Topologies of linear continuity.pdf При рассмотрении функции двух переменных f: R2 ¨ R обычно рассматри-вают два понятия непрерывности: непрерывность по каждой из переменных в от-дельности (раздельная непрерывность) и непрерывность по совокупности пере-менных (совместная непрерывность). При этом совместная непрерывность оказы-вается равносильной непрерывности относительно стандартной топологии произ-ведения пространства R2 = R R, а раздельная непрерывность равносильна непре-рывности относительно введенных в [1] и [2] топологий R2s =R ⊗ R иR2sr =R ⊗ R.Естественным обобщением понятия раздельной непрерывности является поня-тие линейной непрерывности: в [3] функцию двух переменных называют линейнонепрерывной, если она непрерывна относительно любой прямой. Более строго,f: R2 ¨ R линейно непрерывно, если для любых действительных a и b функцииfa,b(x) = f(x; ax + b) и fa(x) = f(a; x) непрерывны как функции одной переменной.Примеры линейно непрерывных, но не совместно непрерывных функций можнонайти, например, в [4].Аналогично топологиям R2s и R2sr определим топологии R2l и R2lr, непрерыв-ность относительно которых равносильна линейной непрерывности. МножествоG будем считать открытым в R2l, если для любых a и b сеченияGa,b = {x: (x; ax + b) ¶ G} и Ga = {x: (a; x) ¶ G} открыты в R (или что то жесамое: множество F замкнуто в R2l, если для любых a и b сеченияFa,b = {x: (x; ax + b) ¶ F} и Fa = {x: (a; x) ¶ F} замкнуты в R). Рассмотрим се-мейство всех вполне регулярных на R2 топологий, которые слабее топологиипространства R2l. Тогда R2lr - это множество R2, наделенное слабейшей тополо-гией, которая сильнее всех топологий из данного семейства.Очевидно, что f: R2 ¨ R линейно непрерывно тогда и только тогда, когдаf: R2l ¨ R непрерывно. Покажем, что аналогичное утверждение верно и для про-странства R2lr.Теорема 1. R2lr - вполне регулярное пространство и f: R2 ¨ R линейно непре-рывно тогда и только тогда, когда f: R2lr ¨ R непрерывно.Доказательство. Пусть F - замкнутое в R2lr множество и z ¶ R2 \ F. ТогдаF = F1 ¼ F2 ¼ … ¼ Fn, где F1, F2,…,Fn - замкнутые множества в некоторых впол-не регулярных топологиях, более слабых, чем топология пространства R2lr. В ка-16 Я.С. Гриншпонждой из этих топологий существует непрерывное отображение fk: R2 ¨ [0; 1],такое, что fk(z) = 0 и fk(Fk) = {1}. Функция f = max{f1, f2, …, fn} доказывает впол-не регулярность пространства R2lr.Пусть теперь f: R2 ¨ R - линейно непрерывное отображение. Тогда тополо-гия, образованная прообразами всех открытых в R множеств, является вполне ре-гулярной и более слабой, чем топология R2l. Следовательно, эта топология слабееи топологии пространства R2lr, а значит, f: R2lr ¨ R непрерывно.Если же f: R2lr ¨ R непрерывно, то f: R2l ¨ R также непрерывно, так как то-пология R2l сильнее топологии R2lr, а значит, и f: R2 ¨ R линейно непрерывно.

Скачать электронную версию публикации