About distortion theorems for one class quasi-conformal mappings, conformal outside a ring.pdf § 1. ВведениеПусть ” − класс функций 1f (¨) = ¨ - ­0 - ­ 1¨− -... , мероморфных и однолистных в области | ¨ |> 1.Хорошо известно [1], что коэффициенты Грунского сm,n функции f (z) определяются по формуле, 1ln ( ) ( ) m n mn m n f z f c z z †− −− ¨ = − ¨ − ¨ ” , z,¨¶U-, где U- = {z : z > 1} , и, в силу принципа площадей, удовлетворяют неравенству2, 1 1| n |mn m n m n n x c x x n † †= ” „”для любых комплексных xn при условии, что последний ряд сходится. Грунский[2] доказал, что приведенное выше неравенство оказывается также и достаточнымдля того, чтобы мероморфная локально однолистная функция f (¨) была однолистной в области | ¨ |> 1. Критерий однолистности Грунского вместе с его обобщениями [1] остается одним из эффективных инструментов в теории конформныхотображений.Пусть ”Q (r, R) - класс Q-квазиконформных гомеоморфизмов w = f (z), Q >1, плоскости С, конформных вне кругового кольца Kr,R , r < 1 < R, с разложениямивида( ) 11( )rnU n n fz fz az †— =” , ( ) - 00( )RnU n n fz f z z z †−— = -”­ , (1)66 В.А. Щепетевгде Ur = {z : z < r} , UR- = {z : z > R} . Этот класс тесно связан с рядом классических объектов теории однолистных аналитических функций, таких, как известныеклассы S, ” , классы пар функций М.А. Лаврентьева M(a0 ,a1) [3, c. 14] и др., а также их подклассов, состоящих из функций, допускающих квазиконформныепродолжения в С. В настоящей работе устанавливается неравенство типа Грунского в классе ”Q (r,1) и, в качестве следствий, приводятся некоторые результаты о росте и искажении, а также неравенства на коэффициенты разложений вида(1).§ 2. Неравенство типа ГрунскогоПусть f (z)¶”Q (r,1) , где Q = (1- k) /(1− k), 0 „ k < 1. Обозначим через ­ прямолинейный разрез от 0 до † , UR‰ - круг с разрезом вдоль ­ , ( ) f Kr‰,† ‰ -внешность образа Ur‰ при отображении w = f (z) с разрезом вдоль линии f (­) .Введем специальную функцию( ) 0 ( )0 , ln , , f w w R µ −š µ = µ µ от w ¶ f (UR‰ ), где выбирается ветвь логарифма, обращающаяся в нуль при µ¨†, и фиксируем некоторую ветвь функцииš1 (t,w) = ln(w− f1 (t )), t = r‰ < r

Скачать электронную версию публикации