Classification of the Free BooleanTopological Groups on Ordinals .pdf В статьях [3, 5] была дана полная линейная гомеоморфная классификация банаховых пространств С[1, а], где а - произвольное порядковое число (предварительные результаты см. также в [9, 11]). Она имеет следующий вид.Теорема 1. [3, 5] Пусть [1, а] и [1, Я] - бесконечные отрезки ординалов, причем а < Я. Тогда банаховы пространства C[1, а] и C[1, Я] линейно гомеоморфны в том и только в том случае, когда выполняется одно из трех взаимоисключающих условий:a))существует не совпадающий ни с каким начальным регулярным кардиналом ординал у > 0, такой, чтоюшТ < а < Я < юшТ+1;b))X- а < а < Я < Х- а+, где X - регулярный кардинал и а < X - произвольный кардинал (включая случай конечных кардиналов) и ст+ - наименьший из кардиналов, больших а;c))X2 < а < Я < Xй, где X - регулярный кардинал. ■Эту теорему можно сформулировать и иначе. Рассмотрим следующий класс ординаловА = {юшТ; у > 0} и {Х-ст; где X и а - кардиналы, 1 < а < X}.Назовем элементы множества А разделительными столбами на луче ординалов. Тогда теорему 1 можно переформулировать в следующем виде.Теорема 1a. Пусть [1 , а] и [1 , Я] - бесконечные отрезки ординалов, причем а < Я. Тогда банаховы пространства C[1, а] и C[1, Я] линейно гомеоморфны в том и только в том случае, когда не существует ординала 8еА, такого, что а < 8 < Я, другими словами, между ординалами а и Я нет разделительных столбов.В последующей статье [4] было установлено, что классификация порядковых чисел а относительно линейных гомеоморфизмов пространств Ср[1, а], а также свободных топологических групп F[1, а], а также свободных абелевых топологических групп A[1, а] является фактически той же самой. А именно, имеет местоТеорема 2 [4]. Следующие условия эквивалентны:1)пространства Cp[1, а] и Cp[1, Я] линейно гомеоморфны;2)свободные топологические группы F[1, а] и F[1, Я] топологически изоморфны;3))свободные абелевы топологические группы A[1, а] и A[1, Я] топологически изоморфны;4))ординалы а и Я удовлетворяют одному из трех взаимоисключающих условий а), b) и с) теоремы 1.Последнее условие можно опять же переформулировать и так:4а) между ординалами а и Я нет разделительных столбов.Целью данной статьи является аналогичная классификация свободных булевых топологических группB[1, а] и пространств всех 2-значных непрерывных функций СД[1, а], D) (одновременно мы рассмотрим также классификацию пространств Lp([1, а], D), сопряженных к СД[1, а], D) в естественном смысле). Мы покажем, что в окончательном своем выражении на языке самих ординалов эти классификации отличаются от вышеприведенной. Введем следующий класс ординалов:А2 ={Xct; где X и а - кардиналы, X регулярен и 1 < а < X}.Ясно, что этот класс является частью класса А. Следующая теорема является основным результатом этой статьи.Теорема 3. Пусть [1, а] и [1, Я] - бесконечные отрезки ординалов. Тогда следующие условия эквивалентны:1))свободные булевы топологические группы B[1, а] и B[1, Я] топологически изоморфны;2))пространства C/)([1, а], D) и C/)([1, Я], D) линейно гомеоморфны;3))пространства Lp([1, а], D) и Lp([1, Я], D) линейно гомеоморфны;4)выполнено одно из следующих взаимоисключающих условий:а)|а| = |Я| = X и кардинал Xявляется сингулярным кардиналом или X = ю;б)|а| = |Я| = X, кардинал X является несчетным регулярным, X-а < а < Я < X-CT+, где а - произвольный (возможно, конечный) кардинал, причем а < X;в)|а| = |Я| = X, кардинал X является несчетным регулярным и X2 < а < Я < X+, где X+ - наименьший кардинал среди всех кардиналов, строго больших X.Иначе последний пункт теоремы 3 можно переформулировать в следующем виде.4а) между ординалами а и Я нет разделительных столбов из класса А2.Предложим еще одну формулировку данной теоремы.Следствие 4. Пусть [1, а] - бесконечный отрезок ординалов. Тогда:а)если |а| = X является сингулярным кардиналом или счетным кардиналом, то B[1, а] = B(a(©x[1, X]),*), Cp[1, а] ~ Cp(a(©x[1, X]),*) и Lp[1, а] ~ Lp(a(9,[1, X],*);б)если |а| = X является регулярным несчетным кардиналом и X-а < а < < Я < X-CT+, где а - произвольный (возможно конечный) кардинал, причем а < X, то B[1, а] = B(a(9„[1, X]),*), Cp[1,а] ~ Cp(a(®„[1, X]),*) и Lp[1, а] ~ L^(a(9„[1, X],*); +в)если |а| = X является регулярным несчетным кардиналом и X2 < а < Я < X+, то B[1, а] = B(a(9,[1, X]),*), Cp[1, а] ~ Cp(a(®x[1, X])) и Lp[1, а] ~ Lp(a(®x[1, X],*).Таким образом, для этих трех эквивалентностей отрезок ординалов [1 , а] эквивалентен одноточечной компактификации дискретной суммы X экземпляров отрезков [1, X], если |а| = X и либо X есть счетный, либо X сингулярный кардинал, либо X2 < а < X+. В оставшемся случае [1, а] эквивалентен одноточечной компак-тификации дискретной суммы а экземпляров отрезков [1, X], если |а| = X, X есть регулярный кардинал и X-ст < а < Я < X-CT+ для кардинала а, 1 < а < X.Обозначения и терминологияСимволами а, Я, у, 8 будем обозначать порядковые числа (= ординалы), а X, а, т - кардиналы, причем X, как правило, будет бесконечным кардиналом, а а не обязательно. Символ со будет обозначать первый бесконечный ординал. Кардиналы мы отождествляем с начальными ординалами данной мощности. Алгебраические операции, в частности операцию возведения в степень над ординалами и кардиналами, мы будем понимать в порядковом смысле, если, конечно, не оговорено противное. Для произвольного ординала а будем обозначать через |а| его мощность.Символом X= Ф;-Е/ X мы будем обозначать дискретную сумму семейства топологических пространств, причем в случае X = Y мы будем просто писать ®х У где X - мощность индексного множества I. Для локально компактного некомпактного пространства X через a(X) = Xu{«} мы будем обозначать его одноточечную компактификацию.Для произвольного вполне регулярного топологического пространства X символом С^, Y) будем обозначать пространство всех непрерывных отображений f X - Y. Если Y совпадает с вещественной прямой, то будем писать просто QX). Если эти пространства наделены топологией поточечной сходимости, то будем использовать обозначения С!,(Х, Y) и С!,(Х).Для произвольного множества X обозначим через B(X) множество всех формальных сумм xi+...+x„, где x1v..,xneX, которые будем называть словами. При этом для произвольного элемента xeXбудем считать, что x + x = 0. Число n будем называть длиной слова xi+.. .+x„ и будем писать || xi+^+x„ || = n. Обозначим через Bn(X) множество всех слов длины X2, то B[1, а] = B(a(®^[1, X]), да);2)если X-а < а < X-CT+, то B[1, а] = B(a(®„[1, X]), да).Доказательство. 1). Пусть а = X2. Обозначим K = {Xct; а - кардинал, 1 < ст < X}. Это замкнутое подмножество в отрезке ординалов [1, X2], гомеоморфное отрезку [1, X]. По предложению 17 B[1, X2] = В(а([1, X2]\K)®K, да). Подпространство [1, X2]\K есть дискретное объединение интервалов (X-ст, X-CT+). Одноточечная компактификация интервала (X-ст, X-CT+) гомеоморфна отрезку [1, X]. Суммируя эти аргументы, приходим к выводу, что B[1, X2] = В(а(®^[1, X])®[1, X], да), которое можно отождествить с B(a(®^[1, X]), да).Пусть теперь а > X2. Согласно лемме 16, нам достаточно доказать утверждение для ординала а, имеющего вид а = coЯ-n. Так как X является кардиналом, то X = со^ (см. [6]) и поэтому X = ю ' . Из а = X = ю ' мы заключаем, что Я > X-2. Пусть теорема уже доказана для всех ординалов у, у < Я. Предположим вначале, что n = 1. Тогда рассмотрим замкнутое множество K = {coy;X-2 < у < Я} в отрезке [1, юв]. Применяя предложение 17, приходим к выводу, что B[1, coЯ] = B(a(®^[1, X]), да), что и требовалось. Пусть теперь а = coЯ-n и для чисел coЯ-k, k < n, утверждение уже доказано. Пусть K = {coЯ-(n-1)+y; 1 < у < юв}. По предложению 17 группа B[1, coЯ-n] изоморфна группе B(a(®fflЯ[1, coЯ-(n-1)]), да), которая по предположению индукции изоморфна группе B(a(® [1, X]), а).Рассмотрим, наконец, случай X-ст < а < X-CT+. Тогда ординал а можно записать в виде а = X-CT+Я. Хорошо известно и легко видеть, что отрезок [1, X-CT+Я] гомео-морфен отрезку [1, X-ст]. Возьмем теперь в качестве K замкнутого множества K = {X-Я; 1 < Я < X}. Применение предложения 17 приводит, как и выше, к изоморфизму B[1, X-ст] = B(a(®„[1, X]), да). Что и требовалось доказать. ■Следующая лемма очевидна.Лемма 19. Если B(a(®~fXX), да) = B(X), то B(a(®„X), да) = B(X) для любого кардинала ст, 1 < ст < X.^Лемма 20. Пусть X - сингулярный кардинал. Тогда B[1, X] = B(a(®^[1, X]), да).Доказательство. Так как X сингулярен, то он является пределом меньшего числа меньших кардиналов. Отсюда следует [6], что существует трансфинитная возрастающая последовательность XЯ < X, Я < а, сходящаяся к X, причем а < X. Обозначим первый элемент этой последовательности через ст, т.е. ст = X1. Очевидно, что к X будет сходиться и последовательность ординалов Х^. Рассмотримзамкнутое подмножество K = {Xp2;Я

Скачать электронную версию публикации