Numerical algorithm for constructing jet flows of a liquid of thehydrodynamic.pdf Работа посвящена рассмотрению простых струйных течений несжимаемойжидкости. Для этих течений устанавливается локальная единственность решений.Строится итерационный численный метод непрерывности решения системыуравнений для параметров задачи, проверяется его сходимость.Применение метода непрерывности для теоретического изучения струйныхтечений восходит к работам А. Вайнштейна, библиография которых имеется в [1].В [1] методом конечномерной аппроксимации предложено решение общей задачигидродинамики с одной свободной границей, включающей в себя основные схемыструйных течений и многие новые схемы течений. В работе [2] этому методу при-дан алгоритмически конструктивный характер и установлена его сходимость длянекоторых струйных течений.В данной работе рассматриваются также другие схемы струйных течений(Жуковского - Рошко и обтекание тела струей) и для одной из схем течения раз-работан алгоритм реализации численного метода непрерывности.1. Простейшие струйные схемыВ этом пункте мы дадим краткое физическое описание и математическую по-становку для ряда задач об обтекании полигональных препятствий с отрывомструй.Будем рассматривать плоское потенциальное течение несжимаемой жидкостив односвязной области D с границей D = P L , состоящей из заданного поли-гона Р (конечного или бесконечного) и струй L, срывающихся с его концов 1 nz , z .Полигон Р предполагается простым [1], т.е. 0i jP  P = , i  j :1 ( ) { 0 2 1 ln 1 1} p G p k k n lk k n− ƒ, ƒ= | < ƒ ≤ ƒ ≤ , = , ;| ≤ ƒ |, = , − . (1)1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований(код проекта 09-0198001р-сибирь-а) и гранта «Мобильность молодых ученых» (код проекта 09-0890706-моб-ст).6 Е.В. Губкина1 . 1 . С х е м а К и р х г о ф аОбласть течения D и ее образ D∗ в плоскости комплексного потенциала кон-формно отобразим на верхнюю полуплоскость Imζ > 0 так, чтобы вершины 1z иnz перешли соответственно в точки t = ±1 вещественной оси. Тогда производныеотображения верхней полуплоскости Dζ на плоскость w = φ + iψ и на область те-чения zD имеют вид [1]202 21(1 1 )(1 )(1 ) (1 )knkkk kdw dz tK Kd d t tβ=⎛ ƒ − ⎞= ƒ; = ⎜ ⎟ + − ƒƒ ƒ ⎜ − ƒ − + − ƒ ⎟ ⎝ ⎠Π , (2)где 11 0k k n β =α − ,β =β = .Интегрируяdzdζ, получим11z K ( )M( )d zζ−=  Π ζ ζ ζ + , (3)где1( ) ( ) knkktβ=Π ζ =Π ζ − ,2 2 21( ) (1 )(1 ) 1 (1 1 )knk kkM t t−ƒ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=ζ =Π − ζ − + − ζ + − ζ .Входящие в эту формулу параметры K и ( 2 1) kt k = ,n − ищутся из условиясовпадения полигона, определяемого уравнением z = z(t) при t[−1,1] с задан-ным полигоном:1( ) ( ) ( ) 1 1kktitl gu g K t Mt dt k n+= ; =  |Π || | , = , − , (4)где 1 1 ( ) nl l…l−= , , - заданный вектор длин сторон полигона P , 1 1 ( ) nu u…u−= , , -искомый вектор. Для решения системы уравнений (4) имеют место априорныеоценки [1]:10 0 10 1 1k kK K K t t k n −ﱠﱠ+< < < БЗ, − > Г├ > , = , −. (5)1 . 2 . О б т е к а н и е т е л а с т р у е йВ этом пункте рассматривается случай, когда обтекается не все тело, а лишьодна его сторона. Рассмотрим преобразования, аналогичные пункту 1.1. Произ-водные отображения верхней полуплоскости Dζ на верхнюю полуплоскость вплоскости w и на область течения zD имеют вид02 21,(1 )(1 ) 1knkkk kdw dz tK Kd d t tβ=⎛ ѓД − ⎞= ; = ⎜ ⎟ѓД ѓД ⎜ − ѓД − + − ѓД ⎟ ⎝ ⎠Π (6)причем 10n β =β = .Численный алгоритм построения некоторых струйных течений гидродинамики 7Формулы для нахождения z и kl будут аналогичны пункту 1.1 и отличатьсялишь функцией M(ζ) :2 21( ) (1 )(1 ) 1knk kkM t t−ѓА⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=ζ =Π − ζ − + − ζ .1 . 3 . С х е м а Р я б у ш и н с к о г о ( с х е м а с з е р к а л о м )В этой схеме течение обладает двойной симметрией, что достигается помеще-нием на заданном расстоянии за обтекаемым симметричным препятствием егозеркального изображения.Рассуждая аналогично предыдущим пунктам, получаем, что производные ото-бражения верхней полуплоскости Dζ на верхнюю полуплоскость в плоскости wи на область течения zD имеют вид2 202 2 2 2 21( 0)( (1 ) (1 ))knknkkdw K dz K td d tβ=⎛ ѓД − ⎞= − ; = ⎜ ⎟ , ѓА =ѓД ѓД ѓД ѓД ⎜ − ѓД + − ⎟ ⎝ ⎠Π . (7)Для нахождения z и kl будем применять формулы (3) и (4) с другим значени-ем M(ζ) :20 0 M( ) M ( )M ( ) − ζ = ζ,σ ζ,−σ ζ ,2 201( ) (1 )(1 ) 1knk kkM t t−ѓА⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=ζ,σ =Π − ζ − + − ζ ,где 2 1 ( ) nt …t−σ = , , .1 . 4 . С х е м а Ж у к о в с к о г о - Р о ш к оВ этой схеме рассматривается обтекание симметричного полигонального пре-пятствия с отрывом струй, переходящих в бесконечно длинные параллельныеплоские пластины, препятствующие смыканию струй.Сделаем преобразования, аналогичные пункту 1.1. Тогда производные ото-бражения верхней полуплоскости Dζ на верхнюю полуплоскость в плоскости wи на область течения zD имеют вид02 2 2 210(1 )(1 ) 1knknkk kdw K dz K td d t tβ=⎛ ѓД − ⎞= − ; = ⎜ ⎟ , ѓА =ѓД ѓД ѓД ѓД ⎜ − ѓД − + − ѓД ⎟ ⎝ ⎠Π ; (8)z и kl также находятся по формулам (3), (4), в которых функция2 2 21( ) (1 )(1 ) 1knk kkM t t−ѓА⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎝ ⎠=ζ =Π − ζ − + − ζ ζ .2. Локальная единственность решенийТеорема 1. Пусть P - простой полигон (условия (1)) для задачи1 ( ) | | 1 arg [ ] 1 1 k k kdz dzK t t t t t k ndt dt+= ѓК , ≥ ; = ѓБ ѓО, Ѓё , , = , − ,8 Е.В. Губкинаи выполняются следующие неравенства:21 2 1kiik n=ΣѓА < ,ЃН = , − . (9)Тогда уравнение (4) однозначно разрешимо на множестве1 { 0 1 1} iu u i n− ѓ¶ = | < ѓГ ≤ ≤ ѓГ , = , −. (10)При этом{ } 0 ( ) 1 1 iij ijjDg gg g i j n uDu uЃЭ= Ѓ‚,Ѓ‡; = , , =, −, Ѓёѓ¶ЃЭ. (11)Доказательство. Локальная единственность решений для схемы Кирхгофарассмотрена в [1]. Для случая струйного обтекания тела доказательство локальнойединственности проводится полностью аналогично. Приведем доказательство ло-кальной единственности решений только для схемы Жуковского - Рошко, а в си-лу одинакового характера особенностей в формулах (7) и (8), определяющих те-чения по схемам 1.3 и 1.4, для схемы Рябушинского получатся аналогичные рас-суждения.Для доказательства достаточно показать ограниченность соответствующейфункции Вайнштейна [1]:12 ( ) 2dzK K zd− ѓ© ѓД = ѓД ѓВ − ѓД⎛ ⎞ ѓВ ⎜ ѓД ⎟ ⎝ ⎠,где δz - вариация функции z = F(ζ) в (3) в зависимости от вариации искомыхпостоянных δK и 1 1 iδt , i = ,n − .Ограниченность проверяется непосредственно. Подставим в функцию Λ(ζ)известные нам δz иdzdζ:1221 11( )1nk kkk kK tz dK t tζ −− =⎧⎪ѓВ ѓА ѓВ ⎪⎫ѓВ = ⎨ − − ѓД ⎬ ѓД⎩⎪ ѓД − − ⎪⎭Ѓз ѓ°и убедимся, что ѓ©(ѓД) < Ѓ‡ .3. Преобразование уравненийРассмотрим преобразование уравнений в схеме Кирхгофа. Для остальных схемони делаются аналогично. Введем обозначения11 ( )( ) ( ) 1 1 k k k k i k kt t t u t t t ik n −+Δ = − , = − Δ , , = , − ,и преобразуем интегралы, входящие в (4), полагая k kt = sΔt + t . Тогда в результатепреобразования переменных уравнения (4) могут быть представлены в виде10( ) ( ) k k k u = Ѓз ѓ© s,u ds ЃЯ f u, p , _ (12)где111 11( )nnk nku u … u R−−−=−ѓї =ΣѓА , = , , Ѓё , 1 1 11 ( ) 1 2 k k n u t K k n u Kα− − −−= Δ , = , − , = ,Численный алгоритм построения некоторых струйных течений гидродинамики 911 21( ) (1 1 ( ) )n iik k k ki is vs u l s t t− β−=−ѓ© , = + − ѓў + ,ϕΠ2 2 (1 ( ))(1 ) 1 ( ) i k k k k k iϕ = − sѓўt + t −t + − sѓўt + t t ,1 ( )( ) i ik i k kv v t t t−,= = − Δ ,1 1 1 1 ( ) n n p … l…l − −= β , ,β , , , - геометрическая характеристика полигона P , в которой1 1 ( ) n …− β = β , ,β - вектор внешних углов P , 1 1 ( ) n l l…l−= , , - вектор длин сторон по-лигона P , k k k 1 kl P z z+=| |=| − | .Подынтегральное выражение в (12) может иметь интегрируемые особенностив точках s = 0,1. Поэтому в окрестности этих точек необходимо аппроксимиро-вать k f в (12) кусочно-постоянными сплайнами.Для оператора f (u, p) в (12) имеет место следующий аналог теоремы 1.Теорема 2. Преобразование f (u, p) в (12) дважды непрерывно дифференци-руемо по аргументам u p, при (u p) G, Ѓёѓ¶Ѓ~ , причем1( )DfI dDu− ⎛ − ⎞ ≤ ѓГ,ѓВ < Ѓ‡, ⎜ ⎟⎝ ⎠(13)где I - единичная матрица;{ } i ( ) 1 1ij ijjDf ff f i j nDu uЃЭ= , = , , =, −,ЃЭ1sup { }ijvA Av A a| |== | |, = .Доказательство. Свойства 2 f (u p) C ( ) u , Ѓё ѓ¶ ,ЃН Ѓёѓ¶ и 2 f (u p) C (G) p G , Ѓё ,ЃН Ѓёпроверяются непосредственно.Заметим, что 1 11 1 ( ) 1 2 g g … g n g k gklk fkuk k n− −−= , , , = = , = , − , очевидно, удовле-творяет (11), при этом1 1i ( 1)ij i ij ii i iijgg u f i j g u fu− − ЃЭ= = , Ѓ‚ , = − ,ЃЭследовательно,1110niiDg Dfu I uDu Du−−==Π − Ѓ‚ , Ѓёѓ¶,что в силу непрерывностиDfDuравносильно (13). Теорема доказана.4. Деформация полигоновТеорема 3. Пусть: а) отображение (4) g g(u) u = , Ѓёѓ¶, непрерывно диффе-ренцируемо;б) прообраз ограниченного замкнутого множества G, определенного в (1),лежит в Ω (априорная оценка (10));10 Е.В. Губкинав) в точках 1 1 ( ) n l l…l−= , , разрешимости уравнения (4) решение uЃёѓ¶ локаль-но единственно (соотношения (11)).Тогда уравнение (4) имеет по крайней мере одно решение uЃёѓ¶.Если дополнительно к условиям (а) - (в) найдется вектор 0 0 0 p ( l ) G( ), = ѓА , Ѓё ѓВдля которого решение u0 уравнения (4) единственно, то уравнение (4) однозначноразрешимо для любых pЃёG .Доказательство теоремы проводится с помощью модифицированного мето-да непрерывности.Рассмотрим отрезок прямой 0 01 { }nP = x, y | x = x , y < y < y , соединяющий точки1 1 1 z = x + iy и n n nz = x + iy , и обозначим через10 01nkkP P−==Ѓѕ «полигон» 0P , прохо-дящий через точки 0 0 0 1 k k kz = x + iy , k = ,n , с внутренними углами kѓї ѓО=ѓО ( 1) k α = ,k =1,n −1 . Постоянная 0x выбрана так, чтобы 0 P Ѓї P = 0 . В уравнениях (4)функция0 dzdtне зависит от 0kt - прообразов вершин 02 1k z k n, = , − . Поэтому по-следовательно из уравнения (4) однозначно определяются 0 1 1 ku , k = ,n − .Соединим точки 0kz полигона P гладкими жордановыми кривыми kS так,чтобы i j 0| S \ S |≥ d , i Ѓ‚ j. Тогда, выбирая на кривых kS произвольно точки ( ) k k z Sи соединяя их между собой и концами 1 ( )nz z P, Ѓё отрезками прямых, получимсемейство полигонов 1 1 ( ) ( ) n P S S S …S − , = , , с внутренними углами 1 1 kα π, k = ,n − ,( ) k kα = α S и длинами сторон ( ) 1 1 k kl = l S , k = ,n − . По построению P(S) удовле-творяет условию (1) простого полигона с постоянной 0 δ = δ(d ) > 0 . Далее методнепрерывности заключается в последовательном доказательстве однозначной раз-решимости уравнения (4) с помощью теоремы о неявных функциях для непре-рывно дифференцируемых вдоль 2 1 ( ) nS S S …S−= , , полигонов P(S) , начиная сполигона P0 [1].Следствие 1. Для струйных течений при условии (9) уравнение (4) однозначноразрешимо.В самом деле, согласно теореме 1, выполняются предположения a) - в) теоре-мы 3 и по построению для P0 уравнения (4) однозначно разрешимы.Зафиксируем произвольно вектор 0u Ѓёѓ¶, и пусть P0 - соответствующий ему по-лигон с вершинами 01k z k n, = , . Построим семейство полигонов {Pμ}, 1 ( )n … μ = μ ,μ ,[0 1] ѓКk Ѓё , , включающее в себя P0 и исходный полигон e P = P , e = (1,…,1).Пусть Pμ и 0 1k kPλ, ≤ѓК ≤ ѓЙ ≤ - два различных (| μ − λ |> 0) полигона из се-мейства {Pμ}, таких, что их характеристики pμ и pλ и соответствующие им муль-тииндексы μ и λ являются близкими:0 p p q 1 0 (q) 1λ μ≤| − |= _ , 0 - мера деформации Pμ PλЃЁ .Численный алгоритм построения некоторых струйных течений гидродинамики 11Произведем непрерывную деформацию Pμ PλЃЁ с помощью следующего ли-нейного преобразования вершин 1k kz P z P k nμ μ λ λЃё , Ѓё , = , :(1 ) [0 1] k k k k k k k k kz z zν λ μ= ѓГ + −ѓГ , ѓГ Ѓё , , ѓК ≤ ѓЛ ≤ ѓЙ , (15)где k kk kkν −μλ −με = при k kλ >μ и 0k ε = при k kλ =μ . Преобразование (15) вершинk kz zμ λЃЁ , удовлетворяющее условию (14) близости Pμ и Pλ, будем называтьциклом деформаций. Очевидно, при каждом фиксированном q > 0 за конечноечисло таких циклов деформаций начальный полигон 0P преобразуется в задан-ный (1 1) e P = P , e = ,…, , при этом Pμ G( ) (q) 0Ѓё ѓВ,ѓВ=ѓВ > .В силу теоремы 1 уравнение (4), соответствующее любому полигонуPμ G( )Ѓј ѓВ, однозначно разрешимо.5. Сходимость метода непрерывностиРассмотрим один цикл метода непрерывности (4 ) _ . Пусть для полигона P(0)уравнение (12) имеет единственное решение (0) u и ( )1 ( ) [0 1] n kP …λ, ѓЙ = ѓЙ , ,ѓЙ , ѓЙ Ѓё , ,- семейство полигонов, содержащее заданный полигон ( ) (1 1) e n P e … R, = , , Ѓё , длякоторого необходимо найти решение (e) u этого уравнения.Зафиксируем векторы ѓК и ѓЙ так, чтобы выполнялось условие (14) и предпо-ложим, что для полигона P(λ) соответствующее уравнение (12) имеет решение( ) ( ) ( ) u f (u p )λ λ λ= , . Представим уравнение (12), соответствующее полигону P(μ) ,в виде( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p uu u u f u p f u pѓў ЃЯ μ − λ = ѓў μ , μ + ѓў λ , λ . (16)Здесь ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) pf f u p f u pѓў = μ , μ − μ , λ ,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) uf f u p f u p Δ = μ , λ − λ , λ , ( ) ) ( ) f (u p ) uλ λ λ, = .Ввиду непрерывной дифференцируемости f (u, p) по p (теорема 3) имеемp 1 | ѓў f |≤ K | ѓЙ − ѓК |, uЃёѓ¶, (17)где 1K не зависит от λ,μ . Поскольку 2 f (u p) C ( ) p G( ) , Ѓё ѓ¶ , Ѓё ѓВ , то( ) ( )( ) 0 0 0 0( )( ) uDf u pf u u u CDuλ λλ,ѓў = ѓў +ѓі |ѓў |ѓў ,ѓі Ѓё ѓ¶,ѓі =ѓУ .Выберем постоянную ѓП из условия10 0102 2Df dIDu− < ѓП ≤ ⎛ − ⎞ = ⎜ ⎟ѓУ ⎝ ⎠ ѓУ(18)12 Е.В. Губкинаи на множестве 1 { } nv v R v u−ρѓ¶ = || |≤ѓП Ѓё , ЃЯѓў , представим (16) в виде( ) ( )( ) ( )( ) 0( )( ) ( ) pDf u pA u v I I v v f u pDuλ λλ λλ⎛ , ⎞ЃЯ ⎜ − − ѓі | |⎟ = ѓў ,⎝ ⎠, (19)откуда в силу (16) - (18) получим2v K ( ) vρ | |≤ ѓГ,ѓВ,ѓП|ѓЙ −ѓК |, Ѓёѓ¶. (20)Учитывая (18), находим 2K | ѓЙ −ѓК|≤ ѓП , т.е. (20) выполняется, если12K q − |ѓЙ −ѓК|≤ ѓП ЃЯ. (21)Введем параметр mЃЁЃ‡, и пусть ѓЙ(m)ЃЁѓК при mЃЁЃ‡. Например,2 1 ( 1 1 ) nm… m−λ = μ − / , ,μ − / . Тогда, согласно (20), имеем ( ) ( ) 0 v u uλ μ | |=| − |ЃЁ приѓЙ(m)ЃЁѓК . Следовательно, уравнение (12) относительно ( ) 1 [0 1] nu Rμ −Ѓё ,ЃНѓКЃё ,может быть решено методом итераций для полигонов ( ) ( ) P P (m) λ μ ЃЁ ,ѓЙ ЃЁѓК привыполнении (21).Итак, начиная с заданного (0) (0) (0) u = f (u , p ) , найдем решение ( )uμ уравнения(12) методом итераций для ( ) P q μ , | ѓК |≤ . Далее построим решение ( ) u q ν , |ѓЛ −ѓК|≤и т.д. За конечное число таких деформаций P( )λ в ( )P , q, μ | ѓЛ −ѓК |≤ отыщется ре-шение и для заданного полигона ( ) (1 1) e n P e … R, = , , Ѓё Доказано утверждение.Теорема 4. Метод циклической непрерывности сходится. На каждом циклерешение (e) u уравнения (12), отвечающее заданному полигону (e) P, (1 1) , ne= ,…, ЃёRможет быть построено за конечное число деформаций P( )λ в P q μ, |ѓЙ −ѓК|≤ ,причем _______решение ( )uμ отыскивается методом итераций, начиная с ( )uλ .6. Алгоритм реализации метода непрерывностиДля осуществления перехода от одной итерации к другой необходимо форми-ровать полную базу данных о полигоне.База данных для (m + 1)-й итерации.1. Задать геометрическую характеристику p = (β,l) (вводятся вершины поли-гона ( ) 1 k k k z x y k n, , = , , и вычисляется геометрическая характеристика).2. Задать (m)ku с предыдущей итерации (в частности, начальная итерация (0)k uможет быть выбрана из решения задачи для 0P , 0 0 01 1 1 1 (0 0 ( ) ( )) n p … l t …l t −= , , , , , ,0kt - выбираются произвольно, например, 0 01 1 2t = t =1, t = 2,…, а 0 ( ) k kl t определяют-ся из расчета начальной задачи 0P . Или в качестве начальной итерации (0)k uможно взять единичный вектор (0) (1 1) 1 n u … R−= , , Ѓё ._3. Задать оператор ( ) ( )1 1 ( ) ( ) m mk k nu f u p u u …u−= , , = , , . Вычисления проводятсяпо формуле (12).Построить полигон P(μ) , для которого вычислен вектор ( )uμ , причем формула(12) применяется до тех пор, пока не достигнута заданная точность.Численный алгоритм построения некоторых струйных течений гидродинамики 134. Вычислить погрешность определения длин сторон полигона P:1 1 2( 1) ( 1) 1 ( 1) ( 1) 21( ) ( )nm m m mk k k k kkl u f u l l l− / ⎛ ⎞+ + − + ⎜ + ⎟⎜⎜ ⎟⎟⎝ = ⎠= : Σ| − | ЃЯ ѓў < ѓГ .5. Вычислить свободную границу (m) L (после проведения m-й итерации)

Скачать электронную версию публикации