Infinite distohastic square operators in li.pdf Введение Динамическая система - это объект или процесс, который характеризуется своим состоянием как совокупностью характеристик в некоторые моменты времени, и определен закон эволюции состояния динамической системы во времени. Математическое моделирование нелинейных динамических систем является междисциплинарным инструментом исследования разнообразных процессов в природе и обществе. Первые результаты исследований динамических систем были получены при анализе моделей естественно-научных дисциплин - механики, биологии, метеорологии, синергетики, популяционной генетики, биофизики и т.д. К примеру, можно указать задачи отбора в локусах в генетике (см.: [1]), в биофизике - модели молекулярной эволюции, одна из которых называется гиперциклами П. Шустера (см.: [2]). Все эти модели в значительной мере основываются на качественно-топологических методах теории динамических систем в целом. В свою очередь, прикладные задачи, возникающие в различных отраслях естествознания, все чаще становятся источником развития математических теорий. Особенности изменения генетической структуры в органических популяциях снабжают нас задачами, где также приходится изучать нелинейные (в основном квадратичные) преобразования и их траектории. Одной из основных задач теории квадратичных стохастических операторов (КСО) считают проблему С. Улама [3] о полной топологической классификации КСО базисного симплекса. Сравнительно хорошо изученными среди КСО являются так называемые вольтерровы отображения, введенные и разработанные в работах Р.Н. Ганиходжаева на основе сформулированной задачи С. Улама. Интерес к изучению предельного поведения траекторий квадратичных отображений двумерного симплекса и их обобщениям возрос с появлением сообщений о результатах численных экспериментов, начатых Э. Ферми, С. Уламом, Дж. Пастой. В этом направлении, в теоретическом плане, наиболее содержательные и полезные результаты получены в работах Г. Кестена, Ю.И. Любича, С.С. Валландера, М.И. Захаревича, Н.П. Зимакова, Н.Н. Ганиходжаева, Р.Н. Ганиходжаева, Ф.А. Шахиди и др. Другой класс квадратичных стохастических операторов - совокупность всех бистохастических квадратичных операторов (БКО) - введен в работе [4] по аналогии с определением линейного двояко-стохастического оператора посредством мажоризации Харди-Литтльвуда-Пойа. Проникновение мажорирования во многие теории, в частности в теорию КСО, придает особый акцент актуальности его применения. Следовательно, изучение класса БКО также становится актуальной задачей как в плане траекторной теории и теории многомерных матриц, так и с точки зрения теории мажоризации. 21 Математика / Mathematics 1. Определение бистохастических операторов в бесконечномерном симплексе Определение 1. Множество S = |х = (Xj, х2,...) е lx : хг > О, ^ Xj = 1 j называется бесконечномерным симплексом. Известно [5], что S = co (extr(S)), где extr(S) - множество крайних точек в S, а co(A) - выпуклая оболочка множества A . Более того, каждая точка ек = (о,о,... ,1,0,...), где 1 стоит в к-й позиции, является крайней в S . Определение 2. Оператор V: S м S называется квадратично стохастическим, если он имеет вид: со (Ѵх)к = ТРМх,хг к = 12,..., (1.1) Uj=1 где коэффициенты Py k удовлетворяют следующим условиям ад Pjk = Pm ^ 0 IPjk = 1. (1.2) k=i Очевидно, что условия (1.2) обеспечивают сохранение симплекса, т.е КСО отображает симплекс в себя. Пусть х^ = (х|, і. Х|21....j - невозрастающая перестановка точки х , т.е. Х[1] - Х[2] - ■ ' ■ для точки х = (xj,x2,...) из S . Определение 3. Говорят, что для точек х, у из симплекса S х мажорируется у (или у мажорирует х), и пишут хх), если выполняется следующее условие: к к >№ к = 1,2,... і=1 і=1 Напомним, что бесконечная матрица называется бистохастической, если все ее элементы неотрицательны и сумма элементов каждой ее строки и каждого столбца равна 1. Известно [6], что х

Скачать электронную версию публикации