135 Теорема об изменении энергий парциальных движений Рис. 9. Принципиальная схема электромеханической системы (т - масса якоря датчика; к - жёсткость пружины; L(x) - индуктивность катушки; С - ёмкость конденсатора; R - сопротивление резистора; U - заданное напряжение на внешнем контуре; ИП - идеальный измерительный прибор с R = 0; F(t) - внешнее силовое воздействие на якорь) Fig. 9. Model of an electromechanical system (m - mass of an acceleration sensor; к -longitudinal rigidity of a spring; L(x) - inductance of a coil; С - capacity of a condenser; R - resistance of a resistor; U - given voltage on the outer circuit; ИП - measuring gauge with R = 0; F(t) - external forces exerted on an armature) Введём энергии парциальных движений: E = mx2 + L( x)q 2 Eq L( x)q2 + 2 2C ' , 2 dx L( x)q + Rq + q xq + U. C 2 dx А.И. Родионов, С.Р. Кравцов 136 Эти ПВД-уравнения динамически связанных механического и электрического движений получаются, например, из уравнений Лагранжа - Максвелла. Пример № 4. Рассмотрим механическую систему типа «Вибростенд» с тремя степенями свободы. Её расчётная схема, состоящая из двух тел с массами т1, т2 (т2 рассматривается как материальная точка) и моментом инерции для первого тела Ic, представлена на рис. 10. Будем считать, что вибростенд находится в состоянии невесомости как более простой вариант для вывода его уравнений движения. Элементы вибростенда закреплены на пружинах жёсткости к,. Центр масс первого тела находится на расстоянии l1 от начала координат. Рассмотрим все действующие в системе силы инерции (рис. 11). Рис. 10. Принципиальная расчётная схема модели вибростенда (шь т2 - массы первого и второго тел; Ic - момент инерции первого тела; ку, kz -линейная жёсткость пружин; кѳ - круговая жёсткость пружины; yA, xA - система координат; yA, z, Ѳ - обобщённые координаты) Fig. 10. Design model of a vibration table (mb m2 -masses of the first and second bodies; Ic - moment of inertia of the first body; ky, kz - longitudinal rigidity of springs; кѲ - torsional rigidity of a spring; УА, xA - coordinate system; yA, z, Ѳ - generalized coordinates) Рис. 11. Расчётная схема сил инерции тел системы Fig. 11. Design model of inertial forces in the system Согласно рис. 11, силы инерции примут вид Фу = тлу, Ф1ѳп = mjB2lj, Ф1ѳт = тгѲ\\ , Фу = т2у , Ф2; = т2Z , фѲп = т2Ѳ2l2 , Ф2ѲТ = т2Ѳl2 , ФѲ = 2т2ѲZ , МФ = JCQ . Теорема об изменении энергий парциальных движений 137 Для каждого парциального движения введём энергию этого движения: E = (m1 + т2)у2 + куу2 e = т2j2 + kZ_z^ £ = (mrf + т2{12 + zf + Іс)Ѳ2 + +2 Для каждой обобщённой координаты рассмотрим парциальные движения (рис. 12 - 14). Рис. 12. Расчётная схема сторонних сил Рис. 13. Расчётная схема сторонних сил инерции на парциальном движении по ко- инерции на парциальном движении по координате у ординате z Fig. 12. Design model of external inertial Fig. 13. Design model of external inertial forces at partial motion of the system along у- forces at partial motion of the system along z-coordinate coordinate Используя (4), Th данной задачи примет вид d (E,) = К •V)+К •V) ■+ (ф2 • v,)+(Ф2,, • v,) ■ dt +(

Скачать электронную версию публикации