On projective invariant subgroups of abelian groups .pdf Пусть A - абелева группа. Запись H < A означает, что H - подгруппа в A;H < fi A, что H - вполне инвариантная подгруппа в A; H < pi A, что H - проективно инвариантная подгруппа в A; E(A) - кольцо эндоморфизмов группы A; если не оговорено противное, то Ap - p-компонента, t(A) - периодическая часть группы A. N - множество всех натуральных чисел, Z - кольцо всех целых чисел, Q - поле или аддитивная группа всех рациональных чисел.Пусть B и C - группы, X - непустое подмножество в C. Обозначим черезHom (C,B)X = Xf e нот (ев)f(X - подгруппу, порожденную всеми гомоморфными образами подмножества X в группе B (гомоморфная оболочка подмножества X в группе B).Подгруппа H < A называется вполне инвариантной, если fH £ H для каждого эндоморфизма f группы A. Проекцией группы называется всякий ее идемпотент-ный эндоморфизм. Подгруппа H < A называется проективно инвариантной, еслиnH £ H для каждой проекции п группы A. В неразложимой группе каждая подгруппа является pi-подгруппой. Всякая неразложимая редуцированная группа является либо циклической p-группой (в такой группе все подгруппы вполне инвариантны), либо неразложимой группой без кручения (в такой группе каждая подгруппа вполне инвариантна тогда и только тогда, когда кольцо эндоморфизмов группы изоморфно кольцу целых чисел).Отметим, что в [1] доказано, что в периодической сепарабельной группе все pi-подгруппы вполне инвариантны. Ряд свойств pi-подгрупп и описаний некоторых классов групп, в которых все pi-подгруппы являются вполне инвариантными, получен в [2].Лемма 1 [2, лемма 2]. 1) Пусть п, р - проекции группы A, причем nA < pi A. Тогда (1-п)р(1-п) также является проекцией группы A.2))Пусть H - pi-подгруппа группы A = B®C. Тогда HnB < pi B, HnC < pi C и Hom (C,B)(HnC) £ HnB, Hom (B,C)(HnB) £ HnC.3))Пусть A = B®C, B < fi A, B1 < B, C1 < C и H = B1®C1. Тогда H < pi A в точности тогда, когда B1 < pi B, C1 < pi C и Hom (C,B)C1 £ B1.Лемма 2 [2, лемма 4, п. 1)]. Пусть A = ®ieI At - фиксированное разложение группы A и H < pi A. Тогда условие H < fi A равносильно тому, что Hn Ai < fi Ai для всех i e I.Напомним, что fi-подгруппа G p-группы A называется широкой [3, § 67], если G + B = A для каждой базисной подгруппы B группы A. Покажем, что всякая pi-подгруппа G редуцированной p-группы A с аналогичным свойством является fi-подгруппой. Ясно, что достаточно рассмотреть случай, когда A не сепарабельна. Вначале заметим, что pmA £ G. Воспользуемся доказательством п. д) из [3, § 67]. Пусть a = b + g e pmA, где b e B, g e G (pmA = A1 = fl™=1 nA для p-группы A). Вложим b в конечное прямое слагаемое B' группы B и запишем A = B'®A'. Если п: A - A'- проекция, то па = ng e G. Но (1 -п)а = 0 как элемент бесконечной высоты в B'. Следовательно, а = ^ e G. Пусть теперь rn = mingeG h(png), где h(a) -высота элемента а. Поскольку A1 £ pnA и A - редуцированная группа, то все rn -целые числа. Имеем G £ A(r0, rb..., rn,...), где A(r0, rb..., rn,...) = {a e A | H(a) > (r0, rb..., rn,...)}, а H(a) - индикатор элемента a. Теперь достаточно показать, что G = A(r0, rb..., rn,...) [3, теорема 67.2]. Пусть a e A(r0, rb..., rn,...) и H(a) = (s0, s1v.., sn- 1, sn = те), где, как в теореме 67.2 из [3], можно считать, что s0, sb..., sn- 1 - неотрицательные целые числа. В теореме 67.2 показано, что найдется элемент g e G со свойством H(g) = (r0, r1,^, rn, те). Вложим g в некоторое конечное прямое слагаемое C группы A [3, лемма 65.4], A = C®7V. Если a = c + y, где c e C, y e N, то H(a) = H(c)nH(y). В частности, H(a) < H(c), H(y). Имеем H(g) < H(a)< H(y). Поэтому существует ф e E(A) со свойством ф^) = y [3; лемма 65.5, упр. 6, п. б)]. Согласно лемме 1, y e GnN. А поскольку C - сепарабельная группа, то Gn C < fi C. Поэтому если f(g) = c для некоторого f e E(C), то f(g) = c e GnC. Итак, a e G.Напомним, что для порядкового числа о подгруппа paA определяется следующим образом: p0A = A, pa+1A = p(paA) и paA = nß k = e(a), принадлежащего дополнительному прямому слагаемому C, отображение (a) - pn+1-kc продолжается до гомоморфизма (a) - C. Отсюда следует, что Hn (pnC[p]) Ф 0.Допустим, что H имеет нулевое пересечение со всяким циклическим прямым слагаемым группы A. Тогда Hn B = 0 для каждой базисной подгруппы B группы A. Запишем B в виде B = © ™=1 Bn, где Bn = 0 или является прямой суммой циклических групп одного и того же порядка pn. Для каждого n имеет место прямое разложение A = B1®^®Bn®An, где An = (©"n+1 Bt) + pnA. В силу предположения H £ An. Хорошо известно, что pnA, значит, и pnA[p] - существенные подгруппы в An [3; § 32, упр. 9]. Откуда Hn(pnA[p]) Ф 0.2) Следует из того, что если g e G[p], то для любого a e A[p] с индикаторомH(a) > H(g) существует ф e E(A) со свойством фg = a.Из леммы 3 вытекает, что в неограниченной редуцированной вполне транзитивной p-группе, p-длина которой является предельным порядковым числом о, нет минимальных fi-подгрупп. Действительно, если H - минимальная fi-под-группа, то H = Hn(pßA[p]) для каждого порядкового числа ß < о. ОткудаH = nß < о (Hn(pßA[p])) £ nß < о pßA[p] = 0. В частности, в неограниченной редуцированной сепарабельной p-группе нет минимальных fi-подгрупп. Если же p-длинаредуцированной вполне транзитивной p-группы равна о+1, то paA будет минимальной fi-подгруппой (а если подгруппа paA неразложима, она будет минимальной fi-подгруппой и без условия вполне транзитивности группы A). Если же p-группа нередуцированная и D - ее делимая часть, то D[p] - минимальная fi-подгруппа.Покажем, что если A - неограниченная редуцированная p-группа, то у нее нет максимальных pi-подгрупп (воспользуемся идеей доказательства А.П. Дика соответствующего утверждения для fi-подгрупп). Действительно, если H - максимальная pi-подгруппа, y e A\H, e(y) = k, то H + A[pk] = A, где A[pk] = {a e A |pka = 0}. Пусть теперь (x) - такое прямое слагаемое группы A, что e(x) = m > k. Тогдаx = h+a для некоторых h e H, a e A[pk]. Так какpkx = pkh, то (h) - прямое слагаемое группы A, A = (h) Ф C. Если y = h'+c для некоторых h'e (h) и c e C, то pky = pkh + pkc = 0. Поэтому e(c) < k, значит, (c) является гомоморфным образом группы (h) . По лемме 1, п. 2 (c) £ Hn C и, следовательно, y e H. Противоречие.Если A - ограниченная p-группа и pkA = 0, где k > 2 и pk-1A Ф 0, то A[pk-1] -наибольшая pi-подгруппа. В элементарной p-группе каждая ее ненулевая pi-подгруппа совпадает с самой группой. Если же A - нередуцированная p-группа с неограниченной редуцированной частью, то максимальных pi-подгрупп опять нет.Если же редуцированная часть ограничена, то наибольшая pi-подгруппа совпадает с суммой делимой части и наибольшей pi-подгруппой ее ограниченной части. В делимой p-группе максимальных pi-подгрупп нет.Пусть p - простое число. Обозначим через C p-компоненту группы A. В [4,теорема 1.1] описаны fi-подгруппы G группы A со свойством pA £ G £ C+pA. В частности, теорема 1.1 из [4] дает описание fi-подгрупп, содержащих pA, произвольной p-группы A, а также группы A с p-делимой факторгруппой A/C. Рассмотрим pi-подгруппы группы A, содержащие pA. Из теоремы 1 следует, что периодическая часть всякой такой подгруппы является fi-подгруппой в A.Теорема 1. Подгруппа G группы A, содержащая pA, является проективно инвариантной тогда и только тогда, когда G совпадает с одной из следующих подгрупп: pA, C[pk]+pA, C+pA, H+pA, где k e N, а H - такая проективно инвариантнаяподгруппа группы A, что C £ H.Доказательство. Необходимость. Пусть B - базисная подгруппа группы A.Тогда A = B+pA. Запишем B в виде B = B0®B', где B0 - свободная группа (или B0 = 0), B ' = ©j=1 Bi, а Bi = 0 или является прямой суммой циклических групп одного и того же порядка pi. Поскольку каждая Bi для i > 1 - прямое слагаемое в A, аG < pi A, то GnB = (GnB0) Ф ©°°=1 (GnBi).Допустим, что G Ф pA и пусть a e G\pA. В силу равенства G = (GnB)+pA считаем, что a e B. Имеем a = b0 + bi +...+bi , где b0 e B0 и bi e Bi . Ввиду включения pA £ G можно считать, что если b0 Ф 0, то b0 ^ pB0 и, аналогично, bi m+lBi)+pmA. Отсюда в силу леммы 2, п. 2 следует, что если GnBk Ф pBk для некоторого k > 1, то GnBk = Bk и GnBj = Bj для каждого j = 1, k. Аналогично, если b0 pB0 (такой элемент найдется, если GnB0 ФpB0), то B1Ф... ФBm £ G для каждого m e N. Отсюда B' £ G и, значит, C £ B'+pA £ G. Таким образом, либо GnB = B^.^B^p^ß-^B^pBo для некоторого k e N,либо B £ G.В первом случае G £ (GnB)+pA = B1Ф... ФBk+pA = B1Ф... ФBkФpAk. Придоказательстве импликации 2)^3) в [4, теорема 1.1] показано, чтоB1Ф...ФBkФpAk = C[pk]+pA (учесть равенство Ak = (B0ФФi>k+1Bi)+pkA, где порядкиэлементов из> pk+1, откуда будет следовать включениеC[pk] = A[pk] £ BlФ...ФBkФpAk).Во втором случае, если C+pA £ G, то пусть H - pi-подгруппа в A, порожденнаяподгруппами Gn B и C. Тогда H+pA = G. Достаточность очевидна.Ранг подгруппы B0 назовем p-рангом без кручения группы A (это инвариантгруппы A). Если в условиях предыдущей теоремы Gn B0 = B0, то G = A. Отсюда вытекаетСледствие 1. Если p-ранг без кручения группы A < 1, то всякая ее проективно инвариантная подгруппа, содержащая pA, является вполне инвариантной и совпадает с одной из следующих подгрупп: pA, C[pk]+pA, C+pA илиA, где k - некоторое натуральное число.Следствие 2. Пусть A - такая группа, что каждый ее элемент содержится в некотором прямом слагаемом, являющемся прямой суммой групп p-ранга без кручения < 1. Тогда всякая pi-подгруппа H группы A со свойством pA £ H является вполне инвариантной.Доказательство. Пусть a e H и a e B = Ф^7 A,, где B - заявленное прямое слагаемое в A, a = a1 +...+an, aj e Ai (j = 1, n). Имеем aj e HnAi < pi Ai .Поэтому по следствию 1 f (aj) e H n Ai для каждого f e E(Ai ). Этого по лемме 2достаточно, чтобы H была вполне инвариантной в A.Группа A называется сепарабельной, если любое конечное подмножество ее элементов можно вложить в прямое слагаемое, являющееся прямой суммой групп ранга 1 (каждая группа ранга 1 изоморфна некоторой подгруппе группы Q или подгруппе группы Zp„ для некоторого простого p).Покажем, что всякая pi-подгруппа H сепарабельной группы A является сепарабельной. Кроме того, факторгруппа A/H также сепарабельна. Действительно, еслиxb..., xk e H, то существует разложение A = A^..^A^B, где A1, An - группы ранга 1 и xb..., xk e A^..^An. Имеем H = (HnA№..^( HnAn)Ф (HnB), где каждая из групп Hn A1, ., Hn An либо нулевая, либо группа ранга 1, а в прямой сумме этих групп содержатся все элементы x1,. , xk. Далее, A/H = (A1+H)/HФ^Ф(An+H)/HФ(B+H)/H, где (Ai+H)/H = Ai/(AinH) для каждого i = 1, n. Если Ai - подгруппа группы Zp„ , то такова же и ее факторгруппаAi/(Ain H). Если же Ai - группа без кручения ранга 1, то при Ain H Ф 0 факторгруппа A/(AinH) изоморфна подгруппе группы Ф,, e п Z для некоторого множе-pства П простых чисел, зависящего от i. Таким образом, каждая Ai/(AinH) - прямая сумма групп ранга 1 и прямое слагаемое ©n=1 (Ai+H)/H группы A/H содержитсмежные классы xi+H.Теорема 2. Пусть A - сепарабельная группа. Каждая ее pi-подгруппа является fi-подгруппой тогда и только тогда, когда A обладает следующим свойством: если ее прямое слагаемое B, являющееся группой без кручения ранга 1, p-делимо для некоторого простого числа p, то в дополнительном прямом слагаемом имеется прямое слагаемое, изоморфное B.Доказательство. Необходимость. Пусть pB = B и в дополнительном прямом слагаемом C нет прямого слагаемого, изоморфного B. Пусть V = Hom (B,C)B. Тогда B' = BФV < fi A и V < fi A. Поэтому если A = БФЫ, то B' = (B'ПЕ)Ф0'nN) и V = (VnF^(VnN). Так как B = B7V= (B'ПГ^/^ПГ^Ф^'nN)/(VnN), то в правой части одно из слагаемых, скажем первое, равно нулю, т.е. B'nF = VnF. Если теперь 0 Ф b e B и H = (b) Ф V, то (VnF)Ф(HnN) = (HnF)Ф(HnN) = H. Значит, H < pi A. Однако (b) fi B и, следовательно, fi A.Достаточность. Пусть H < pi A, x e H. Так как A сепарабельна, то x принадлежит прямому слагаемому G^..^Gn, x = g1 + ^+gn, где gi e HnGh r(G) = 1,i = 1, n. Согласно лемме 2, достаточно показать, что fi(gi) e H для f e E(Gi). Если Gi - подгруппа группы Zp , то в Gi каждая подгруппа вполне инвариантна.Пусть Gj - группа без кручения. Тогда E(Gi) изоморфно подкольцу кольца Q, порожденному такими дробями 1/p, что pGi = Gi. Если множество {p | pGi = Gi, p -простое число} пусто, то E(G) = Z и, следовательно, fi(gi) e HnGi. Если же pGi = Gi для некоторого простого p, то по условию для Gi найдется такая подгруппа Bi = что GiФBi - прямое слагаемое в A. Пусть x(bi) = xffe)), где bi e Bi. По лемме 1 b e H и, значит, fi(g ) e H.Отметим, что в [5] автор получил следующее описание векторных групп, каждая pi-подгруппа которых является fi-подгруппой.Теорема 3. В редуцированной векторной группе A = П i e i A, где At - группы без кручения ранга 1, каждая проективно инвариантная подгруппа является вполне инвариантной тогда и только тогда, когда группа A представима в виде прямойсуммы A = G1ФG2ФGзФG4 векторных групп G1, G2, G3, G4, где G1 = G2, G3 изоморфна некоторому прямому слагаемому в G2, прямые слагаемые ранга 1 группG1ФG2ФG3 и G4 не изоморфны, ранг группы G4 конечен и G4 не имеет ненулевых элементов бесконечной p-высоты для каждого простого числа p.

Скачать электронную версию публикации