On some systems of a gilbert space which are not bases.pdf Определение 1. Система элементов {х„}^=1в бесконечномерном банаховом пространстве Е назьшается базисом Шаудера в Е, если для каждого х е Е суще-СОствует единственная последовательность скаляров, такая, что х = V atxt.Проверка базисности той или иной последовательности есть, вообще говоря, нетривиальный факт. Поэтому существуют различные критерии для проверки базисности системы. Приведем некоторые из них.Теорема 1. [1] Система ненулевых векторов ix Л _ е Е - базис в банаховомпространстве Е тогда и только тогда, когда существует константа К, такая, что для любых т,п е N , т а для любого п = 1,2,...,x'eS„,x"eL"где Sn = {хе Ln,\\x\\ = 1} - единичная сфера в Ln = sp{xl,x2,...,xn}, L = sp\xn+l,xn+2,...\ ■Частный случай исследуемой в данной работе задачи, когда (hx■, h Л = a , а > О при i ^ j, i,jeN , уже был рассмотрен И. П. Бухтиной, Т. Е. Хмылевой [3]. Кроме того, был получен явный вид элемента, который не раскладывается по системе векторов {h„}nGN , как по базису. Этот вектор был назван биссектрисой, в том смысле, что он образует одинаковые углы со всеми векторами последовательности {А„}^=1.Можно привести и более простой пример последовательности нормированных векторов гильбертова пространства Н, скалярные произведения между любыми двумя элементами которой равны некоторому числу а > 0, не являющейся базисом в Н.Пример 1. Рассмотрим последовательность элементов в гильбертовом пространстве Н:f2 =(л/а,0,л/ь:а',0,0,...),(1)/3 =(Vä,0,0,VT:ä',0,0,...),Очевидно, что (ft,f}-) = a, i Ф j и \\ft\\ = 1, i = 1,2,....Проверим, что система (1) является полной. Предположим, что система (1) не полна. Тогда существует вектор х = (xj, х2,..., хп,...) е /2, х Ф 0, такой, чтох-L sp{fx,f2,..). Тогдах _L /j =^> (x, fx} = X] va + x2 vi - a =0,х _1_ /2 =^> (х, f2) = Xj \la + х3 vi - a =0,х _L /3 ^ {ху/з) = x\"*a +x4\l-a =0,* -L fn => (x> fn) = xi Ja + xn+i^/l"7« = °^Следовательно, x2 = x3 = x4 = x5 =... = xn =..., но так как x e l2, то Xj = x2 = x3 =... = xn =... = 0, то есть получаем, что х = (0,0,0,...).Получили противоречие с тем, что х ф 0. Следовательно, система является полной.О некоторых системах в гильбертовом пространстве, не являющихся базисом55Докажем, что система (1) не является базисом. Предположим, что (1) - базис, тогда элемент ег =(1,0,0,...) имеет вид ег = Vßj/J . Распишем это равенство пог=1координатам:ß1Vä + ß2Vä + ... + ßnVä + ... = l,ßjVö^i = 0, ß2Vö^i = 0,ß„V^:i = o,Очевидно, что данная система не имеет решения. Следовательно, последовательность (1) не является базисом. Заметим, что вектор ех =(1,0,0,...) являетсябиссектрисой, то есть (el,fi) = va для любого i e N .Рассмотрим теперь полную последовательность нормированных векторов {/?„ }"=1, таких, что (hx■, h Л = a , а > 0 при i'' Ф j'. Линейное отображение Т :Н ->■ /2, определенное формулой Thn = fn, является изометрией пространстваЯна /2. Так как {/„}^=1 - не базис, следовательно, {й„}^=1 тоже не будет являться базисом.Поскольку все сепарабельные гильбертовы пространства изометрически изоморфны пространству всех суммируемых в квадрате последовательностей /2, томы будем рассматривать последовательность в гильбертовом пространстве /2. Определение 2. Углом а между двумя элементами х, у е /2 называем такоечисло а е [0,л], что cos а :(х>у)Замечание. Не существует бесконечной последовательности линейно независимых элементов с единичной нормой {А„}^=1, для которой (Аг,/гЛ0.Доказательство. Предположим противное, пусть {А„}^=1 - бесконечная последовательность линейно независимых нормированных векторов, такая, что < ht, h Л < -а , где а > 0. Рассмотрим5>-■N+ ]Г (/гг,/г;)■ оо , то есть углы между векторами71/„ и /т стремятся к - с ростом тип.Теорема 3. Пусть {А„}^=1 - полная нормированная последовательность векторов в гильбертовом пространстве /2, такая, что скалярные произведения (ht,h:) > a , а > 0 при i'' Ф j, i,jeN. Тогда данная последовательность векторов не является базисом в /2.Доказательство. Учитывая приведенное выше утверждение 1, достаточно доказать, что существует подпоследовательность тп 5 , которая не являетсябазисной. Опишем процесс построения подпоследовательности \hn \Рассмотрим последовательность скалярных произведений {{hl,hi)}^'=l. Так как эта числовая последовательность ограничена, то можно извлечь подпоследова-О некоторых системах в гильбертовом пространстве, не являющихся базисом57тельностьгдедля которой существуетlim(/?i ,1ц'\ = 5]. Положим sXl■ =Щ1',И]), /'= 1,2,..., тогда lim Sj г-= Sj. Не на-рушая общности, можно считать, что L ,■ - sx \< - для каждого /' > 2.Далее рассмотрим последовательность скалярных произведений l(h2' ,1ц' )\ . Так как эта числовая последовательность ограничена, мы можемизвлечь подпоследовательность, для кото-рой существует ИтШ ',1ц ) = s2. Положим s2i ={h2 ',h\ '), /' = 2,3, Тогда/,(2) Ь(2)\_с ТТГ.ТГГ.-Ш-ИА1 с -Ы2) fo(2)^lim s2 j = s2. Не нарушая общности, можно считать, что \s2 г■ - s2 \< -- для каж-z-> 3 .Продолжая этот процесс, для каждого m e N мы можем построить подпоследовательность h™> ,1г™\,...,Н™>,..., где /4 =й„ , такую, что существует\im(hi",)Am)) = sm. Положим sm,=lh(™\h\m)\, i=m,m + lm,i \-m ,-ч /, -.» ■-,-> тогда lim sm t■ = sm , и так как sm г > а , то sm > а . Не нарушая общности, можно счи-i->coтать, что U„, - 5„ I < - для любого i>m + \.I "Vm I ~mРассмотрим диагональную последовательность Щ ' ,h2 ',1ц ' ,...,1т^',.... Из построения ясно, что (hnn ,Аг ) ->sn при г->оо.Так как числовая последовательность 5],52,53,...,5П,... удовлетворяет условию st > а , /' = 1,2,3,..., то существует сходящаяся подпоследовательность{5„ } , такая, что lim sn = s0 > a . He умоляя общности, можно считать, чтоI _ I 1Рассмотрим соответствующую подпоследовательность {/г"*Ч . Переобозначим А^) =fk,s^=pk,(fk,Jl) = pkJ , Л = 1,2,3,....Из построения ясно, что \h„ ,h„ } = s„ „. ->■ sn при /'-»ос и sn ->50 приЛ ->да . Так как (/г^Ч^"'0} = (fkJt) = pkJ = ^ и ^ = ft , то ft,- -> ft при /' ->■ oo, a ft ->■ 50 при Л ->■ oo . Пусть ft г = 50 + efa-. ТогдаIIIlll i.11 1K.-| = I A,.- "5oP |#u - A| + lft "5ol < TJ + TF = TFT nP11 ' > ^ Положим g„ = - (/] + f2 +... + /„). Подсчитаем норму gn : n58Т.Е. Хмылева, О.Г. Иванова(fl+f2+... + fn-(/i + /2 +- + /„),-(/i + /2 + + /„)й + 2Х(/1,Л> + 2Е + - + 2Е■ oo .Аналогично, для второй скобки получаемИ+^И+^И+^in,tп(п + р)22Z8u + Z 8u+---+2Z8»-u+ Z 8»-u+ Zk=nk=n+\k=n+\t=2t=n+ln+pn+pn+pw(w + p) 42ZI8ul+ Z l8ul+---+2ZI8"-ul+ Z l8«-ul+ Z \sn,k\k=2k=n+lk=nk=n+lk=n+lп-2+р п-Ъ + рn-(n-\) + p p \n-l + p +^ +TJL + ... +^^-- + -^r \

Скачать электронную версию публикации