Minimal non-holonomic torses of the sekond kind.pdf По гладкому двумерному распределению Δ [1, с. 683], сопоставляющему3M  E двумерную плоскость π, проходящую через точку М, однозначно опреде-ляется уравнение Пфаффа. Распределение называется голономным, если опреде-ляемое им уравнение Пфаффа вполне интегрируемо. В этом случае пространство Е3расслаивается на однопараметрическое семейство поверхностей. Если же соответ-ствующее уравнение Пфаффа не является вполне интегрируемым, то распределениеназывается неголономным. При этом интегральные кривые уравнения Пфаффа на-зываются кривыми распределения (или допустимыми кривыми [2, c. 14]). Все кри-вые распределения, проходящие через точку М, касаются в этой точке плоскости π.Пару (М, π) называют плоским элементом, плоскость π - плоскостью распределе-ния в точке М. С распределением тесно связана не только геометрия интегральныхкривых уравнения Пфаффа, но и геометрия ортогонального векторного поля.1. Главные кривизны и главные направления 2-го рода.Линии кривизны 2-го родаПусть r_- радиус-вектор точки М, а 3e_ - вектор, ортогональный плоскости π вточке М. К каждому плоскому элементу присоединим ортонормированный репер(М, eα_ ). Деривационные формулы репера запишем в виде,,dr ede eααβα αβ= ω= ω_ __ _при этом β αα β ω =−ω и , ,( , , 1,2,3).d d α β α β γ ββ α α γƒ =ƒ ƒ ƒ =ƒ ƒ ƒƒ ƒ=Главные формы [3,c.288] - это формы , 3 .α αω ω Из них формы αω - базисные,поэтому3 . A α α ββω = ω (1.1)По матрице1 1 11 2 32 2 21 2 3 ( )0 0 0A A AAα A A Aβ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠определяем линейный оператор А, называемый основным линейным операторомМинимальные неголономные торсы 2-го рода 43[4, c. 108]. Для него 3 A(dr ) = de ._ _ Плоскость π в выбранном репере определяетсяуравнением 3x = 0, а уравнение Пфаффа, соответствующее распределениюƒ :M ƒ, имеет вид3ω = 0. (1.2)Условием полной интегрируемости уравнения (1.2) является обращение в нульскаляра 1 22 1,ρ = A − A называемого скаляром неголономности. Для неголономногораспределения, о котором идёт речь в данной работе, скаляр ƒ  0.Оператор А отображает всякий вектор плоскости π в вектор этой же плоско-сти, поэтому возникает линейный оператор А*, являющийся сужением оператораА на плоскость π. Матрица оператора А*в базисе 1 2 (e ,e )_ _ имеет вид1 11 22 21 2.A AA A⎛ ⎞⎜⎜ ⎟⎟⎝ ⎠Собственные значения оператора А*, взятые с противоположными знаками,называются главными кривизнами 2-го рода, а его собственные векторы - глав-ными направлениями 2-го рода. Произведение главных кривизн 2-го рода - этополная кривизна 2-го рода, а их полусумма - средняя кривизна.Введём обозначения: (2) (2)1 , 2k k - главные кривизны 2-го рода, (2) (2)2 1 2K = k k -полная кривизна 2-го рода,(2) (2)1 22k kH+= - средняя кривизна.Кривая распределения, в каждой точке которой касательный вектор имеетодно из главных направлений 2-го рода, называется линией кривизны 2-го рода.Она характеризуется тем, что вдоль неё нормали распределения описывают торс[4, c. 108]. Распределения, для которых 2K = 0,H  0 , рассматривались в [3] всвязи с геометрией векторного поля. В данной работе рассматриваются неголо-номные распределения, для которых 2 K = H = 0.⸤2.åûÿõõâ 2îàЗаметим, что если распределение Δ - голономно и для него 2K = 0, то про-странство Е3 (или его область) расслаивается на однопараметрическое семействоторсов. А если, кроме того, средняя кривизна равна нулю, то получим тривиаль-ный случай расслоения трёхмерного пространства на двумерные плоскости. В не-голономном же случае имеем другую, более сложную, геометрию, к изучению ко-торой переходим.å.Минимальным неголономным торсом 2-го рода (МНТ-2) назы-вается двумерное распределение Δ на Е3, для которого равны нулю средняя кри-визна и полная кривизна 2-го рода.Так как для МНТ-2 имеем 2 H = K = 0, то (2) (2)1 2 k = k = 0 . Следовательно, кор-ни характеристического уравнения1 11 22 21 20A AA A−λ=−λ44 Н.М. Онищук, О.В. Цоколоваравны нулю. И мы имеем в точке М единственное главное направление 2-го родаξ(ξ1,ξ2 )_, удовлетворяющее уравнению 1 1 1 21 2 A ξ + A ξ = 0 . Направив вектор 1e_ поглавному направлению 2-го рода, получим 1 11 2 A = 0, A Ѓ‚ 0. Так как1 2 1 11 2 1 222 21 20, 0,2A A A AH KA A+= − = = =то 2 22 1A = A = 0. Репер становится каноническим а формулы (1.1) принимают вид1 1 2 1 33 2 32 2 33 3,.A AAω = ω + ωω = ωФункции 1 1 22 3 3 A , A , A − инварианты: 1 1 22 3 3 A = ρ, A = a, A = b . Здесь a и b - проек-ции вектора кривизны линии тока векторного поля нормалей 3e_ на 1e_ и 2e ._Итак, для МНТ-2 имеем1 2 332 33,.abω =ρω + ωω = ω(2.1)Продолжаем систему (2.1), получаем1 1 2 2 32 12 131 2 312 22 2322 1 12 2 13 313 23 332 12 2 313( ) ( ) ,( ) ,( )( ) ( ) ( ) ,( ) .b a ad abb b ada b abadb bρω = − ρω + α − ρ ω + α − ωρ = α ω +α ω + α − ωα −α= α + ω + α − + ω + α + ωρ ρα= + −α ω −βωρ(2.2)Формулы (2.1) и (2.2) являются основными формулами для МНТ-2. Внешниедифференциалы базисных форм 1 2 3, ,ω ω ω при этом выражаются через их внеш-ние произведения следующим образом:2 21 1 2 13 2 322 12 1 2 13 3 13 1 2 2 3 3 1,( ) ,.ad bad ad b aѓї − −ѓПѓЦ = ѓЦ ЃИѓЦ + ѓЦ ЃИѓЦѓПѓї ѓї −ѓЦ = − ѓЦ ЃИѓЦ + ѓЦ ЃИѓЦѓП ѓПѓЦ = −ѓПѓЦ ЃИѓЦ − ѓЦ ЃИѓЦ + ѓЦ ЃИѓЦ(2.3)3. Классификация минимальных неголономных торсов 2-го родаДля любого распределения ѓў :M ЃЁѓО множество плоских элементов (M,π)представляет собой трёхмерное многообразие. Однако множество плоскостей πможет зависеть от меньшего числа параметров. Для любого неголономного торса2-го рода 2 (K = 0) множество плоскостей π зависит от двух параметров[4, c. 109]. В частности это имеет место и для МНТ-2. Действительно, находимхарактеристику плоскости π для МНТ-2:31 2 1 2 30,( 1) 0.xx ax bx=ρ ω + + − ω =(3.1)Минимальные неголономные торсы 2-го рода 45В формулах (3.1) содержатся лишь две базисных формы, то есть мы имеемдвупараметрическое семейство плоскостей распределения. Из (3.1) также следует,что характеристическая точка [5, c. 183] плоскости π - это точка01M 0, ,0 .b⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠Возникают три возможности: 1) плоскости π огибают поверхность, состоящуюиз точек М0; 2) плоскости π образуют связку с центром в точке М0 ; 3) плоскости πпараллельны одной прямой. Имеющиеся три возможности и положены в основуклассификации МНТ-2: 1) МНТ-2, плоскости которых огибают поверхность, на-зовём МНТ-2 общего вида; 2) МНТ-2, плоскости которых образуют связку, назо-вём минимальными неголономными конусами; 3) МНТ-2, плоскости которых па-раллельны одной прямой, назовём минимальными неголономными цилиндрами.4. Минимальные неголономные торсы 2-го рода общего видаЗаметим, что существование МНТ-2 каждого из перечисленных видов не оче-видно. Переходим к доказательству существования МНТ-2 общего вида.Теорема 1. Минимальные неголономные торсы 2-го рода общего вида суще-ствуют с произволом двух функций двух аргументов.Доказательство. Для доказательства теоремы используем метод Кэлера [3].Замыкаем систему (2.2), получаем2 3 1 2 2 3 3 112 13 1 1 11 2 3 1 2 2 3 3 112 22 23 2 2 21 2 3 1 213 23 12 33 13 32 3 3 132 3 1 2 2 312 13 4 40,0,( ) ( )0,( )d d A B Cd d d A B Cb bd d d d d AB Cad d d A B Cѓї ЃИѓЦ + ѓї ЃИѓЦ + ѓЦ ЃИѓЦ + ѓЦ ЃИѓЦ + ѓЦ ЃИѓЦ =ѓї ЃИѓЦ + ѓї ЃИѓЦ + ѓї ЃИѓЦ + ѓЦ ЃИѓЦ + ѓЦ ЃИѓЦ + ѓЦ ЃИѓЦ =ѓї ЃИѓЦ + ѓї − ѓї ЃИѓЦ + ѓї − ѓї ЃИѓЦ + ѓЦ ЃИѓЦ +ѓП ѓП+ ѓЦ ЃИѓЦ + ѓЦ ЃИѓЦ =ѓї ЃИѓЦ − ѓї + ѓА ЃИѓЦ + ѓЦ ЃИѓЦ + ѓЦ ЃИѓЦ +ѓП3 14 ѓЦ ЃИ ѓЦ = 0,(4.1)где , , i i iA B C (i = 1,,4) - функции от 12 , 13, 22 , 23, 33, , , .α α α α α a b ρ В частности,212 21 12 1322 12 23 22 131 33 13 23212 13 21 13222 13 2 22 23 1312 12 233 23 33 13212 13 1423 3 ,( ) ( )3 2 ,2 ( )2 2 ,( )( ),(2 4 )5 ,( 2 ) 2A a bab aB ab b aaC a abaC a b b ab abA a ba aAα= α − − ρα − ρρα α + +α −α= ρα + − α − α +ρα α −= + α + βρ +ρα α −= +α + α + −ρα α −α −= α + −α ρ+ αρα +α α= −ρ22 22 13 + ab − aα +βρ.ρ(4.2)46 Н.М. Онищук, О.В. ЦоколоваПоложим1 2 312 1 1 11 2 313 2 2 21 2 322 3 3 31 2 323 4 4 41 2 333 5 5 51 2 36 6 6,,,,,.ddddddα =λω +μω +νωα =λ ω +μ ω +ν ωα =λω +μω +νωα =λ ω +μ ω +ν ωα =λω +μω +νωβ = λ ω +μ ω +ν ω(4.3)Строим цепь интегральных элементов 1 2 3 E Ѓј E Ѓј E . Для 1E положим1 2ω = ω = 0, тогда параметры ( 1,...,6) iν i = останутся свободными, то есть на нихне наложены никакие условия. Следовательно, 1r = 6 (обозначения соответствуютпринятым в [3]). Для 2E положим 1ω = 0 и подставим (4.3) в (4.1). В результатеполучим2 1 1 4 3 25 4 1 3 6 1 2 4, ,, .B Bb aB B Bμ =ν − μ =ν −μ =ν − − μ =− ν +ν +ρ ρОстаются свободными 1 μ и μ3 , то есть 2 r = 2, а характер 1 1 2 S = r − r = 4. И,наконец, подставим (4.3) в (4.1). Получим1 1 2 1 3 1 24 1 2 5 2 1 3 6 4, , ,, , ,A C AbC C C Cλ =− λ = λ =μ −λ =ν + λ =ν + + λ =−ρто есть 3r = 0. Кроме того, имеем1 3 2 11 1 40,0.bA A C BaA C A+ + + =ρ+ − =ρ(4.4)Значения 1, 3, 4 , 1, 1, 2A A A B C C из (4.2) подставляем в (4.4), получаем тождест-венные равенства. Таким образом, для 3E все параметры i λ определены. Приэтом на , i i μ ν не возникают связи. Это значит, что построенная цепь1 2 3E Ѓј E Ѓј E − правильная. Характер 2 2 3 S = r − r = 2. А так как характеры не воз-растают и сумма их равна количеству неизвестных системы 1 2 3 (S + S + S = 6), то3S = 0. И, согласно достаточному признаку Кэлера, система внешних дифферен-циальных уравнений (4.1) в инволюции. А так как 2 2 3S = r − r = 2 , то решение су-ществует и определяется с произволом двух функций двух аргументов. Переходим к исследованию геометрических свойств МНТ-2 общего вида.Прежде всего заметим, что так как для неголономного торса 2-го рода 2K = 0, тоиз формулы22 1 ,4K Kρ= + где 1K − полная кривизна первого рода [4, c.109], сле-Минимальные неголономные торсы 2-го рода 47дует 1K < 0. А это значит, что для всякого неголономного торса 2-го рода все точ-ки М являются точками гиперболического типа. Таким образом, через каждуюточку М проходят две асимптотические линии неголономного торса 2-го рода.Находим уравнения асимптотических линий для МНТ-2. Из определенияасимптотических линий имеем2, 1, 2 0.d r e e =_ _ _Отсюда, используя формулы (2.1), получаем1 230,0.ω ω =ω =Одна из асимптотических линий 2 3 (ω = ω = 0) совпадает с линией кривизны2-го рода и, кроме того, представляет собой эквидирекционную линию [6, c. 32] -линию, вдоль которой нормали распределения описывают цилиндр. Вторая асим-птотическая линия 1 3 (ω = ω = 0) ортогональна первой, её касательная проходитчерез характеристическую точку 0M плоскости π. Первая асимптотическая линиялежит в плоскости π. Касательная ко второй является общей характеристикойплоскости π, полученной при смещении её вдоль всякой кривой МНТ-2.Введём обозначения: k и κ - кривизна и кручение линии тока нормалей; 1k и1κ - кривизна и кручение асимптотической, совпадающей с линией кривизны2-го рода; 2k и 2κ - кривизна и кручение второй асимптотической. В результатепроведённых вычислений имеем2 2 332 21 1122 20, 0,0, 0,0, 0.bk a ba bk bk aѓї= + Ѓ‚ ѓИ=− Ѓ‚+= Ѓ‚ ѓИ =ѓї= − Ѓ‚ ѓИ =ѓПЃ‚ѓП(4.5)Отсюда для МНТ-2 общего вида следует: 1) линия тока векторного поля нор-малей не может быть плоской; 2) асимптотическая линия, совпадающая с линиейкривизны 2-го рода, лежит в плоскости π, но не может быть прямой; 3) втораяасимптотическая линия, ортогональная первой, не может быть плоской.5. Минимальные неголономные конусыНапомним, что минимальным неголономным конусом называется МНТ-2,плоскости которого образуют связку. Обозначим радиус-вектор точки 0M (центрасвязки)0 MR_. Для него0 21MR r eb= +__ _ (5.1)и00.MdR =_ _(5.2)Из (5.1) и (5.2), используя соответствующие формулы, находим212 , 13 , 0.α = aρ α = a β = (5.3)48 Н.М. Онищук, О.В. ЦоколоваИ тогда основные формулы для неголономных конусов принимают вид1 2 332 331 121 2 322 232 2 1 2 323 332 2,,,( ) ,( ) ,.abbd a abda a bdb bω =ρω + ωω = ωω =− ωρ = ρω +α ω + α − ω= + ω + α ω + α ω= ω(5.4)Формулы для внешних дифференциалов базисных форм в данном случае име-ют вид1 1 2 2 323 1 2 2 3 3 1,0,.d bdd b aѓЦ = ѓЦ ЃИѓЦ −ѓПѓЦ ЃИѓЦѓЦ =ѓЦ =−ѓПѓЦ ЃИѓЦ − ѓЦ ЃИѓЦ + ѓЦ ЃИѓЦ(5.5)Теорема 2. Минимальные неголономные конусы существуют с произволом од-ной функции двух аргументов.Доказательство теоремы 2 аналогично доказательству теоремы 1. При этомиспользуются формулы (5.4) и (5.5) Выясним отличия геометрии инвариантных кривых минимального неголоном-ного конуса от геометрии инвариантных кривых МНТ-2 общего вида. Преждевсего заметим, что из (5.4) для асимптотической, совпадающей с линией кривиз-ны 2-го рода, инвариант b = const Ѓ‚ 0 , а следовательно, и кривизна 1k = const Ѓ‚ 0(см.(4.5)). То есть эта асимптотическая является окружностью с центром в точке0. M Для второй асимптотической кривизна 2k = 0 , следовательно, она представ-ляет собой прямую, проходящую через точку М0.Со всяким МНТ-2 инвариантно связаны два распределения - 1 1ѓў :M ЃЁѓО и2 2ѓў :M ЃЁѓО , где 1, 2π π −плоскости, ортогональные π и проходящие через каса-тельные к асимптотическим линиям распределения Δ . При этом 2π проходит че-рез касательную к той асимптотической, которая совпадает с линией кривизны2-го рода. Рассмотрим распределения 2Δ и 1Δ для минимального неголономногоконуса.Теорема 3. Распределение 2Δ голономно и определяет на Е3 слоение [1, c. 683],слоями которого являются сферы с центром в точке М0 .Доказательство. Распределению 2Δ соответствует уравнение Пфаффа2 ω = 0 , которое в силу (5.5) вполне интегрируемо. Следовательно, 2Δ голономно.Докажем, что интегральные поверхности уравнения 2 ω = 0 представляют собойсферы с центром в точке 01M (0, ,0).bНаходим соприкасающуюся сферу инте-гральной поверхности уравнения 2 ω = 0 , проходящую через точку М. Уравнениеповерхности 2-го порядка 0 002 0 i j iij ia x x + a x + a = запишем в векторном виде00 (R, R) + 2(N, R) + a = 0._ _ _ _(5.6)Минимальные неголономные торсы 2-го рода 49Требуем, чтобы точка М принадлежала поверхности (5.6):00 (r , r ) + 2(N, r ) + a = 0.___ _ (5.7)Находим условие совпадения в точке М касательных плоскостей поверхностей(5.6) и интегральной поверхности. После соответствующих вычислений получим1 13 3( , ) ( , ) 0,( , ) ( , ) 0.e r N ee r N e+ =+ =__ _ ___ _ _(5.8)И, наконец, получаем условия, определяющие вместе с (5.7) и (5.8) коэффици-енты соприкасающейся поверхности 2-го порядка:1 1 21 3 31 33 3 1 2( , ) ( , ) 0,( , ) ( , ) 0,( , ) 0,( , ) ( , ) ( , ) 0.e e b N ee e a N ee ee e a N e b N e+ =− ==+ + =__ _ ___ _ __ __ __ _ _ _(5.9)Из (5.7) - (5.9) следует00 01 03 13 11 33 02a = a = a = a = 0,a = a = −ba .Положив 02a = −1, получим следующее уравнение соприкасающейся сферыинтегральной поверхности уравнения 2 ω = 0 в точке М:1 2 2 2 3 221 1(x ) (x ) (x ) .b b+ − + = (5.10)Легко убедиться, что сфера (5.10) остаётся стационарной во всех точках инте-гральной поверхности уравнения 3 ω = 0 . Это значит, что сама интегральная по-верхность, проходящая через точку М, представляет собой сферу с центром в точ-ке М0.Итак, распределение 2Δ голономно, а пространство Е3 расслаивается на одно-параметрическое семейство сфер с центром в точке М0. Заметим, что линии кривизны 2-го рода минимального неголономного конусасовпадают с окружностями больших кругов тех сфер, на которые расслаиваетсяЕ3. А линии тока нормалей этого конуса - пространственные кривые, лежащие насферах. Кривизна линии тока равна 2 2a + b , а кручение 332 2.ba bακ = −+Теорема 4. Распределение 1Δ представляет собой неголономный конус, не яв-ляющийся минимальным.Доказательство. Распределению 1Δ соответствует уравнение Пфаффа 1ω = 0.Так как1 1 1 2 3dѓЦ ЃИ ѓЦ = ѓПѓЦ ЃИ ѓЦ ЃИ ѓЦ Ѓ‚ 0,то это значит, что 1Δ - неголономное распределение. Его главные кривизны 2-города (2) (2)1 2k = 0, k = a Ѓ‚ 0. Полная кривизна 2-го рода 2K = 0, а средняя02aH= Ѓ‚ . Плоскость ѓО1 проходит через неподвижную точку М0. Всё это харак-теризует неголономный неминимальный конус. 50 Н.М. Онищук, О.В. ЦоколоваАсимптотические линии распределения 1Δ определяются уравнениями3 2 31( ) 0,0.ѓЦ ѓПѓЦ + aѓЦ =ѓЦ =(5.11)Асимптотические линии 2 3 1ρω + aω = 0,ω = 0 совпадают с линиями кривизны2-го рода. Это плоские линии с кривизной, равной 2 2ρ + a . Асимптотическиелинии 3 1ω = ω = 0 - прямые, проходящие через точку М0. Линии тока нормалей1 (e ) _ распределения 1Δ являются _____окружностями с центром в точке М0 и совпадаютс линиями кривизны 2-го рода распределения Δ .6. Минимальные неголономные цилиндрыВсе плоскости минимального неголономного цилиндра параллельны однойпрямой. Для него инвариант b = 0 , а основные формулы имеют вид1 2 3323121 2 322 232 1 2 323 33,0,0,,.ad ada aѓЦ =ѓПѓЦ + ѓЦѓЦ =ѓЦ =ѓП = ѓПѓЦ +ѓї ѓЦ +ѓї ѓЦ= ѓЦ +ѓї ѓЦ +ѓї ѓЦ(6.1)Кроме того,1 2 323 1 2 3 1,0,.ddd aѓЦ = −ѓПѓЦ ЃИ ѓЦѓЦ =ѓЦ = −ѓПѓЦ ЃИ ѓЦ + ѓЦ ЃИ ѓЦ(6.2)Теорема 5. Минимальные неголономные цилиндры существуют с произволомодной функции двух аргументов.Доказывается данное предложение аналогично доказательству теоремы 1. Обе асимптотические линии минимального неголономного цилиндра, прохо-дящие через точку М, являются прямыми линиями. Одна из них совпадает с лини-ей кривизны 2-го рода и с эквидирекционной линией. Вторая совпадает с характе-ристикой плоскости π, полученной при её смещении по любой кривой распреде-ления Δ . Линия тока нормалей - кривая, лежащая в плоскости 2π и имеющаякривизну, равную a .Для минимального неголономного цилиндра инвариантное распределение 2Δ- голономно и определяет слоение, слоями которого являются плоскости.Распределение 1Δ неголономно, если а  0. Его полная кривизна 2-го родаравна нулю, а средняя равна 02aЃ‚ . Плоскости ѓО1 параллельны одной прямой.Таким образом, распределение 1Δ представляет собой неголономный немини-мальный цилиндр. Асимптотические линии распределения 1Δ определяютсяуравнениямиМинимальные неголономные торсы 2-го рода 513 2 31( ) 0,0.ѓЦ ѓПѓЦ + aѓЦ =ѓЦ =Одна из них 1 3 (ω = ω = 0) − прямая, являющаяся характеристикой плоскости π,полученной при смещении по кривым распределения Δ . Вторая2 3 1 (ρω + aω = 0,ω = 0) - плоская линия, лежащая в плоскости 1ѓО . Угол α междуасимптотическими линиями определяется формулой2 2cos .aaѓї =+ѓПТеорема 6. Существует единственный минимальный неголономный цилиндр спостоянным скаляром неголономности.Доказательство. При ρ = const  0 из (6.1) и (6.2) получаем 22 23a = α = α =33= α = 0,1 232312,0,0.ω =ρωω =ω =(6.3)1 2 323 1 2,0,.dddѓЦ = −ѓПѓЦ ЃИѓЦѓЦ =ѓЦ = −ѓПѓЦ ЃИѓЦ(6.4)Система (6.3), а следовательно, и система1 2 31 2 321 3223 1,,0,dr e e ede edede e= ω +ω +ω= −ρω== ρω_ _ _ __ ____ _(6.5)вполне интегрируема и при заданном ρ = const имеет единственное решение.Проинтегрируем систему (6.5). Так как 2dω = 0, то можно положить 2ω = du.Покажем, что формы 1,ω 3ω можно представить в виде 11 ,ω = dv + t du32 ω = dw+ t du. Используя (6.4), получим1 2 dt ЃИ du = −ѓПdu ЃИ dw, dt ЃИ du = −ѓПdv ЃИ du.При 1 2 t = ѓПw, t = −ѓПv последние равенства становятся тождествами. Следова-тельно, можно положить1 3, ,ω = dv + ρwdu ω = dw− ρvduгде u, v, w - некоторые переменные (параметры). Система (6.5) после этого при-нимает вид1 2 31 323 1( ) ( ) ,,0,.dr dv wdu e due dw vdu ede duedede due= +ρ + + − ρ= −ρ== ρ_ _ _ __ ____ _(6.6)52 Н.М. Онищук, О.В. ЦоколоваОтсюда видим, что 2e −_ постоянный вектор. Обозначим 2 3 e = ѓГ ._ _ Так как21 1 23 2 1 , ,de d ee edu du= −ρ = −ρ_ __ _то1 1 23 1 2cos( ) sin( ),sin( ) cos( ).e u ue u u= ε ρ +ε ρ= ε ρ −ε ρ_ _ __ _ _ (6.7)Векторы 1 2 3 ѓГ , ѓГ _______, ѓГ_ _ _ образуют постоянный ортонормированный базис. Из (6.6),(6.7) имеем1 21 2cos( ) sin( ),( cos( ) sin( )) ( , ).ru uvr u u v f u wЃЭ= ѓГ ѓП +ѓГ ѓПЃЭ= ѓГ ѓП +ѓГ ѓП +__ ___________ _ _Отсюда и из (6.6) получаем1 2sin( ) cos( ).fu uwЃЭ= ѓГ ѓП −ѓГ ѓПЃЭ_ _Тогда1 2 f (u,w) = (ѓГ sin(ѓПu) − ѓГ cos(ѓПu))w+ ϕ(u)________ ______ _и1 2 1 2 r = (ѓГ cos(ѓПu) + ѓГ sin(ѓПu))v + (ѓГ sin(ѓПu) − ѓГ cos(ѓПu))w+ ϕ(u).______ _ _ __Используя (6.6) и (6.7), находим3 0 0 ϕ(u) = uѓГ + r , r = const ._____ _________ _Примем векторы 1 2 3 ѓГ , ѓГ , ѓГ_ _ _ за базис неподвижной системы координат, а началокоординат поместим в точку 0 A(r ) _ , тогда1 2 3 r = (v cos(ѓПu) + wsin(ѓПu))ѓГ + (v sin(ѓПu) − wcos(ѓПu))ѓГ + uѓГ ._ _ _ _Таким образом, декартовы координаты (x,y,z) точки М относительно выбран-ной неподвижной системы координат определяются формуламиcos( ) sin( ),sin( ) cos( ),.x v u w uy v u w uz u= ρ + ρ= ρ − ρ=(6.8)Так как ,u = z то из (6.7) следует, что с постоянным скаляром неголономностиѓП Ѓ‚ 0 существует единственное векторное поле3 e (sin(ρz),−cos(ρz),0),_ортогональное распределению, удовлетворяющему условиям теоремы. То естьсуществует единственный минимальный неголономный цилиндр с постояннымскаляром неголономности. Уравнение Пфаффа, ему соответствующее, имеет видsin(ρz)dx − cos(ρz)dy = 0.  (6.9)Получим уравнения инвариантных кривых и поверхностей в той неподвижнойсистеме координат, в которой записано уравнение (6.9).Минимальные неголономные торсы 2-го рода 53Линии тока векторного поля 3e_ - прямые1,cos( ) sin( ) .z cx c y c c=ρ + ρ =Эквидирекционные поверхности - плоскости . z = c Асимптотические линии,совпадающие с линиями кривизны 2-го рода, определяются уравнениями2,sin( ) cos( ) ,z cx c y c c=ρ − ρ =а асимптотические линии, ортогональные им, - уравнениями,.x ay b==Линии кривизны 1-го рода состоят из интегральных кривых системы диффе-ренциальных уравнений2 2 (cos( ) sin( ) ) ( ) 0,sin( ) cos( ) 0.z dx z dy dzz dx z dyρ + ρ − =ρ − ρ =(6.10)Проинтегрировав систему (6.10), получим уравнения линий кривизны 1-го рода:121sin ,1cos ,1x t cy t cz t= − +ρ= − +ρ= −ρ(6.11)и121sin ,1cos ,1.x t ay t az t= +ρ= +ρ= −ρ(6.12)Из (6.11) и (6.12) видим, что линиями кривизны 1-го рода являются винтовыелинии, имеющие одинаковое кручение и векторы кривизны, отличающиеся лишьзнаком. Линии кривизны 1-го рода, проходящие через точку 0 0 0 (x , y , z ), лежат надвух цилиндрах2 20 0 0 21 1 1(x x sin( z )) ( y y cos( z)) − + ρ + − − ρ =ρ ρρи2 20 0 0 21 1 1(x x sin( z)) ( y y cos( z )) − − ρ + − + ρ =ρ ρρодинакового радиуса с общей образующей, проходящей через точку 0 0 0 (x , y , z ) .Плоскость ѓО - это общая касательная плоскость цилиндров. Эквидирекционнаяплоскость ортогональна общей образующей цилиндров (см. рис. 1 и 2).54 Н.М. Онищук, О.В. ЦоколоваРис. 1Рис. 2Линии кривизны 1-го рода (винтовые линии) в точке 0 0 0 (x , y , z ) имеют общуюглавную нормаль, совпадающую с линией тока векторного поля. Та асимптотиче-ская линия, которая является линией кривизны 2-го рода, ортогональна общей об-разующей цилиндров и вектору поля. Вторая асимптотическая линия совпадает собщей образующей цилиндров.Минимальные _______неголономные торсы 2-го рода 55

Скачать электронную версию публикации